Wavelets made easy Yves Nievergelt

Transkript

1 Wavelets made easy Yves Nievergelt Kapitel 1 - Haar s Simple Wavelets Das erste Kapitel Haar s Simple Wavelets aus dem Buch Wavelets made easy von Yves Nievergelt behandelt die einfachsten Wavelets und stellt einen Algorithmus zur Verfügung mit dem man eine Wellentransformation berechnen kann. Zunächst ist es wichtig, zu erkennen, dass man ein Signal oder ein physikalisches Phänomen als mathematische Funktion darstellen kann. Dies bietet den Vorteil, dass mathematische Funktionen sehr vielseitig in der Darstellung unterschiedlicher Typen von Signalen und Phänomenen sind. Zeigt die y-achse zum Beispiel die Intensität des Signals an, so kann man auf der x-achse entweder die Zeit eintragen, zu der das Signal eine bestimmte Intensität hat oder aber den Ort, an dem das Signal wahrgenommen wird. Möchte man nun ein Signal mit Hilfe einer mathematischen Funktion ausdrücken, so steht man zunächst vor dem Problem, dass man nicht alle Werte hat und meist auf praktische Messungen angewiesen ist. Diese bietet jedoch nur einzelne Werte, die zusammen genommen sample genannt werden. Man erhält also nicht die genaue Funkion f (Beispiel, Bild 1), die das Signal darstellt, sondern nur eine Auswahl an Werten (Beispiel, Bild 2). Mit Hilfe dieser Werte kann man sich schließlich an f annähern, indem man einen waagerechten Strich von jedem Wert zum nächsten (ausschließlich) zieht. Man erhält eine sogenannte einfache Funktion oder Treppenfunktion f ~. Die Basic-Treppenfunktion, die eine Stufe mit der Höhe und der Länge 1 ausdrückt wird wie folgt dargestellt: Nun hat man aber nicht immer eine Stufe mit der Länge und Höhe 1, sondern auch Stufen, die an einer anderen Stelle beginnen und aufhören. Um diese anderen Stufen als Treppenfunktion darstellen zu können, muss man die Basic-Treppenfunktion verändern bzw. erweitern:

2 wobei c die Höhe, u den Startpunkt und w den Endpunkt (nicht mit eingeschlossen) der Stufe der Treppenfunktion angibt. Allgemein kann man nun für einen Punkt (r j,s j ) die Stufe der Treppenfunktion wie folgt ausdrücken: Die gesamte Treppenfunktion f ~ ist dann die Summe der einzelnen Stufen: Für das Beispiel oben sieht dann die Treppenfunktion f ~ folgendermaßen aus: Möchte man nun mit Hilfe von Wavelets an die eigentliche Funktion f annähern, so macht man dies, indem man 2 benachbarte Stufen der Treppenfunktion f ~ durch eine größere Stufe und ein Wavelet ausdrückt. Das einfache Wavelet sieht folgendermaßen aus: Desweiteren kann man ein Wavelet (Bild 4) allerdings auch mit Hilfe von Treppenfunktionen ausdrücken, nämlich als die Differenz zweier benachbarter Stufen mit der Länge ½, dem Anfangspunkt bei 0 bzw. ½ und dem Endpunkt bei ½ bzw. 1:

3 Wie in der Darstellung zu erkennen, unterzieht sich das Wavelet einem Sprung von -2. Wie eine Treppenfunktion, beginnt ein Wavelet nicht immer bei 0 und endet bei 1. Auch hier wählen wir als Anfangspunkt u und als Endpunkt w. Jedoch müssen wir uns noch ein v definieren, da das Wavelet in 2 Stufen unterteilt ist. Die erste Stufe verläuft oberhalb der x- Achse und die zweite Stufe verläuft unterhalb der x-achse. Da beide Stufen aber die gleiche Länge haben, definieren wir unser v als den Mittelpunkt des Intervalls des Wavelets, also: Das veränderte Wavelet wird damit wie folgt dargestellt: Um nun die Transformation durchzuführen stellt man die Gleichungen für die einfache Treppenfunktion und für das einfache Wavelet in ein Gleichungssystem (Die Transformation für die veränderte und erweiterte Treppenfunktion geht entsprechend). Nun addiert bzw. subtrahiert man die Gleichungen voneinander. Dabei ist das Ziel, die beiden kleineren Stufen ϕ A0, 1 ϕ A 1 mit einer größeren Stufe und 2 2 einem Wavelet auszudrücken),1@ Aus der Addition bzw. Subtraktion folgt: Um die Transformation zu vervollständigen, ersetzt man in der Treppenfunktion die beiden die beiden kleineren Stufen durch die oben ausgerechneten Terme und erhält somit folgendes Ergebnis für die Transformation von f ~ :

4 f =s L +s L = s o +s 1 + s 0 s Dabei zeigt die größere Stufe zeigt den Unterschied der beiden kleineren Stufen. den Mittelwert und das Wavelet Beispiel: Man transformiere das Feld (array) (4,8) (Im Feld werden nur die y-koordinaten angegeben. Die x-koordinaten kann man leicht selber bestimmen, da die Länge des Signals bei den einfachen Wavelets immer eins beträgt und die Länge der einzelnen Stufen gleich lang ist. Somit hat jede Stufe bei einem Feld mit zwei Einträgen die Länge ½, bei einem Feld mit 4 Einträgen die Länge ¼,, bei einem Feld mit 2 n Einträgen die Länge 2 -n.) Der Term bedeutet, dass der Mittelwert der beiden Einträge 6 beträgt. Der Term bedeutet, dass der Unterschied vom ersten Wert zum zweiten Wert -2 Wavelets beträgt. Damit macht das sample einen Sprung von (-2) (-2) = 4 Schritten, also von 4 auf 8. Diese Transformation kann man auf alle Felder anwenden, die 2 n Einträge haben: s 0, s 1 ; s 2, s 3 ; ; s 2k, s 2k+1 ; ; s 2(n-1), s 2n-1 Wenn man nun für jedes Paar von Treppenfunktionen eines Feldes die Transformation durchführt, erhält man die schnelle geordnete Wellentransformation von Haar: Gegeben ist ein Feld mit 2 n Einträgen. Für gilt: Vor der -ten Durchführung hat man Koeffizienten von Treppenfunktionen Nach der -ten Durchführung hat man nur noch halb so viele, also Koeffizienten von Treppenfunktionen und Koeffizienten von Wavelets 1) Initialisierung: 2) Transformation: Der l-te Durchlauf beginnt mit Werten 2 n-h -1L Man betrachte das Paar 3) Bedeutung: listet die Werte einer einfachen Treppenfunktion auf, die sich der Funktion f mit Stufen der Weite annähert.

5 listet die Werte einer einfachen Treppenfunktion auf, die sich der Funktion f mit Stufen der Weite annähert. listet die Wavelets auf. Die Treppenfunktion verändert sich durch die Transformation nicht, sie wird nur anders dargestellt und zwar mit Hilfe von größeren Stufen und Wavelets. Beispiel: Nun hat man nur noch eine Treppenfunkion und damit ist die Transformation fertig. Die einzelnen Werte in den Feldern geben Folgendes an: Die noch verbleibende Treppenfunkion mit der Höhe 4 gibt den Mittelwert des gesamten Feldes an. Das Wavelet -1 gibt den Unterschied zwischen dem Mittelwert des ersten Paares und dem des zweiten Paares an, also (-1) (-2)=2, also den Sprung von 3 auf 5. Die Wavelets 2 bzw. -3 geben den Unterschied des ersten Paares bzw. des zweiten Paares an: Von 5 auf 1 sind es 2 (-2)= -4 Schritte, von 2 auf 8 sind es (-3) (-2)=6 Schritte. Es gibt noch eine Wellentransformation von Haar, die speichersparender ist, als die eben gezeigte. Die schnelle geordnete Wellentransformation benötigt zusätzliche Felder und zudem sind die Werte des samples zu Beginn der Transformation bekannt. Bei der schnellen geordneten speichersparenden Wellentransformation benötigt man keine zusätzlichen Felder, da man einfach das anfängliche Paar durch das Transformierte ersetzt: 1) + 2) Die ersten beiden Schritte folgen genauso wie bei der schnellen Wellentransformation. 3) Ersetzen: Das anfängliche Paar wird durch das transformierte Paar ersetzt.

6 Beispiel: Da durch die Wellentransformation keine Informationen verändert werden, kann man diese auch rückwärts machen, also die inverse Wellentransformation berechnen: Wenn man die inverse Transformation wiederholt wird die anfängliche Anordnung rekonstruiert.