Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 M LK HT (W) Seite von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 009 Mathematik, Leistungskurs. Aufgabenart Analysis. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 009. Inhaltliche Schwerpunkte Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen mit Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen auch unter Einbeziehung gebrochen-rationaler Funktionen Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Flächenberechnung durch Integration. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Muttersprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist

2 M LK HT (W) Seite von 8. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen. Modelllösungen Modelllösung a) 3 Für den Ansatz s ( t) = at + bt + ct + d (,,, abcd IRa ; 0) liefern die gegebenen Bedingungen: () s(0) = 0; () s() = ; (3) s() = 3; (4) s(4) =. Aus () folgt: d = 0; weiterhin folgt aus () bis (4): a + b + c = 8a + 4 b + c = 3 4 a + b + 4 c =... a + b + c a + b a = = = Die Lösung des Gleichungssystems liefert 3 s( t) = t + t + t. a = ; b = ; c = ; mit d = 0 gilt so: Modelllösung b) () Mit s (t) = v(t) folgt v ( t) = t + t +. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs am Stoppschild beträgt / Kilometer pro Minute, also 0 km/h. Der Fahrer hat folglich nicht angehalten. Hier sollen auch alternative Lösungen akzeptiert werden, die nur die Tabelle als Argumentationsgrundlage nutzen. () Bestimmung der en Geschwindigkeit im Intervall [0;4] v () t = t+ und v ( t) = (Summen-, Faktorregel) Die notwendige Bedingung v ( t) = 0 t+ = 0 t = liefert eine mögliche Extremstelle. Mit v () = < 0 liegt in t = ein lokales Maximum mit Die Überprüfung der Ränder ergibt v(0) = < v() und v ( ) =. v(4) = < v(). Somit ist absolutes Maximum der Geschwindigkeitsfunktion im Intervall [0;4]. Die Maximalgeschwindigkeit liegt mit / Kilometer pro Minute, also 30 km/h, deutlich über der zulässigen Höchstgeschwindigkeit.

3 M LK HT (W) Seite 3 von 8 (3) Die Beschleunigungsfunktion a hat die Gleichung at ( ) = v ( t) = t+. Der Graph von a hat eine Nullstelle in t =. Für die Fläche zwischen dem Graphen von a und der t-achse gilt also: ()d ( d ) A = a t t = t+ t = t + t = Damit schließt der Graph von a mit der t-achse im Intervall [0;] eine Fläche mit FE ein. Die Geschwindigkeitsfunktion liefert an der Stelle t = den Wert Mit dem Integral 0 v ( ) = (vgl. b()). at ()dt= wird hier die Zunahme der Geschwindigkeit im Zeitraum von t = 0 bis t = berechnet. Da aber das betrachtete Fahrzeug beim Start der Messung bereits eine Geschwindigkeit von / Kilometer pro Minute besaß, ergibt sich folglich v ( ) = = +. Die tatsächliche Geschwindigkeit ergibt sich in allen Fällen als Summe der Anfangsgeschwindigkeit bzw. des Anfangswertes und des Wertes des Integrals über a im Intervall [0;]. Modelllösung c) () Ein Zeitintervall der Länge eine Minute im betrachteten Zeitraum lässt sich für 0 < k < 3 angeben mit [k; k + ]. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung m(k) der Sekante durch die Punkte P(k; s(k)) und Q(k + ; s(k + )): + sk 3 3 sk ( ) ( ) mk ( ) = = ( k+ ) + ( k+ ) + ( k+ ) k + k + k ( k+ ) k. Als Zielfunktion des Extremwertproblems ergibt sich schließlich: mk ( ) = 0,5 k +,5 k+ mit den Ableitungen m ( t) = k+,5 und m ( t) =. Die notwendige Bedingung m ( k) = 0 k+,5= 0 k =,5 liefert eine mögliche Extremstelle. Mit m (,5) = < 0 liegt in k =,5 ein lokales Maximum mit m (,5) =,5. Die Überprüfung der Ränder ergibt m(0) = < m(,5) und m(3) = < m(,5). Somit hat das Fahrzeug im Zeitintervall [,5;,5] die höchste Durchschnittsgeschwindigkeit.

