π soll mit Hilfe einer DFT spektral

Transkript

1 Augabe 6 Das abgetastete Signal x( n) = 2 cos( 2 n ) sin( 2 π 3 n ) π soll mit Hile einer DFT spektral 4 8 analysiert werden. a) Geben Sie zunächst die Frequenz der Cosinusschwingung sowie die Frequenz der Sinusschwingung bei einer Abtastrequenz von 000 Hz an, in dem Sie x(n) au die zugehörige Beschreibung als analoges Signals x(t) zurückühren. Es werden 6 aueinanderolgende Abtastwerte von x(n) mit 0 n 5 mit einer DFT analysiert. b) Geben Sie die Summenormel zur Berechnung von { ( 4) } Berechnung von { ( 6) } Re X sowie die Summenormel zur Im X an. Führen Sie die Berechnung mit Hile von Matlab aus, in dem Sie zunächst einen Vektor n ür die Zeitindices und damit einen Vektor x ür die Abtastwerte deinieren. Zur Berechnung der Summen können Sie die Funktion sum verwenden. Tragen Sie die Ergebnisse in den nachstehenden Diagrammen ein. Re{X(k)} Index k Im{X(k)} Index k Ergänzen Sie in den Diagrammen die zu den von Ihnen berechneten Werten gehörigen Komponenten oberhalb der halben Abtastrequenz. Welcher Index k entspricht der halben Abtastrequenz? c) Berechnen Sie die Energie des Signalabschnitts mit 6 Abtastwerten im Zeitbereich. Berechnen Sie die Energie im Frequenzbereich. H.G. Hirsch 25 DSV-Übung & Praktikum

2 Praktische Übung 6 Überprüen Sie das von Ihnen in der Augabe 6 bestimmte Ergebnis, in dem Sie zunächst die 6 Abtastwerte des Signals x(n) in der graphischen Oberläche des Signalgenerators erzeugen. Gehen Sie anschließend in die graphische Oberläche zur Darstellung der DFT Eigenschaten und übernehmen Sie das Signal aus dem Generatorenster. Wählen Sie die Darstellung von Real- und Imaginärteil. Drucken Sie das Ergebnis aus. Erzeugen Sie sich in Matlab einen Nullvektor mit 6 Werten. Dieser Vektor soll das von Ihnen berechnete DFT Spektrum beinhalten. Setzen Sie dazu die entsprechenden Komponenten dieses Vektors au die von Ihnen berechneten Werte der DFT. (Hinweis: Bei Matlab beginnt die Indizierung bei!) Führen Sie eine inverse DFT mit Hile der in Matlab vorhandenen Funktion it durch. Visualisieren Sie das Ergebnis mit Hile des Beehls stem. Vergleichen Sie die Abtastwerte mit den Werten im Fenster des Signalgenerators. Augabe & Praktische Übung 7 cos mit a Zur Spektralanalyse werden 40 Abtastwerte eines Cosinussignals x( n) = 2 π n einer DFT transormiert. Die Abtastrequenz beträgt a = 8000 Hz. a) Bei welchen diskreten Frequenzen können mit der DFT die Werte des Spektrums bestimmt werden? b) Geben Sie die mathematische Beschreibung zum Extrahieren der 40 Abtastwerte im Zeitbereich an. Wie sieht die zugehörige mathematische Beschreibung im Frequenzbereich aus? Die mathematische Beschreibung im Frequenzbereich und das daraus resultierende Ergebnis soll mit Hile eines Experiments ür zwei Cosinussignale mit verschiedenen Frequenzen nachvollzogen werden. Deinieren Sie sich in Matlab zunächst einen Frequenzvektor = -4000:4000;, der den Frequenzbereich a + a deiniert. 2 2 c) Es soll ein Cosinussignal mit einer Frequenz von 800 Hz analysiert werden. Legen Sie mittels Hcos = zeros(size()); einen Nullvektor zur Beschreibung des Spektrums des Cosinussignals an. Überlegen Sie sich, bei welchen Indices Hcos einen Wert ungleich Null annimmt. (Hinweis: Sie können Ihre Überlegungen überprüen mittels ind(==-800) bzw. ind(==800) ) Setzen Sie entsprechenden Komponenten von Hcos(index) = ; H.G. Hirsch 26 DSV-Übung & Praktikum

