Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK 1NT 1 Seite 1 von 6. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 010 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, gebrochen-rationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen mit Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel) in Sachzusammenhängen Untersuchung von Wirkungen (Änderungsrate) Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) Flächenberechnung durch Integration. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite von 6 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) Bestimmung des absoluten Maximums: 0,t 1,5, da e 0 f ( t) 0 0, 4185t 0, t 1 f ( 1 ) 0,057 0 (alternativ VZW (+/ ) von f () t bei t 1 ) lokales Maximum bei t 1 f ( 1 ) 0,6( m h Randwertbetrachtung: ) f 9) 0, f ( 1 ) und f ) 1,0 f ( 1 ) ( ( absolutes Maximum bei t 1 [Alternativ kann argumentiert werden, dass bei nur einem lokalen Extremum dieses das absolute Extremum ist.] Nullstelle: f ( t) 0 t 1 Modelllösung b) Die Anstiegsgeschwindigkeit nimmt von Uhr bis.0 Uhr zu, erreicht dann ein Maximum von 0,6 m/h und nimmt dann bis 1.40 Uhr ab. Um 1.40 Uhr steigt das Wasser nicht mehr. Von 1.40 Uhr bis.00 Uhr sinkt der Wasserstand wieder, der Pegel fällt. Danach würde er immer schneller weitersinken und der Pegel fiele ins Negativ-Unendliche. Daher ist das Modell nur bis.00 Uhr sinnvoll. Modelllösung c) Gesucht ist ein Maximum der ersten Ableitung (Wendestelle von Links- in Rechtskurve): 0,t 1,5 f () t 0 t 5, da e 0 f ( 5,1) 0,0006 0, f ( 4,9) 0, VZW (+/ ) von f () t bei t 5 (alternativ: f ( 5) 0) Um Uhr änderte sich die Anstiegsgeschwindigkeit am stärksten.

3 Seite von 6 Modelllösung d) 0,t 1,5 10 0,t 1,5 (1) e dt e Mittels Produktintegration erhält man: 0,t 1,5 10 0,t 1,5 10 0,t 1,5 ( 1,95 t,5) e dt = ( 1,95 t,5) e ( 1,95) e dt 10 0,t 1,5 10 0,t 1,5 = ( 1,95 t,5) e 0,t 1,5 4,65 e = ( 4,65t,5) e 0,t 1,5 Die Funktion F mit der Gleichung Ft () ( 4,65t,5) e ist eine Stammfunktion zu f. () Der Wasserhöchststand wurde zum Zeitpunkt t 1 (1.40 Uhr) erreicht, da dort der Wasseranstieg gleich 0 ist Uhr entspricht t 9. 5 ft ()dt= 9 F() F(9) 5,7 0,976 4,7 [m] 5 Der Wasserpegel stieg um 4,7 Meter. () Die mittlere Änderungsrate des Wasserstandes (mittlere Anstiegsgeschwindigkeit) pro Stunde von s bis s + 1 beträgt: s 1 s 1 1 ft ()d t ft ()dt ( s 1) s [m/h]. s s 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) 1 1 berechnet die erste Ableitung von f. (I) ermittelt das absolute Maximum der Funktion f. 7 (II) berechnet die Nullstelle von f. (I) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 1 AFB = Anforderungsbereich

4 Seite 4 von 6 Teilaufgabe b) 1 interpretiert den Verlauf. 5 (II) gibt die Uhrzeiten an. (I) begründet, dass das Modell für Zeiten nach.00 Uhr ungeeignet ist. (II) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe c) 1 bestimmt einen Rechenansatz. (II) berechnet die Wendestelle. 5 (I) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe d) 1 (1) ermittelt die Gleichung einer Stammfunktion von f. 6 (II) () erläutert einen Rechenansatz. 4 (III) () berechnet die Differenz der Wasserstände. 4 (I) 4 () interpretiert den Term. 4 (III) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

5 Seite 5 von 6 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) 1 berechnet die 1. Ableitung (I) ermittelt das absolute 7 (II) berechnet die Nullstelle (I) sachlich richtige Alternativen: (1) Summe Teilaufgabe a) 1 EK ZK DK Teilaufgabe b) 1 interpretiert den Verlauf. 5 (II) gibt die Uhrzeiten (I) begründet, dass das (II) sachlich richtige Alternativen: (11) Summe Teilaufgabe b) 11 EK ZK DK EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

6 Seite 6 von 6 Teilaufgabe c) 1 bestimmt einen Rechenansatz. (II) berechnet die Wendestelle. 5 (I) sachlich richtige Alternativen: (8) Summe Teilaufgabe c) 8 EK ZK DK Teilaufgabe d) 1 (1) ermittelt die Gleichung 6 (II) () erläutert einen Rechenansatz. 4 (III) () berechnet die Differenz 4 (I) 4 () interpretiert den Term. 4 (III) sachlich richtige Alternativen: (18) Summe Teilaufgabe d) 18 EK ZK DK Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe.