FH Giessen-Friedberg StudiumPlus Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler Grundlagen der Elektrotechnik Wechselstromtechnik

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1 4 4. Wechselgrößen Nimmt eine Wechselgröße in bestimmten aufeinander folgenden Zeitabständen wieder denselben Augenblickswert an, nennt man sie periodische Wechselgröße. Allgemeine Darstellung periodischer Wechselgrößen: v( t) = v( t + k T ) mit: k = 0, ±, ±,... (4.) 4. Sinusförmige Wechselgrößen Sinusförmige Wechselgrößen ändern sich zeitlich sinusförmig: v( t) = v$ sin( ωt + ϕ) (4.)

2 4.3 Klassifikation von Wechselgrößen Arithmetischer Mittelwert Gleichanteil der Größe: T T 0 v = v( t) dt (4.3) Gleichrichtwert: T T 0 v = v( t) dt (4.4) Beispiel: Brückengleichrichter u = u$ π Effektivwert: Unter dem Effektivwert (quadratischer Mittelwert) einer Wechselgröße versteht man den Wert, der die gleiche Leistung am gleichen Ohmschen Widerstand R erbringt wie eine ebenso große Gleichgröße. eff T [ ( )] T (4.5) 0 V = v t dt V eff v$ v$ = Veff = (4.6)

3 4.4 Darstellung von sinusförmigen Wechselgrößen durch Zeiger Sinusförmige Wechselspannungen und Wechselströme lassen sich als sog. rotierende Zeiger darstellen, d.h. die Sinusschwingung wird im Zeigerdiagramm durch einen mit der Kreisfrequenz ω im Gegenuhrzeigersinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger der Länge $ v beschrieben. Transformation einer sinusförmigen Zeitfunktion in einen rotierenden Zeiger: Die Projektion des rotierenden Zeigers v( t ) auf die imaginäre Achse ist der Augenblickswert v( t ) der sinusförmigen Wechselgröße. Die sinusförmige Wechselgröße v( t ) wird somit in eine entsprechende komplexe Zeitfunktion v( t ) eindeutig abgebildet (sog. Transformation ins Komplexe). 3

4 4.5 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert Komplexer Widerstand (Impedanz): Unter dem komplexen Widerstand versteht man das Verhältnis zwischen den komplexen Momentanwerten von Spannung und Strom. Er ist gleich dem Verhältnis der komplexen Amplituden. u$ j( u i ) Z = e = Z e $ i ϕ ϕ jϕ (4.) jϕ Z = Z e = Z cos( ϕ) + j Z sin( ϕ) = R + jx (4.) ( ) Z = R + X ; ϕ = arctan X R (4.3) Z nennt man Scheinwiderstand, R den Wirk- und X den Blindwiderstand. Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit einem induktiven (a) bzw. kapazitiven Blindwiderstand (b): jx c Z = R + jx c 4

5 Komplexer Leitwert (Admittanz): Der komplexe Leitwert Y ist der Kehrwert des komplexen Widerstandes. Y I = = = = Y e j jϕ U Z Z e ϕ (4.4) jϕ Y = Y e = Y cos( ϕ) j Y sin( ϕ) = G + jb (4.5) ( ) Y = G + B ; ϕ = arctan B G (4.6) Y nennt man Scheinleitwert, G den Wirk- und B den Blindleitwert. Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem kapazitiven (a) bzw. induktiven Blindleitwert (b): jb L Y = G + jb L Beispiel 4.: Die Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit R R =00Ω und eines induktiven Blindwiderstandes mit X L,R =00Ω soll in eine äquivalente Parallelschaltung mit R P und X L,P umgerechnet werden. 5

