Probe zur Lösung der Berechnungsbeispiele BB_14.x: - Fortsetzung -

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1 Prof. Dr.-Ing. Rainer Ose Elektrotechnik für Ingenieure Grundlagen. Auflage, 2008 Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel -niversity of Applied Sciences- Probe zur Lösung der Berechnungsbeispiele BB_1.x: - Fortsetzung - Allgemeine Hinweise: Im Vordergrund der Aufgabenstellungen der Berechnungsbeispiele zum Kap. 1 steht die Konstruktion von Zeigerbildern. Da die manuelle Konstruktion maßstäblicher Zeigerbilder in der Regel relativ aufwändig und ungenau ist, wurden dem Bearbeiter im ersten Teil der Probe zu den BB 1.x Hinweise zur PC-gestützten Konstruktion gegeben werden (siehe Datei BB_1_A). BB 1.: Zeigerbild mit AB als Bezugszeiger Konstruieren Sie für die Schaltung des Berechnungsbeispiels 1. das maßstäbliche Zeigerbild aller Spannungen und Ströme für folgende Werte: Geg.: AB 10 V; f 1 khz; R 1 0 Ω; X 2 0 Ω; R 3 30 Ω; X 0 Ω Bild BB 1._1 zeigt die Simulationsschaltung zur Messung der Teilspannungen und des Gesamtstromes. Die Ströme I 1 und I 3 kann man über das OHMsche Gesetz aus den Spannungen 1 und 3 berechnen. Das erspart zwei zusätzliche Strommesser (Ameter) in der Simulationsschaltung. Bild BB 1._1: Simulationsschaltung zum BB 1. Tabelle BB 1. zeigt die mit dieser Simulation gewonnenen Messergebnisse.

2 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite 2 Tabelle BB 1.: Simulationsergebnisse zum BB 1. Output File: Bedeutung: FREQ VM(D,B) VP(D,B) E E E+01 7,07 V ; FREQ VM(B,0) VP(B,0) E E+00.00E+01 7,07 V ; + FREQ VM(D,A) VP(D,A) E+03.11E E+01,1 V ; +9 FREQ VM(A,0) VP(A,0) 1.000E E E+01 8,8 V ; 31 FREQ IM(V_Ameter1) IP(V_Ameter1) I ges 1.000E E E ma ; +6 Für die Ströme I 1 und I 3 gilt dann: j I 1 1 / R 1 176,7 ma e und I 3 3 / R 3 171,33 ma e Probe: I ges I 1 + I 3 (12 12) ma + ( ) ma 216 ma + j 22 ma 217 ma e Mit diesen Werten kann das maßstäbliche Zeigerbild aller Spannungen (Bild BB 1._2; linke Seite) und aller Ströme (Bild BB 1._2; rechte Seite) konstruiert werden. Maßstab: 1 cm ˆ 1 V Maßstab: 1 cm ˆ 0 ma j 9 j 6 3 I 3 I 1 AB I ges 2 1 Bild BB 1._2: Zeigerbild der Spannungen (links) und der Ströme (rechts) zum BB 1.

3 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite 3 BB 1.: Zeigerbild mit als Bezugszeiger Konstruieren Sie für die Schaltung des Berechnungsbeispiels 1. das maßstäbliche Zeigerbild aller Spannungen, wenn die Beträge aller Widerstände gleich sind. Bestimmen Sie aus dem Zeigerbild die j 0 Spannung AB für den Fall: 10 V e (Bezugszeiger im BB 1.) und führen Sie eine rechnerische Probe durch. Vereinfachung: X 1 R 2 X 3 X R R. Durch die gegebene Vereinfachung und der Kenntnis von kann man die Spannungen 2 und 3 durch folgende Überlegung bestimmen: 1) I hat die gleiche Phasenlage wie (ϕ I 0 ) 2) I eilt gegenüber um 90 voraus (ϕ I 90 ) 3) I 2 I + I eilt gegenüber um voraus (ϕ I2 ), weil I I (siehe Vereinfachung) ) 2 I 2 R 2 hat die gleiche Phasenlage wie I 2 (ϕ 2 ) ) 3 I 2 jx 3 steht senkrecht (vorauseilend) auf I 2 (ϕ 3 13 ) 6) Die Beträge von 2 und 3 sind gleich (siehe Vereinfachung) und es gilt: ) Maschensatz: AB Bild BB 1. zeigt das maßstäbliche (topografisch richtige) Zeigerbild. Maßstab: 1 cm ˆ 2 V AB 3 Grafische Lösung: Länge ( AB ) 11,2 cm AB 22, V Winkel ( AB ) 63 AB 22, V j63 2 Bild BB 1.: Zeigerbild der Spannungen im BB 1. Probe (z.b. mit der Spannungsteilerregel): AB AB R 2 + jx R + R // jx 3 // jx 1, + j0, 2,236 0, j0, R + jr + R //( jr) R + jr + 0,R j0,r R //( jr) 0,R j0,r j63, AB 22,36 V j63,

