Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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Ernst Schreiber
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1 Seite von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 0 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie ohne Alternative Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe Materialgrundlage entfällt 4 Bezüge zu den Vorgaben 0 Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n >, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden und benengleichungen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren Normalenformen von benengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und benen Abstandsprobleme (Abstand Punkt bene) Medien/Materialien entfällt 5 Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab

2 Seite von 9 6 Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6 Modelllösungen Modelllösung a) () s gilt: AB, 0 0 BC und AB BC AC 88 [L] Das Dreieck ist gleichseitig AC 0 () Die Vektoren AB und 0 0 BC sind linear unabhängige Richtungsvektoren der bene Für einen Normalenvektor n n n von n gilt deswegen: n n 0 n 0 0 n n n 0 bzw n n n n 0 0 ine mögliche Lösung ist 9 : x 4 n Für eine Normalenform von folgt bzw x x x :

3 Seite von 9 Modelllösung b) 5 s gilt: g: x r bzw g: x r, rir 4 S, da = gilt S g, da 0 r wahr ist für r 4 [ine mögliche Alternative ist die Berechnung des Schnittpunktes von Da ein Normalenvektor von g die bene senkrecht und g] identisch zu einem Richtungsvektor von g ist, schneidet Modelllösung c) () In einem gleichseitigen Dreieck ist der Schwerpunkt von den ckpunkten gleich weit entfernt Da g die bene senkrecht schneidet, ist jeder Punkt auf g von den ckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt (Satz des Pythagoras) Deswegen ist ein möglicher Ansatz zur Berechnung der Koordinaten des (der) gesuchten Punkte(s) D: AD AB Mit D ( r r 4 r) erhält man ( r 6) ( r 6) ( r 6) 88 r r r 6 r 0 Die gesuchten Punkte sind: D (9 8 0) [ D ] und D ( 7 8 6) () Für den Abstand d des Punktes D von der bene ergibt sich: 9 4 dd (, ) 8 (7 ) 8,86 [L] 0 Für das Volumen des Tetraeders gilt: V Gh A d( D, ) Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks erhält man: AB 88 A V [V]

4 Seite 4 von 9 () Mit AB und 0 0 AD ergibt sich für einen Normalenvektor n n n n ABD von ABD aus dem Gleichungssystem: die mögliche Lösung nabd n (siehe oben) n 0 n 0 0 n n 0 n n in Normalenvektor der bene ist Der Winkel zwischen den beiden Dreiecken und ABD ist (in diesem Fall) gleich n nabd dem Winkel der zugehörigen Trägerebenen: cos 70,5 n n ABD Modelllösung d) OW OM M W OM AB () CD CD CD Der gesuchte Punkt ist W( 8 0) () [Die Koordinaten der Punkte M AB, M BC, M CD und M DA sind jeweils das arithmetische Mittel der Koordinaten der entsprechenden ckpunkte des Tetraeders] M AB ( ), M ( 4), M BC CD ( 0) und M DA (9 4)

5 Seite 5 von 9 () Die Punkte M AB, M BC, M CD und M DA liegen alle in der bene mit der Gleichung x 6 s gilt: MABMBC , MBCMCD 6 0 6, MCDMDA 6 0 6, MDAMAB Wegen MABMBC MBCMCD MCDMDA MDAMAB 6 [L] ist das Viereck M M M M eine Raute, wegen M ABMBC MBCMCD 0 MABMBC MBCMCD AB BC CD DA ein Quadrat (4) Der angegebene Punkt T ist der Mittelpunkt des Würfels (Mittelpunkt der Strecke AW ) Die Strecke AD ist die Diagonale einer Würfelseite Deswegen ist der Abstand des Punktes T von der Kante AD die Hälfte der Kantenlänge des Würfels: WD [L] 6 Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) () zeigt rechnerisch, dass das Dreieck gleichseitig ist 5 () berechnet eine Gleichung der bene in Normalenform 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet

6 Seite 6 von 9 Teilaufgabe b) zeigt, dass S auf der Geraden g und in der bene liegt 4 zeigt, dass g die bene senkrecht schneidet Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet Teilaufgabe c) () bestimmt die Punkte der Geraden g, die als vierter ckpunkt D des regelmäßigen Tetraeders D in Frage kommen () berechnet den Abstand des Punktes D von der bene () berechnet das Volumen des Tetraeders D 4 4 () ermittelt die Größe des Winkels, den die Dreiecke und ABD einschließen 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet 4 Teilaufgabe d) () ermittelt die Koordinaten des ckpunktes W des in der Abbildung dargestellten Würfels () gibt die Koordinaten der Seitenmittelpunkte M, M, M und M an AB BC CD DA () untersucht die speziellen igenschaften des Vierecks M M M M 5 AB BC CD DA 4 (4) ermittelt den Abstand des Punktes T von der Kante AD des Tetraeders 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet

7 Seite 7 von 9 7 Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) () zeigt rechnerisch, dass 5 () berechnet eine Gleichung 5 sachlich richtige Alternativen: (0) Summe Teilaufgabe a) 0 K ZK DK Teilaufgabe b) zeigt, dass S 4 zeigt, dass g sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe b) 7 K ZK DK Teilaufgabe c) () bestimmt die Punkte 4 () berechnet den Abstand () berechnet das Volumen 4 4 () ermittelt die Größe 5 sachlich richtige Alternativen: (6) Summe Teilaufgabe c) 6 K ZK DK K = rstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

8 Seite 8 von 9 Teilaufgabe d) () ermittelt die Koordinaten K ZK DK () gibt die Koordinaten () untersucht die speziellen 5 4 (4) ermittelt den Abstand 6 sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe d) 7 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 50 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß Abs APO-GOSt K ZK DK Paraphe ggf arithmetisches Mittel der Punktsummen aus K und ZK: ggf arithmetisches Mittel der Notenurteile aus K und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet Unterschrift, Datum

9 Seite 9 von 9 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte rreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus 4 8 gut plus 7 0 gut 9 gut minus 0 05 befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus 9 0 ungenügend 0 9 0

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