6 4.6 Ohmscher, kapazitiver und induktiver Widerstand im Wechselstromkreis Ohmscher Widerstand: Bei einem Ohmschen Widerstand gibt es zwischen Spannung und Strom keine Phasenverschiebung. Im Zeigerdiagramm liegen Stromzeiger I und Spannungszeiger U in gleicher Richtung. u$ = R $ i bzw. U = R I (4.8) ϕu = ϕi (4.9) Linien- und Zeigerdiagramm des Ohmschen Widerstandes: Kapazitiver Widerstand: Der kapazitive (Blind-)Widerstand X C als Quotient der Amplituden von Spannung und Strom ist gleich dem Kehrwert des Produktes ω C, also frequenzabhängig. Der Strom durch die Kapazität C eilt der Spannung um π/ voraus. u$ XC = = ωc $ i (4.0) $ i = ωc u$ bzw. I = ωc U (4.) π π ϕ = ϕu ϕi = bzw. ϕi = ϕu + (4.) 6

7 Linien- und Zeigerdiagramm des kapazitiven Widerstandes: Induktiver Widerstand: Der induktive (Blind-)Widerstand X L als Quotient der Amplituden von Spannung und Strom ist gleich dem Produkt ω L, also ebenfalls frequenzabhängig. Die Spannung an der Induktivität L eilt dem Strom um π/ voraus. X L u$ = ωl = $ i (4.3) u$ = ωl $ i bzw. U = ωl I (4.4) π π ϕ = ϕu ϕi = bzw. ϕu = ϕi + (4.5) Linien- und Zeigerdiagramm des induktiven Widerstandes: 7

8 4.7 Leistung im Wechselstromkreis In einem Gleichstromkreis ist die Leistung zeitlich konstant, weil die Spannung und der Strom zeitlich konstant sind: P = U I In Wechselstromkreisen sind Spannung und Strom sinusförmige Größen, d.h. auch das Produkt die Augenblicksleistung ist zeitlich veränderlich: $ sin( ω ϕ ) $ sin( ω ϕ ) p = u i = u t + i t + = p + p (4.6) u i w B Die Augenblicksleistung setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: Leistungskomponente, die mit ω pulsiert, dabei aber ihr Vorzeichen nicht wechselt. Die durch sie beschriebene Leistung fließt also in einer Richtung und kann somit als dauernde Energieentnahme bzw. -aufnahme, d.h. als irreversible Leistungsumwandlung, gedeutet werden. Sie wird als Wirkleistung p w bezeichnet. Leistungskomponente, die mit ω um die Nulllinie pendelt, d.h. ihr Vorzeichen periodisch wechselt. Das bedeutet, dass sich auch die Richtung des Leistungsflusses periodisch umkehrt. Es wird in dem Verbraucher lediglich Energie gespeichert, die dann wieder abgegeben wird. Im Mittel wird dem Verbraucher von dieser Leistungskomponente keine Energie zugeführt. Man spricht von der Blindleistung p B. u$ $ i p = cos ( ϕ ϕ ) ( ω + ϕ ) w u i cos t u (4.7) u$ $ i pb = sin ( ϕu ϕi ) sin ( ωt + ϕu ) (4.8) 8

9 Scheinleistung: Die Scheinleistung P S ist die Leistung, die scheinbar zur Verfügung steht, wenn man z.b. mit einem Messgerät getrennt zuerst die Spannung und dann den Strom misst (Effektivwerte), also die Phasenlage nicht berücksichtigt. Die Scheinleistung lässt sich auch über das Leistungsdreieck ermitteln. u$ $ i PS = = Ueff Ieff = Pw + P B (4.3) P S α P B P W Wirk-, Blind- und Scheinleistung am komplexen Widerstand (nur Impedanz): Die Wirkleistung P w ist ein Maß für die im Ohmschen Widerstand umgesetzte Leistung. Die Blindleistung P B ist ein Maß für die gespeicherte Leistung. Die Scheinleistung P S ist ein Maß für die gesamte Leistung, d.h. die im Ohmschen Widerstand umgesetzte und die in den induktiven und kapazitiven Widerständen gespeicherte Leistung. I Rr U R jx r U X Zges = Rr + jx r U { } Re ges P = I Z (4.3) w { } Im ges P = I Z (4.33) B 9

10 induktiver Widerstand: B = I ω r mit: r = ω r P L X L kapazitiver Widerstand: P B I mit: X r ωcr ωcr = = ges r r U = Z I = R + X I U I P = = R + X S I r r induktiver Widerstand: kapazitiver Widerstand: S = I r + ω r P R L P S I Rr ω C r = + 0