Beispiel-Abiturprüfung

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Sebastian Lorenz Schäfer
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1 Mathematik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B (CAS) Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrachten Prüfungsleistungen hat sich für jede Aufgabe nach der jeweils am linken Rand der Aufgabenstellung vermerkten, maximal erreichbaren Anzahl von Bewertungseinheiten (BE) zu richten. Die Lösungshinweise enthalten keine vollständigen Lösungen der Aufgaben. Nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind entsprechend zu bewerten.

2 Geometrie Aufgabengruppe a Q b z. B.: j:x Q λ, λ IR 0 u 0 a b Volumen der Pyramide: Die Pyramide nimmt etwa 7 % des Würfelvolumens ein. c Schnittpunkte: 0 0, 0 0 d e Eine parallel zu M verlaufende Ebene kann den Würfel in einem Punkt, in einem Dreieck oder in einem Sechseck schneiden. Für p0;6 ist die Schnittfigur ein Sechseck. 0

3 Geometrie Aufgabengruppe a z. B.: g:x 0 λ, λ IR 00 b Abstand: z. B.: Man bestimmt zunächst die Koordinaten des Fußpunkts F des Lots durch B auf AC. Die Koordinaten des Punkts D ergeben sich aus D B BF. 0 a F fliegt in Richtung Nordosten. Die Flughöhe von F wird durch die x Koordinate der Geraden g beschrieben, die einen konstanten Wert besitzt. b Die Größe des Steigungswinkels beträgt etwa 8,0. c Die Flugzeuge kollidieren nicht zwingend, da nicht feststeht, dass sie den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen gleichzeitig erreichen. d d t t 0 t 900 Da dt 0 für alle t IR0, kommt es nicht zu einer Kollision. e Länge der Flugstrecke: 80 km 0 0 Die von einem Prüfling in den Prüfungsteilen A und B insgesamt erreichten Bewertungseinheiten werden gemäß folgender abelle in Notenpunkte umgesetzt: Intervall Bewertungseinheiten Notenpunkte Notenstufe % % % % % % 0 0 6

4 Analysis Aufgabengruppe x ln, x 0, x, x 6 D IR \ ; y x z. B.: cx x x erm der Stammfunktion: x I: fx, II: ex mit r, III: gx mit s 0 a Alle Graphen der Schar sind nach unten geöffnete Parabeln, deren Scheitel jeweils auf der yachse liegt; schneiden die xachse bei x und x. b Die Flächeninhalte der Rechtecke lassen sich durch die Funktion a k : x kx 8kx mit Definitionsbereich 0; beschreiben. a k x 6kx 8k 0 x Da außerdem a k x 0 für x und a k x 0 für x gilt, ist A k k ak. 9 c k k h x dx Anteil des Rechtecks: d Inhalt des Flächenstücks: 6 e 7,7% Für k,k IR gilt: Damit z. B.: k und k h x h x dx k k k k Stochastik Aufgabengruppe a Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt nicht als aufgeschlossen oder hat keine nach rechts geneigte Handschrift. b z. B.: R R A 0, 0,8 0,7 A 0, 0,8 0, 0, 0,6 c PA PR 0,70, 0, PA R d geänderter Wert: 60 % 0 a P0, X8 7,% b n P 0, X n 0,0 Einem Bewerber müssen mindestens 7 Schriftproben vorgelegt werden. c 0 Pp X0 0,9 Die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, muss für den Bewerber mindestens 79 % betragen. d Nullhypothese: Die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, beträgt für einen Bewerber höchstens 0 %. Ablehnungsbereich: ;...;0 a 0 P0, X,% b Die Aussage ist falsch. Begründung z. B. durch Angabe eines Gegenbeispiels 0 9