3 Stellen Sie das Spektrum des Cosinus mittels subplot(4,,); plot(, Hcos); graphisch dar. Deinieren Sie die SI-örmige Übertragungsunktion des Rechteckensters, mit dem das Signal zum Extrahieren des Signalabschnitts multipliziert wird, als Vektor Hsi ür den durch deinierten Frequenzbereich. Stellen Sie die Übertragungsunktion mittels subplot(4,,2); plot(, Hsi); graphisch dar. Die Faltung der Spektren von Cosinussignal und Rechteckenster kann mittels Hal = conv(hcos, Hsi); ausgeührt werden. Überlegen Sie sich, zwischen welchen Indices der Vektor Hal das Spektrum als Ergebnis der Faltung im Bereich a + a beinhaltet: 2 2 Start-Index:. End-Index:. Stellen Sie das Faltungsergebnis mittels subplot(4,,3); plot(, Hal(startindex:endindex)); graphisch dar. Das Ergebnis der DFT erhält man durch eine Abtastung des Faltungsergebnisses bei den im Unterpunkt a) bestimmten Frequenzen. Hinweis: Aus dem Vektor Hal können Sie jeden n-ten Wert mit Hal(startindex:n:endindex) herausgreien! Stellen Sie das DFT Spektrum mittels subplot(4,,4); stem((-4000:n:4000), Hal(startindex:n:endindex)); graphisch dar. Es sollte deutlich werden, dass das DFT Spektrum in diesem Fall dem Spektrum des Cosinus entspricht! Drucken Sie die Graphik mittels Auru von print in Matlab aus. d) Bestimmen Sie durch Wiederholung der unter c) genannten Verarbeitungsschritte das DFT Spektrum ür ein Cosinussignal mit einer Frequenz von 900 Hz. In diesem Fall sollte deutlich werden, dass das DFT Spektrum deutlich von dem Spektrum des Cosinussignals abweicht. Drucken Sie sich das Ergebnis wieder aus. Sie können das aus den Abtastwerten des Signals bestimmte DFT Spektrum mit Hile der graphischen Oberlächen des Praktikums erzeugen. Das so erzeugte Spektrum wird nahezu identisch mit dem aus der Faltung resultierenden Spektrum sein. Erzeugen Sie in der graphischen Oberläche des Signalgenerators die 40 Abtastwerte (bei a = 8000 Hz ) eines phasenverschobenen Sinussignals mit einer Frequenz von 900 Hz und einer Phase von -20 Grad. Gehen Sie in die graphische Oberläche zu den DFT Eigenschaten und transormieren Sie die Abtastwerte aus der Oberläche des Signalgenerators. Das sich dabei einstellende Betragsspektrum sollte dem durch die Faltung bestimmten Spektrum igure; stem((0:200:4000), abs(hal(800:200:200))); näherungsweise entsprechen. H.G. Hirsch 27 DSV-Übung & Praktikum

4 Sie können den Einluss verschiedener Fensterunktionen untersuchen, in dem Sie in der graphischen Oberlächen bei dem zugehörigen Auswahlmenü eine Fensterunktion auswählen. Praktische Übung 8 In der graphischen Oberläche zur FFT Analyse besteht die Möglichkeit, Signale mit einer DFT der Längen 6, 32, 64,, 4096 zu analysieren. Dabei kann das Analyseenster mit der Maus an eine gewünschte Stelle des Signals verschoben werden. Im Folgenden werden 2 Experimente durchgeührt, die beispielhat den Einsatz einer Spektralanalyse demonstrieren sollen. a) Im ersten Experiment soll das DTMF Signal, mit dem die Inormation über die an einem Teleon gedrückten Tasten zu einer Vermittlungsanlage übertragen wird, analysiert werden. Dabei wird eine Taste als additive Überlagerung zweier Sinustöne codiert, wie es der nachstehenden Graphik entnommen werden kann. Die Taste 5 wird beispielsweise als Kombination eines 770 Hz und eines 336 Hz Sinus übertragen. In der Vermittlungsanlage wird dann durch eine Spektralanalyse aus den beiden im Signal enthaltenen Frequenzkomponenten die gedrückte Taste decodiert. 697Hz 2 3 A 770Hz B 852Hz C 94Hz * 0 # D 209Hz 336Hz 477Hz 633Hz Laden Sie in der graphischen Oberläche zur FFT Analyse das Signal dtm_telnr.wav, das eine Folge von DTMF Tönen als Codierung einer Teleonnummer beinhaltet. Verschieben Sie das Analyseenster zu den einzelnen DTMF Tönen. Verwenden Sie eine FFT der Länge 52. Vergleichen Sie die Spektren bei Auswahl eines Rechteckensters (als. Fensterunktion) und eines Hamming-Fensters (als 2. Fensterunktion). Durch Anklicken einer Spektralkomponente mit der Maus erhalten Sie Angaben zu Frequenz und db Wert der zugehörigen DFT Komponente. Geben Sie die zugehörige Teleonnummer an: H.G. Hirsch 28 DSV-Übung & Praktikum

5 b) Laden Sie das Sprachsignal vokal_a.wav, das ein gesprochenes A beinhaltet. Verwenden Sie eine FFT der Länge 52. Wie lässt sich das Signal charakterisieren, wenn Sie sich den Signalverlau des Signalausschnitts anschauen: Bei welchen Frequenzen sollte das Signal eigentlich nur Spektralwerte ungleich Null auweisen, wenn die Periodenlänge 8 ms beträgt:.. Vergleichen Sie wiederum die Spektren bei Auswahl eines Rechteckensters (als. Fensterunktion) und eines Hamming-Fensters (als 2. Fensterunktion). Drucken Sie sich das Ergebnis aus. Kontrollieren Sie die zuvor angegebenen Frequenzwerte, in dem Sie die ersten 4 Maxima des logarithmischen Leistungsdichtespektrums anklicken. Augabe & Praktische Übung 9 In der Augabe zum Thema der diskreten Faltung wurde bereits die Impulsantwort des idealen TP Filters mit einer Grenzrequenz g a = 6 analysiert. a) Geben Sie die mathematische Beschreibung der Impulsantwort h TP (n) an. Wie lässt sich die ideale Filtercharakteristik mathematisch im Frequenzbereich beschreiben? Skizzieren Sie den idealen Frequenzgang. Im Rahmen der Augabe wurden zwei zeitbegrenzte Versionen (mit 9 bzw. 8 Abtastwerten) der Impulsantwort spektral analysiert. Die zeitbegrenzten Impulsantworten mit den zugehörigen Frequenzgängen sollten Sie bereits in gedruckter Form haben (ansonsten können Sie das Experiment aus Augabe mit N=9 Werten nochmals durchühren). Es hatte sich herausgestellt, dass die Frequenzgänge der zeitbegrenzten Impulsantworten von der idealen Charakteristik abweichen. b) Geben Sie die mathematische Beschreibung der zeitbegrenzten Impulsantwort sowie der daraus resultierenden Beschreibung im Frequenzbereich in allgemeiner Form ür eine Beschränkung au N Abtastwerte der Impulsantwort an. Im Folgenden wird in Matlab ein Experiment zur Bestimmung des Frequenzgangs an Hand der unter b) angegebenen mathematischen Beschreibung durchgeührt. Deinieren Sie sich zunächst mittels a = -:0.00:; einen Vektor, der den Frequenzbereich + repräsentiert. a H.G. Hirsch 29 DSV-Übung & Praktikum

6 Legen Sie mittels Hideal = zeros(size(a)); einen Nullvektor zur Beschreibung des idealen Frequenzgangs an, der die gleiche Dimensionierung wie a besitzt. Überlegen Sie sich, zwischen welchen Indices der Vektor zu gesetzt werden muss, um einen TP mit der Grenzrequenz g a = 6 estzulegen. Start-Index:. End-Index:. Setzen Sie die Werte mittels Hideal(startindex:endindex) = ; Schauen Sie sich das Ergebnis mittels subplot(3,,); plot(a, Hideal); an. Deinieren Sie sich den Frequenzgang als Vektor Hsi, der das Spektrum des Rechteckensters, mit dem die Impulsantwort im Zeitbereich begrenzt wird, beschreibt. Stellen Sie diesen Frequenzgang mittels subplot(3,,2); plot(a, Hsi); dar. Die Faltung des idealen Frequenzgangs und des zum Rechteckenster gehörigen Spektrums kann mit Hile der Funktion conv, beispielsweise mittels Hreal = conv(hideal, Hsi); erolgen. Aus wie vielen Werten besteht das Ergebnis der Faltung (size(hreal)): Überlegen Sie sich, zwischen welchen Indices der Frequenzgang Hreal im Bereich + deiniert ist: Start-Index:. End-Index:. Stellen Sie den Frequenzgang mittels subplot(3,,3); plot(a, Hreal(startindex:endindex)); dar. Drucken Sie sich das Ergebnis durch Auru der Funktion print aus. Um das Ergebnis der Faltung genauer mit dem in Augabe ausgedruckten Frequenzgang zu vergleichen, sollte die Darstellung au den Bereich 0 +0, 5 a beschränkt werden. Zwischen welchen Indices ist dieser Frequenzbereich deiniert: Start-Index:. End-Index:. a Außerdem können Sie die Funktion abs verwenden, um den Betrag der Übertragungsunktion darzustellen. Ergänzen Sie entsprechend die nachstehende Matlab Kommandozeile zur Darstellung des Betrags der Übertragungsunktion im Bereich 0 +0, 5 : igure; plot((0:0.00:0.5), ); Das Schwingungsverhalten der Übertragungsunktion im Sperr- und Durchlassbereich des TP lässt sich durch Multiplikation der sin(x)/x -örmigen Impulsantwort mit einer zeitbegrenzten Fensterunktion verbessern. Daraus resultiert die Faltung mit der zu der jeweiligen Fensterunktion gehörigen Fourier-Transormierten. Im nachstehenden Bild sind beispielhat die Spektren dreier a H.G. Hirsch 30 DSV-Übung & Praktikum

7 Fensterunktionen zur vergleichenden Betrachtung bei einer logarithmischen Skalierung der y- Achse (db) dargestellt. Laden Sie in der graphischen Oberläche zu den DFT Eigenschaten nochmals die in Augabe bestimmte zeitbegrenzte Impulsantwort mit 8 Werten. Sie können den Einluss der verschiedenen Fensterunktionen mit dem unter der Graphik vorhandenen Auswahlmenü untersuchen. Wählen Sie das Blackman Fenster und speichern Sie die zugehörige gewichtete Impulsantwort durch Auswahl des Menüpunkts Signal und speichern. Gehen Sie in die graphische Oberläche zur Darstellung des Frequenzgangs einer Impulsantwort und laden Sie die gewichtete Impulsantwort. Vergleichen Sie den Frequenzgang mit dem in Augabe bestimmten. Drucken Sie das Ergebnis aus. Augabe & Praktische Übung 20 Es soll die Impulsantwort eines BP Filters bestimmt werden, das bei einem mit 6 khz abgetasteten Signal den Frequenzbereich von 2 bis 4 khz durchlässt und unterhalb von 2 khz sowie oberhalb H.G. Hirsch 3 DSV-Übung & Praktikum

8 von 4 khz unterdrückt. Skizzieren Sie in der nachstehenden Darstellung den Frequenzgang des idealen BP Filters. H() /khz Das BP Filter soll durch die spektrale Verschiebung eines Prototyp-Tiepasses erzeugt werden. Skizzieren Sie in der nachstehenden Darstellung den Frequenzgang des idealen TP. H TP () /khz Geben Sie die mathematische Beschreibung der zugehörigen Impulsantwort h TP (n) des TP an. Erzeugen Sie sich in Matlab ür n=-60:60; die 32 Abtastwerte einer zeitbegrenzten Impulsantwort htp. Multiplizieren Sie die zeitbegrenzte Impulsantwort mit einem Hamming-Fenster gleicher Länge (Funktion hamming). Speichern Sie Werte der Impulsantwort htp_ham mit wavwrite(htp_ham, 6000, /data/praktikum_dnt/dsvx/a20_htpham.wav ); DSVx steht ür Ihr Gruppenkürzel. Laden Sie die gespeicherte Impulsantwort in der graphischen Oberläche zur Darstellung des Frequenzgangs einer Impulsantwort. Überprüen Sie, ob der Frequenzgang das gewünschte TP Verhalten zeigt. Geben Sie die mathematische Beschreibung im Frequenzbereich zur Verschiebung des TP Frequenzgangs zur gewünschten Mittenrequenz des BP an. Wie sieht die zugehörige mathematische Beschreibung im Zeitbereich aus? Laden Sie die Impulsantwort des TP in der graphischen Oberläche des Signalgenerators. Führen Sie die mathematische Operation aus, um die Impulsantwort des BP zu erzeugen. Speichern Sie die Impulsantwort ab und laden Sie diese wieder in der graphischen Oberläche zur Darstellung des Frequenzgangs einer Impulsantwort. Überprüen Sie, ob der Frequenzgang das gewünschte BP Verhalten zeigt. Drucken Sie die Graphik aus. Laden Sie in der graphischen Oberläche zur Faltung das Musiksignal arica_6k.wav. Laden Sie die Impulsantwort des BP und ühren Sie die Faltung durch. Hören Sie sich das Ergebnis an. Speichern Sie das geilterte Signal ab und laden Sie es in der graphischen Oberläche zur FFT Analyse. Bei einer Analyse mit einer FFT Länge von 4096 Werten sollte die gewünschte BP Filterung sichtbar werden. H.G. Hirsch 32 DSV-Übung & Praktikum

9 Augabe & Praktische Übung 2 Es soll eine 4-kanalige Filterbank entworen werden, um aus einem mit 6 khz abgetasteten Signal 4 Teilbandsignale zu erzeugen, die jeweils einen gleichbreiten Frequenzbereich des Signalspektrums abdecken. Skizzieren Sie in der nachstehenden Darstellung die idealen Frequenzgänge der vier Filter. H BPk () /khz Geben Sie die mathematische Beschreibung zur Erzeugung der 4 Bandpass-Impulsantworten h BPk (n) aus der Impulsantwort (n) Welche Grenzrequenz besitzt der Prototyp-TP? h TP eines Prototyp-TP an. Bei einem Vergleich mit dem in der vorhergehenden Augabe verwendeten Prototyp-TP sollte sich ergeben, dass der gleiche TP benötigt wird. Laden Sie die in der vorherigen Augabe bestimmte Impulsantwort des TP in der graphischen Oberläche des Signalgenerators. Erzeugen Sie die 4 BP- Impulsantworten (Hinweis: Wählen Sie die Amplitude des Cosinus zu 0,25. Dies dient lediglich zur Vermeidung von Überschreitungen des Wertebereichs von - bis +). Speichern Sie die Impulsantworten (Hinweis: ohne Skalierung) ab. Im Folgenden sollen die 4 Teilbandsignale ür ein Musiksignal erzeugt werden. Es soll gezeigt werden, dass man durch additive Überlagerung der Teilbandsignale wieder das Originalsignal erzeugen kann. Laden Sie in der graphischen Oberläche zur Faltung das Musiksignal kastagnetten_6k.wav. Laden Sie nacheinander die 4 Impulsantworten der BP Filter, ühren Si jeweils die Faltung aus und speichern Sie die Ausgangssignale ab. Gehen Sie in die graphische Oberläche des Signalgenerators und laden Sie das Ausgangssignal des niederrequentesten BP. Hören Sie sich das Signal an. Addieren Sie nun nacheinander jeweils die 3 Teilbandsignale durch Auru des Menüpunkts Signal und hinzuaddieren. Hören Sie sich das Signal nach jeder Addition an. H.G. Hirsch 33 DSV-Übung & Praktikum