4 M LK HT (W) Seite 4 von 8 Hier sollen alternativ auch graphische Argumente als Argumentationsbasis akzeptiert werden. Beispielsweise kann man Symmetriegründe hinzuziehen. () Die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs wird durch v beschrieben, entsprechend lautet der Ansatz hier: 3 3 vt ( ) =,5 t + t + = t = +,9 t =, Beide Lösungen liegen im betrachteten Zeitintervall. Modelllösung d) () Der von der Schülergruppe gewählte Ansatz ist sicherlich nicht zulässig. Mögliche Argumente lauten: zu wenige Messwerte für eine stetige Modellierung, Wahl einer Funktion dritten Grades ist problematisch, Messpunkte zu weit auseinander, da die Momentangeschwindigkeit nicht exakt angegeben werden kann, Berücksichtigung der Messgenauigkeit, die Tabelle ist ausreichend für die Verwendung eines stückweise linearen Modells. () Für den Ansatz () = + + (mit a 0 ) mit der Ableitung v () t = at+ b und v t at bt c der zur Anfangsbedingung v(0) = 0 passenden Stammfunktion liefern die gegebenen Bedingungen: () v (0) = 0; () v () = 0; (3) 0 v ()d t t = 3. Aus () folgt: c = 0; weiterhin folgt aus () und (3): 4a+ b= 0 8 a + b = a+ b= 4b = 9 Die Lösung des Gleichungssystems liefert 9 a = und 3 3 v () t = at + bt + ct 9 b =. Mit c = 0 gilt so: v () t = t + t. 4 9 Mit der Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für Maxima, konkret v () t = < 0 8 bestätigt sich, dass die Funktionsvorschrift die gewünschten Eigenschaften besitzt.

5 M LK HT (W) Seite 5 von 8 Die alternative Funktion s ist die zur Anfangsbedingung v (0) = 0 passende Stammfunktion s () t = t + t Durch Einsetzen ergeben sich mit s (0) = 0, s () = 3 und s (4) = drei Werte, die mit den Messungen der Schülerinnen und Schüler übereinstimmen. Für t = ergibt sich 5 mit s () = 0,9375 eine geringfügige Abweichung, die als Fehler bei der Messung mit der Stoppuhr realistisch ist.. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) gibt die benötigten Gleichungen an. (I) bestimmt die Lösung des Gleichungssystems. 4 (II) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe b) () gibt die Geschwindigkeitsfunktion v an. (I) () prüft die Beachtung des Stoppschildes. (II) 3 () berechnet die e Geschwindigkeit im Intervall [0;4]. 4 (I) 4 () prüft die Einhaltung der Höchstgeschwindigkeit. (II) 5 (3) gibt die Beschleunigungsfunktion a an. (I) (3) berechnet den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von a und der t-achse im Intervall [0;] und gibt den Wert von v() an. 7 (3) vergleicht den Wert des Integrals mit dem Funktionswert v() und interpretiert die Differenz im Sachzusammenhang. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 3 (I) (III)

6 M LK HT (W) Seite von 8 Teilaufgabe c) () bestimmt einen Ansatz zur Bestimmung der en Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall der Länge Minute. (III) () leitet eine Zielfunktion her und ermittelt ihr Maximum. 5 (II) 3 () berechnet das Maximum der Zielfunktion. (I) 4 () zeigt, dass das Fahrzeug im Zeitpunkt t 0 die e Durchschnittsgeschwindigkeit als Momentangeschwindigkeit im Intervall [,5;,5] annimmt. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 4 (II) Teilaufgabe d) () beurteilt die Eignung der Modellfunktion der Schülergruppe. 3 (III) () leitet aus den Angaben ein lineares Gleichungssystem her. 3 (II) 3 () ermittelt die Lösung des Gleichungssystems. 3 (II) 4 () ermittelt Funktionsgleichungen für v und s und prüft ihre Übereinstimmungen mit den Messungen der Schülergruppe. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 5 (II)

7 M LK HT (W) Seite 7 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) gibt die benötigten (I) bestimmt die Lösung 4 (II) sachlich richtige Alternativen: () Summe Teilaufgabe a) Lösungsqualität EK ZK DK Teilaufgabe b) () gibt die Geschwindigkeitsfunktion (I) () prüft die Beachtung (II) 3 () berechnet die e 4 (I) 4 () prüft die Einhaltung (II) 5 (3) gibt die Beschleunigungsfunktion (I) (3) berechnet den Flächeninhalt 3 (I) 7 (3) vergleicht den Wert (III) sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe b) 7 Lösungsqualität EK ZK DK EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

8 M LK HT (W) Seite 8 von 8 Teilaufgabe c) () bestimmt einen Ansatz (III) () leitet eine Zielfunktion 5 (II) 3 () berechnet das Maximum (I) 4 () zeigt, dass das 4 (II) sachlich richtige Alternativen: (3) Summe Teilaufgabe c) 3 Lösungsqualität EK ZK DK Teilaufgabe d) () beurteilt die Eignung 3 (III) () leitet aus den 3 (II) 3 () ermittelt die Lösung 3 (II) 4 () ermittelt Funktionsgleichungen für 5 (II) sachlich richtige Alternativen: (4) Summe Teilaufgabe d) 4 Lösungsqualität EK ZK DK Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe.