Symmetrische Komponenten - Einführung

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1 Symmetrische Komponenten - Einführung Hannes Zinnbauer. Juni gesetzt in L A TEX

2 Inhaltsverzeichnis Theoretische Betrachtung 2 2 Beispiel 6

3 Theoretische Betrachtung Es wird gezeigt, daß sich jedes beliebige Dreiphasensystem, insbesondere wenn es unsymmetrisch ist, mittels der Methode der symmetrischen Komponenten in symmetrische Dreiphasensysteme rückführen läßt. Hierzu wird in Abbildung zunächst das Zeigerdiagramm eines symmetrischen Dreiphasensystems betrachtet. 2 U 2 U U 2 U 2 U U Abbildung : Zeigerdiagramm eines symmetrischen Dreiphasensystems. Hierbei gilt aufgrund der Symmetrie U = U = U 2 = U () wobei für die Spannungen U, U 2 und U gilt: U = Ue j 0 U 2 = Ue j ( 20 ) = Ue j 240 (2) U = Ue j 20 Für den weiteren Verlauf der Betrachtungen wird ein Drehzeiger a des Betrages eins definiert ( a = ): a = e j 20 () Hieraus folgt, daß beispielsweise a 2 = e j 20 e j 20 = e j 240 ist und analog a = e j 60. Mit dieser Definition lassen sich die in (2) definierten Gleichungen schreiben als U = U U 2 = a 2 U (4) U = a U Im symmetrischen Fall müssen sich die drei verketteten Spannungen gegenseitig aufheben, es muß also gelten U + U 2 + U = 0. Da der Betrag der Spannungen 2

4 U im symmetrischen Falle für alle Phasen gleich ist, läßt er sich ausklammern: U ( + a + a 2 ) = 0. Es gilt ferner U 0, so daß folgt ( + a + a 2 ) = 0 (5) Der Drehzeiger a kann in Komponentenschreibweise ausgedrückt werden als a = 2 + j 2 (6) Strenggenommen läßt sich jeder beliebige Winkel durch a ausdrücken, wobei die folgende Tabelle einige Beispiele gibt. Winkel Darstellung j a a 2 j a j a 2 j 2 j a a 2 Tabelle : Ausgewählte Winkel, ausgedrückt durch a. Ebenso wie die verketteten Spannungen lassen sich die Sternspannungen durch a ausdrücken: U 2 = U U 2 = U a 2 U = U ( a 2 ) = U [ ( 2 j 2 )] = j a U U 2 = U 2 U = U (a 2 a) (7) U = U U = U (a 2 ) Die folgenden Betrachtungen können sowohl für Stromzeiger als auch für Spannungszeiger durchgeführt werden und sind in beiden Fällen rechentechnisch äquivalent. Um die Überlegungen nicht zweimal durchführen zu müssen, soll von hier an der Zeiger v als Stellvertreterzeiger für Ströme und Spannungen verwendet werden. Wo also immer dieser Stellvertreterzeiger v auftritt, können statt dessen gedanklich Ströme oder Spannungen eingesetzt werden. Mit Einführung von v beschreibt die Gleichung v + a 2 v 2 + a v = 0 (8) ein symmetrisches Dreiphasensystem. Liegt nun ein unsymmetrisches Dreiphasensystem vor, so gilt stets v 0, das heißt, es bleibt ein Rest bestehen, und die Strom- und Spannungssumme weicht von Null ab: v + v 2 + v 0 (9) Man kann die Symmetrie z.b. im Spannungssystem einfach prüfen, indem man über Spannungswandler die Spannungssumme bildet. Die Summe aller Spannungen muß Null ergeben, der Rest wird mathematisch zu je auf die drei Leiter aufgeteilt. Mathematisch teilt sich somit die Differenz v auf drei Teile auf, die jeweils den Leitern L, L2 und L zugeordnet werden. Als Hinweis auf diesen Rest erhalten die Leitergrößen zusätzlich den Index 0. Man schreibt also: v = v 0 = v 20 = v 0 (0)

5 Diese Rechenoperation ergibt eine symmetrische Aufteilung der Differenz auf die drei Phasen. Man nennt dieses System das Nullsystem des Dreiphasennetzes, da es den Rest beschreibt, der zur Nullsummenbildung der Größen notwendig ist. Die drei Zeiger v 0, v 20 und v 0 haben die gleiche Phasenlage! Weiterhin existiert in jedem Dreiphasensystem ein sogenanntes Mitsystem. Der Name rührt daher, daß dieses System, alleine an eine elektrische Drehfeldmaschine gelegt, diese mit der Richtung des herkömmlichen Drehfelds drehen lassen würde (Rechtsdrehfeld). Seine Komponenten erhalten den Index m und lauten wie folgt. v m = (v + a v 2 + a 2 v ) v 2m = a 2 v m = (v + av 2 + a 2 v ) a 2 () v m = av m = (v + a v 2 + a 2 v ) a Hierbei geht v 2m aus v m durch Drehung um 240 = a 2 hervor und v m geht aus v m durch Drehung um 20 = a hervor. Die drei Zeiger v m, v 2m und v m des Mitsystems haben zueinander einen Phasenversatz von je 20 = a. Bis dato wurde das unsymmetrische Dreiphasensystem in ein Mit- und ein Gegensystem zerlegt. Noch ist es aber nicht möglich, mit diesen beiden jeweils symmetrischen Systemen das originale, unsymmetrische System,,zusammenzubauen. Dies wird erst durch die Einführung eines weiteren, dritten Systems möglich, das sogenannte Gegensystem. Analog dem Mitsystem würde das Gegensystem, alleine an eine elektrische Drehfeldmaschine gelegt, diese entgegen der herkömmlichen Drehrichtung (Linksdrehfeld) rotieren lassen. Pro Phase entsteht dieses System ganz einfach, indem man vom ursprünglichen Zeiger v die bereits gefundenen Null- und Mitsystemzeiger subtrahiert. Man gibt zusätzlich jedem Zeiger den Index g. Somit ergibt sich beispielsweise für die Phase L: v g = v v 0 v m = v (v + v 2 + v ) (v + av 2 + a 2 v ) = = (v + v 2 ( a) + v ( a 2 )) = (v + a v 2 + av ) (2) Die anderen Phasen werden ebenso berechnet und daher nicht mehr explizit aufgeführt. Zusammenfassend ergibt sich für das Gegensystem: 4

6 v g = (v + a 2 v 2 + a v ) v 2g = (a v + v 2 + a 2 v ) = a v g () v g = (a2 v + av 2 + v ) = a 2 v g Man erkennt, daß das Mitsystem ein rechtsläufiges, das Gegensystem ein linksläufiges System ist. Die soeben beschriebenen Komponentensysteme bezeichnet man als die symmetrischen Komponenten. Es ist also möglich, jedes beliebige Dreiphasensystem in seine symmetrischen Komponenten zu zerlegen und mit den Einzelsystemen zu rechnen. Die Probe hierzu kann einfach geführt werden, indem man die drei Komponenten addiert und prüft, ob der ursprüngliche Phasenzeiger wieder zustande kommt: v = v 0 + v m + v g (4) Da die drei Komponentensysteme symmetrisch sind, genügt die Betrachtung einer Phase, vorzugsweise der Phase L, und auch alle Berechnungen können sich auf den einphasigen Fall beschränken. Man einigt sich darauf, als Bezugszeiger nur jenen der Phase L zu benutzen, und spart dadurch einen Index. Die Komponentenzeiger reduzieren sich auf v 0, v m und v g. Wichtig ist zu wissen, daß sich diese immer auf die Phase L beziehen! Man kann also die Berechnung vereinfachen, indem man Größenvektoren v einführt. Der Vektor v = v 2 bezeichnet die Größen (Spannungen oder v Ströme) im Originalsystem, also im unsymmetrischen System, wohingegen der v 0 Vektor v S = v m das symmetrische System kennzeichnet. Hierbei ist zu v g beachten, daß der Vektor v alle drei Phasen des unsymmetrischen Systems beinhaltet, der Vektor v S aber nur für eine Phase, nämlich für L, zuständig ist! Zur Überführung der unsymmetrischen Originalgrößen in den Vektor der symmetrischen Komponenten läßt sich sinnigerweise eine Matrix einführen, die sogenannte Symmetrierungsmatrix S. Ihre Elemente lauten: S = a a 2 a 2 a (5) Mit dieser Kenntnis kann die Umwandlung geschrieben werden als: v 0 v m = v a a 2 v 2 (6) v g a 2 a v Hierbei muß man sich wieder vergegenwärtigen, daß sich der erste Vektor der symmetrischen Komponenten nur auf die Phase L bezieht, der Vektor nach 5

7 der Symmetrierungsmatrix aber alle drei Phasen des unsymmetrischen Systems beinhaltet! In Kurzschreibweise lautet diese Transformationsgleichung v S = S v. Rücktransformation ist ebenfalls möglich, wenn man T = S = einführt und somit schreibt: v = T v S. a 2 a a a 2 (7) 2 Beispiel Im Folgenden soll ein Beispiel zur Methode der symmetrischen Komponenten berechnet werden. Hierzu wird in Bild 2 ein durch unterschiedliche Lasten unsymmetrisch belastetes Dreiphasensystem mit Neutralleiter betrachtet. L L2 L i i 2 i R C L N Abbildung 2: Darstellung des unsymmetrisch belasteten Dreiphasensystems. Aus der Kenntnis der Spannungen im System, die gemäß Bild definiert sind, und der folgenden Werte der Bauelemente lassen sich die Ströme i, i 2 und i berechnen. Bauelementbezeichnung Wert R 50Ω C 0µF L 0,5H Tabelle 2: Werte der im Beispiel eingesetzten Bauelemente. Es gilt demzufolge: i = U j2πf 0,5H = 20 j2π 50Hz 0,5H =,464j A (8) i 2 = U 2 j2πf 0µF = 20e j 20 j2π 50 0µF =,87,08j A (9) 6

8 und schließlich: i = U 50Ω = 20ej 20 = 0,766 +,27j A (20) 50Ω Der Strom im Neutralleiter berechnet sich aus der komplexen Summe der Phasenströme zu i N = i + i 2 + i =,464j +,87,08j 0,766 +,27j = (2) =,04,22j A Das folgende Zeigerdiagramm in Bild zeigt die soeben berechneten Phasenströme und die zugehörigen Spannungen. 2 U 2 U U 2 U 2 I 2 U I I U Abbildung : Zeigerdiagramm der Ströme und Spannungen im unsymmetrischen System des Beispiels. Es soll nun die Methode der symmetrischen Komponenten auf das unsymmetrische System angewandt werden, um die entsprechenden Stromzeiger im Mit-, Gegen- und Nullsystem zu erhalten. Es gilt mit Gleichung 6: i 0 i m i g = = a a 2 a 2 a 0,68 0,4056j A 0,50 + 0,2j A 0,8788,290j A,464j A,87,08j A 0,766 +,27j A = (22) Es wurde die Aussage getroffen, daß der,,reststrom eines unsymmetrischen Dreiphasensystems, der im Neutralleiter fließt, mathematisch zu je einem Drittel auf die Phasen aufgeteilt wird. Dies ist im Beispiel auch nachprüfbar, denn es gilt: i N = i 0 = (0,68 0,4056jA) =,04,22j A (2) 7

9 Zudem müssen sich die drei Stromzeiger i 0, i m und i g des symmetrischen Komponentensystems natürlich auch wieder zum ursprünglichen Zeiger zusammensetzen lassen, wobei zu beachten ist, daß der Bezug stets auf die Phase L erfolgt, daß also gilt: i = i 0 + i m + i g = (0,68 0,4056j)A + (0,50 + 0,2j)A + (24) + ( 0,8788,290j)A =,464j A I g I I m I m I 2 I I 2m I g I 2g Abbildung 4: Zerlegung der unsymmetrischen Stromzeiger in symmetrische Komponenten. Die originalen, unsymmetrischen Stromzeiger der Phasen L2 und L können ebenfalls sehr einfach rekonstruiert werden, lediglich ist zu beachten, daß die drei Nullzeiger gegeneinander keinen Phasenversatz haben, im Mit- und Gegensystem beträgt der Phasenversatz zwischen den einzelnen Zeigern wie gewohnt 20 = a, so daß man schreiben kann: i 2 = i 0 + i m a 2 + i g a = (0,68 0,4056j)A + (0,50 + (25) + 0,2j)A a 2 + ( 0,8788,290j)A a =,86,08j A i = i 0 + i m a + i g a 2 = (0,68 0,4056j)A + (0,50 + (26) + 0,2j)A a + ( 0,8788,290j)A a 2 = 0,766 +,27j A Bild 4 zeigt das Zeigerdiagramm aller Ströme, sowohl im unsymmetrischen als auch im symmetrischen System. Man sieht, wie sich die Zeiger des Null-, Mitund Gegensystems jeweils zu den ursprünglichen, unsymmetrischen Phasenzeigern addieren. Man beachte ferner, daß sowohl das Mit- als auch das Gegensystem jeweils symmetrische Systeme sind, deren Zeiger wie gewohnt um 20 gegeneinander versetzt sind! Da die drei Zeiger des Nullsystems gegeneinander keinen Phasenversatz haben, kommen sie exakt aufeinander zu liegen und erscheinen daher im Zeigerdiagramm als ein Zeiger (grau). 8