5 Stochastik Aufgabengruppe Die erme I und V beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf der ausgewählten Personen Linkshänder sind. a b % 0 a % 6% b % % 8% c z. B.: Die Zeitungsmeldung kann mit der Abbildung unter der Voraussetzung in Einklang stehen, dass in der Bevölkerung die Anzahl der 0 bis jährigen Männer größer ist als die der bis 9jährigen. 0,7 0,78 0,89 66,0% 0 a P0, X 6,7% b z. B.: Unter den ausgewählten Frauen sind höchstens vier Raucherinnen. c 0 P0, X k 0,0 ; Ablehnungsbereich: 6;...;0 0 oder: P0, X,0% Damit wird die Annahme des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von % durch das Ergebnis der Befragung nicht gestützt. 0 8 f Für k,k IR gilt: h k x hk x dx k k Der Wert des erms k k und damit auch der Wert des erms k k kann jede positive reelle Zahl annehmen. g Der Umfang des Flächenstücks beträgt etwa,. a Der Faktor e x verändert die Amplitude der Kosinusfunktion so, dass der Graph von q zwischen dem Graphen von p und dem an der xachse gespiegelten Graphen von p verläuft. Die Nullstellen von q stimmen mit denen der Kosinusfunktion überein. b x q x e cos x sin x 0 tan x 0, Für die Extremstellen der Kosinusfunktion gilt x nπ mit n Z und damit tanx 0. c x0 8 ln0 Es gilt cos x für alle x IR und damit qx px 0,0 für alle x x0. d x nπ, y e nπ mit n Z e c 0,8 f u π und v π Begründung: Für x0;π hat q nur die Nullstellen π π x sowie x und nur zwischen diesen Nullstellen negative Funktionswerte. 0

$Analysis Aufgabengruppe p: IR \, keine Nullstelle q: ;, Nullstelle x r: y x 0, ;, Nullstelle x a Der Graph von t schließt mit der xachse und den Geraden x a und x a Flächenstücke ein.$

6 Analysis Aufgabengruppe p: IR \, keine Nullstelle q: ;, Nullstelle x r: y x 0, ;, Nullstelle x a Der Graph von t schließt mit der xachse und den Geraden x a und x a Flächenstücke ein. Je zwei dieser Flächenstücke sind wegen der Punktsymmetrie inhaltsgleich, gehen jedoch in die Berechnung des Integrals mit unterschiedlichen Vorzeichen ein. b a z. B.: tx x, a a xdx x a a 0 a erm III nähert den erm von u für große Werte von x am besten. Die Antwort kann z. B. anhand der Differenzterme plausibel gemacht werden. 0 a z. B.: fx 0 x ln Da außerdem fln 0 gilt, besitzt G f ausschließlich den Hochpunkt ln ln. b Begründung z. B. mithilfe der Lage des Hochpunkts und des Krümmungsverhaltens a,8 c Die Gerade mit der Gleichung y x ist für x schräge Asymptote von G f. 6 d e b a,8 (Übereinstimmung der Integrationsgrenzen) b,00 (Flächenbilanz) keine weiteren Werte wegen z. B. Monotonie f Der Graph von b F besitzt im Punkt a F b a einen Hochpunkt. Begründung z. B. mithilfe einer Betrachtung von G f a lim I x 0, x 0 lim I x 0 x b z. B.: c I x x 0 f 0 x a Da außerdem I x 0 für x a und I x 0 für x a gilt, besitzt die Funktion I bei x a ihr einziges Maximum. d Unsere Sonne strahlt etwa % ihrer gesamten Strahlungsleistung im Bereich des sichtbaren Lichts ab. e z. B.: I a a a e ; I a ist also direkt proportional zu f Der Hochpunkt verschiebt sich in positive xrichtung (xkoordinate ist direkt proportional zu ) und in positive yrichtung (ykoordinate ist direkt proportional zu g Der Graph von I schließt für 9 0 x 6 0 mit der xachse ein Flächenstück ein. Der Anteil dieses Flächenstücks an dem gesamten Flächenstück, das der Graph von I mit der xachse einschließt, ist für,0 0 und für 8,0 0. ). 6,0 0 deutlich größer als für 0 7

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