4 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite BB 1.6: Maßstäbliches Zeigerbild einer Brückenschaltung (1) Berechnen Sie für das maßstäbliche Zeigerbild des Berechnungsbeispiels 1.6 die Zeigerlängen und die Winkel der Spannungen sowie 6 und 7. Der Bezugszeiger sei wieder 1. Für die Berechnung stehen lediglich die in der originalen Aufgabenstellung genannten Informationen zur Verfügung. Zur Präzisierung dieser erweiterten Aufgabenstellung werden zunächst noch einmal diejenigen Spannungszeiger gezeichnet, die proportional zu den in der originalen Aufgabenstellung angegebenen Widerstandswerten konstruiert werden können. Z 10Ω Es gilt: Länge{ } mit: Maßstab (oberer Zweig) Maßstab cm 2 3 x 2 A 7 E D 1 B Bild BB 1.6_1: Auszug aus dem Zeigerbild des BB 1.6 Nach dem Maschensatz (siehe blaue Zeiger im Bild BB 1.6_1) gilt: bzw.: } { } + j { } + { } + { } { } { j19,3 (3 + j 3, + + 3) cm (10 + j 3,) cm 10,9 cm Aus dem Spannungsdreieck B A E folgt (Bild BB 1.6_1): BE 7 x + j9, 7} j { x} + { } j { 2} + { } (j 3, + 3) cm,61 cm 7 { Der Zeiger 6 muss den gleichen Nullphasenwinkel aufweisen wie der Zeiger 7. Der Nullphasenwinkel des Zeigers ergibt sich dann gemäß Bild BB 1.6_2 aus: ϕ ϕ ,6. Die jeweiligen Zeigerlängen können aus Bild BB 1.6_2 bestimmt werden. Für das äußere rechtwinklige Dreieck gilt: { } sinα { } { } { } sinα,3 cm D B α E 7 mit: α ϕ 7 ϕ 30 Bild BB 1.6_2: Auszug aus dem Zeigerbild des BB 1.6

5 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite Für das untere rechtwinklige Dreieck kann der Lehrsatz des PYTHAGORAS angewendet werden. 2 2 { DB } { } + { 6} DB bzw.: { } { } { } 7,3 cm,7cm Die Probe gelingt über den Maschensatz im unteren rechtwinkligen Dreieck: + DB j0,6 j9,2 6} (3 +,3 )cm,6cm { 6 (Probe stimmt!) Wie die berechneten Zeigerlängen zeigen, kommt es bei der grafischen Lösung (vgl. Lehrbuch BB 1.6) doch zu leichten Abweichungen. Mit den berechneten Zeigerlängen erhält man folgende Widerstandswerte: { 6},6cm R6,6,6 R 6 X 210Ω 180, 7Ω { },3cm X,3,3 { 7},61cm R7,61,61 R 7 X 210Ω 182, 7Ω { },3cm X,3,3 BB 1.7: Maßstäbliches Zeigerbild einer Brückenschaltung (2) Berechnen Sie für das maßstäbliche Zeigerbild des Berechnungsbeispiels 1.7 die Zeigerlängen und die Winkel der Spannungen und x sowie und 6. Der Bezugszeiger ist wieder 1. Für die Berechnung stehen lediglich die in der Aufgabenstellung genannten Informationen zur Verfügung. Die Berechnung wird nach Vorbild des BB 1.6 vorgenommen. Z 2R Es gilt: Länge{ } mit: Maßstab (oberer Zweig) Maßstab 3cm Die Summe der Spannungszeiger im oberen Zweig ergibt : ϕ bzw.: } { } j { } + { } j { } } { (3 j 1, + 1, j,) cm (, j 6) cm 7, cm { j j 3,1 e Der Schwerpunkt dieser erweiterten Aufgabenstellung besteht nun darin, den Betrag (hier: Zeigerlänge) und die Phasenlage von x zu bestimmen. Mit Kenntnis dieses Zeigers können dann die Daten des Zeigers über die linke obere Masche und des Zeigers 6 über die rechte obere Masche des Bildes 1.30 berechnet werden: Masche oben links: x Masche oben rechts: 6 x Für die Bestimmung von x gilt folgende Überlegung: Die Spannungszeiger und x sollen senkrecht aufeinander stehen. Gemäß Zählpfeil eilt x voraus. Der Nullphasenwinkel der Spannung x beträgt demzufolge: ϕ x ϕ ,9.

6 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite 6 Die Herleitung einer Berechnungsvorschrift für die Zeigerlänge von x ist über das Zeigerbild möglich. Bild BB 1.7_1 zeigt auf der linken Seite das Zeigerbild mit 1 als Bezugszeiger. Durch eine Drehung um 3 nach links ( ϕ ) entsteht das auf der rechten Seite des Bildes BB 1.7_1 dargestellte Zeigerbild mit als Bezugszeiger x 3 2 x 6 6 Bild BB 1.7_1: Maßstäbliches Zeigerbild zum Berechnungsbeispiel 1.7 links: mit 1 als Bezugszeiger rechts: mit als Bezugszeiger Durch Zusammenfassung von sowie von entsteht die vereinfachte Darstellung des Bildes BB 1.7_2. Der Zeiger x teilt den Zeiger an der Stelle X in zwei Ersatzzeiger mit den Längen { 1 } 3 cm und { }, cm. Der oberhalb des Zeigers positionierte Anteil von x (Strecke XA) hat eine Länge von { 2 } 1, cm. Der Mittelpunkt des THALES-Kreises M teilt den Zeiger in zwei Teilzeiger mit je {0, } 3,7 cm. Diese Zeigerlänge entspricht dem Radius des Kreises. Setzt man nun diesen (hier grün dargestellten) Teilzeiger MS am Punkt M an und dreht seine Spitze auf den Punkt B, so erhält man Informationen über die Koordinaten dieses Punktes. XM 0,7cm Im vorliegenden Fall muss der Zeiger MS um den Winkel β arctan arctan 11, 3 {0, } 3,7cm nach rechts auf den Punkt B gedreht werden. Der Betrag seines Imaginärteils beschreibt jetzt die Länge der Strecke BX. Für den Zeiger MB gilt: MB MS jβ 0, j 90 j11,3 MB } (0,73cm + j3,677cm) { MB bzw.: MB { } {0, MB A 12 x { 1 } } j101,3 Der Zeiger x hat demzufolge die Länge: { x } Im { MB } + { 2 } (3, ,) cm,177 cm. X { BX } B { 2 } S M MS { } Bild BB 1.7_2: Auszug aus dem Zeigerbild des Bildes BB 1.7_1 3 6

7 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite 7 Diese Länge stimmt mit der grafischen Lösung des BB 1.7 überein. Für den Zeiger x gilt dann in der originalen Darstellung des Zeigerbildes gemäß Bild BB 1.7_1 linke Seite: x j 36,9 { },177 cm (,1 + j3,11) cm x Nun können die Zeigerlängen von und 6 berechnet werden: Masche oben links: x bzw.: j10 } [3 j1, (,1 + j3,11)]cm (1,1 + j,61) cm,7cm { Masche oben rechts: 6 x bzw.: j1 6} [(,1 + j3,11) + 1, j,]cm (,6 j1,39) cm,81cm 6 { Probe: + 6 bzw.: { } (1,1+ j,61) cm + (,6 j1,39) cm (, (Probe stimmt!) j 6) cm j3,1 7,cm Eine Berechnung des in der originalen Aufgabenstellung gesuchten Wertes für den Widerstand R führt zu folgendem Ergebnis: 6 R { } ω L { } 6 6 R { R { } } 3 6,7cm,81cm,7 R 3R 2, 3R,81 Anmerkung: In der originalen Aufgabenstellung zum BB 1.7 wurde rechts neben dem Bild 1.30 versehentlich eine Zeigerlänge für ωl 6 von 3 cm angegeben, die nur für 1 / ωc Gültigkeit haben kann. Im unteren Zweig der Schaltung gilt doch ein anderer Maßstab! (Sorry) Zusätzliches Zahlenbeispiel: Berechnen Sie über die Aufbauelemente der Schaltung des BB 1.7 die Spannung x, wenn an die Schaltung eine Spannung 7, V e j 3 angelegt wird. Für die Masche oben links gilt: 1 x I1 ( R1 + ) I R I1 (2R jr) I 2, R jωc mit: I1( ) 1 1 R1 + + R3 + jωc jωc 2 2 und: I 2R jr + R j3r ( ) R + jωl 2,R + j3r 2R jr 2,R 10 + j 6 j7,3 x ( ) ( ) (0, + j0,2 0, + j0,9) 3R jr 2,R + j3r 2 1 x j0,69 7,V j 3 0,69 j 90,17V j 37 Auch diese Probe stimmt mit der Lösung der erweiterten Aufgabenstellung (siehe oben) überein!

8 Probe zur Lösung der BB_1.x Seite 8 BB 1.8: Maßstäbliches Zeigerbild einer Brückenschaltung (3) Berechnen Sie für das maßstäbliche Zeigerbild des Berechnungsbeispiels 1.8 die Spannungen und x sowie und 6. Der Bezugszeiger ist wieder 1. Für die Berechnung stehen lediglich die in der originalen Aufgabenstellung genannten Informationen zur Verfügung. Nach dem Maschensatz gilt im oberen Zweig der Schaltung des Berechnungsbeispiels 1.8: (10 j j0)v (0 j0)v 6V j 39 Der Zeiger x hat einen minimalen Betrag, wenn seine Verlängerung durch den Mittelpunkt des THALES-Kreises verläuft. Der Mittelpunkt des THALES-Kreises hat in der komplexen Ebene des Bildes BB 1.8 folgende Spannungskoordinaten: M TH 0, 2 V j 20 V Über die Spannungskoordinaten des Punkte A: A 10 V j 80 V kann man nun einen Ersatzzeiger berechnen, der vom Punkt A zum Mittelpunkt des THALES-Kreises gerichtet ist. Seine Phasenlage entspricht dem Nullphasenwinkel von x. Für diesen Ersatzzeiger gilt: AM TH M TH A 2 V j 20 V 10 V + j 80 V 1 V + j 60 V 61,8 V e j 76 Wenn man schließlich vom Betrag dieses Ersatzzeigers den halben Betrag der Gesamtspannung subtrahiert, erhält man den Betrag von x. Für x gilt dann: x 29,8 V e j 76 7,22 V + j 28,96 V. Mit Kenntnis von x können nun die Spannungen Maßstab: 1 cm ˆ 10 V und 6 berechnet werden. j Im {} Für die obere linke Masche im Bild 1.32 erhält man: x (10 j80 + 7,2 + j 71, (17,2 j1)v 3,8V j29)v Re {} Für die obere rechte Masche im Bild 1.32 erhält man: x (0 + j0 7,2 j29)v AM TH M TH j18, 6 (32,8 + j11)v 3,6V Probe: x + 6 (17,2 j1+ 32,8 + j11)v (0 j0)v 6V j 39 (0 j0)v 6V j 39 A (Probe stimmt!) Bild BB 1.8: Auszug aus dem Zeigerbild des BB 1.8