a) Betrachte das folgende Prinzipbild der Lasertriangulation und beschreibe die Funktionsweise dieses Messverfahrens.

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1 Aufgabe : Laserabstandsmessung Mit Hilfe der sogenannten Triangulationstechni ann der Abstand eines Objetes mit einem Lasersensor bestimmt werden. Der Messbereich reicht von einigen Millimetern bis zu maximal 0 Metern, was die Triangulation zum meistbenutzten Entfernungsmessverfahren mittels Laser macht. Da weniger als 0 ms Messdauer erforderlich sind, önnen auch Schwingungen online erfasst werden. Die Anwendungsmöglicheiten der Triangulation sind äußerst vielfältig. Unter anderem ontrollieren und regeln solche Verfahren in Echtzeit Produtionsprozesse, überwachen die Produtqualität, positionieren Roboterarme und regeln die Fahrwere der Rennboliden von Schumacher, und Co. a) Betrachte das folgende Prinzipbild der Lasertriangulation und beschreibe die Funtionsweise dieses Messverfahrens. b) Die Auswertung der Abstandsmessung erfolgt mit Hilfe eines Mirocontrollers, der mit einem Softwarealgorithmus die Entfernung bestimmt. Der Basisabstand eines Sensors betrage 0 mm. Wie lautet die Funtion, nach der das Softwareprogramm den Abstand zum Messobjet berechnet? c) Aufgrund des Positionsdetetors önnen Winel β von 5 bis 75 gemessen werden. Welchen Messbereich ann der Hersteller im Datenblatt dieses Sensors angeben?

2 Lösung: Aufgabe.a) Die Triangulationstechni bestimmt den Wert einer Entfernung über die Auswertung einer Dreiecsberechnung. Dies erfolgt durch den seitlichen Blic eines Positionsdetetors auf den Zielpunt. Das Dreiec ist durch die Kenntnis zweier Winel (α und β) und einer Seitenlänge, den sogenannten Basisabstand AB, eindeutig bestimmt. Durch die gerätetechnische Festlegung des rechten Winels α und der Basislänge AB sowie durch die Messung des Winels β ann somit die Länge, bzw. Entfernung AC bestimmt werden. Aufgabe.b) Mit α = 90 folgt: AC tan( β ) = AC = AB tan( β ) AB Mit der onstanten Basislänge von 0 mm und der Variablen β folgt als Algorithmus für das Softwareprogramm: AC = f (β ) AC = 0mm tan( β ) Voraussetzung ist, dass der Winel β zuvor aus der Auswertung des Positionsdetetors bestimmt wurde. Aufgabe.c) AC = 0mm tan( β ) = 0mm tan(5 ) = 9, 6mm AC = 0mm tan( β ) = 0mm tan(75 ) = 74, 64mm Um auch an den Messbereichsenden noch zuverlässig Werte messen zu önnen, sollte der Messbereich etwas leiner angegeben werden (Kundenzufriedenhei. Somit önnte die Herstellerangabe von 0 mm bis 74 mm lauten.

3 Aufgabe : Überlagerung von Schwingungen Einer Membran stehen zwei Schallquellen S und S gegenüber. Ein von der Schallquelle S (bzw. S ) erzeugter Ton bewirt eine Schwingung der Membran, wobei die Funtion f : t a f( ) (bzw. : t f ( ) t t f a ) die Auslenung eines Puntes der Membran aus der Ruhelage beschreibt. Gehen von beiden Schallquellen gleichzeitig Töne aus, so wird die Bewegung eines Puntes der Membran durch die Funtion f t a f ( + f ( ) beschrieben. : t In der Physi sagt man, die beiden Schwingungen überlagern sich; in der Mathemati nennt man f die Summe der Funtionen f und f. Die von einer Stimmgabel erzeugten Schwingungen einer Membran lässt sich durch die allgemeine Sinusfuntion beschreiben. Dabei ist die Amplitude ein Maß für die Lautstäre und die Frequenz ein Maß für die Tonhöhe. allgemeine Sinusfuntion: t a a sin( b t c) a) Begründe: Die Summe zweier allgemeiner Sinusfuntionen mit gleicher Frequenz und Phasenverschiebung ist eine allgemeine Sinusfuntion mit gleicher Frequenz und Phasenverschiebung. Ihre Amplitude ist die Summe der beiden einzelnen Amplituden. b) Bei der Überlagerung von Schwingungen ergibt sich mit Hilfe der Additionstheoreme: x y sin( x ) + sin( y) = cos x + y sin Zwei unterschiedliche Töne g ( und g ( werden überlagert. Zeige mit Hilfe dieser Formel, dass für g( gilt: (( f f ) (( f + f ) g( = g( + g ( = cos sin mit g = ( sin t T und g = ( sin t T.

4 c) Der dunelblaue Graph gehört im Diagramm zu der Funtion g( mit den Frequenzen 440 Hz und 400 Hz. Begründe mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil b), dass der Graph von g zwischen den beiden roten Graphen zu den Funtionen t cos(40 und t cos(40 liegen muss.,0 Schwebung,5,0 0,5 g( 0,0-0,5 0 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 -,0 -,5 -,0 t [s] d) Wie geht demnach ein Klavierstimmer vor, wenn er ein Klavier mit Hilfe einer Stimmgabel stimmt?

5 Lösung: Aufgabe.a) f( = a sin( bt c) f ( = a sin( bt c) ( f + f ) = f ( + f ( = ( a + a ) sin( b t ) ( c Aufgabe.b) Mit f T = folgt mit g t t = T ( ) sin sin = T ( f und g ( sin t = sin( f ( f + sin( f g( = g( + g ( = sin Einsetzen in die gegebene Gleichung ergibt: = f t f t f t + f t g( = cos sin (( f f ) (( f + f ) g( = cos sin für g: Aufgabe.c) Einsetzen der Frequenzwerte ergibt: ( 40 sin( 840 g( = cos Durch Setzten der ecigen Klammern in der allgemeingültigen Gleichung wird deutlich, dass es sich bei der Überlagerung von Schwingungen um eine Sinus-Funtion mit dem arithmetischen Mittel der beiden Ausgangsschwingungen g und g handelt. x y + x y sin( x ) + sin( y) = cos sin Der ecige Teil der Gleichung entspricht der Variablen a der allgemeinen Sinusfuntion und beschreibt die Amplitude der Funtion. f ( = a sin( bt c) In diesem Fall handelt es sich bei der Amplitude nicht um eine Konstante, sondern um eine Cosinus- Funtion, die als umhüllende Funtion im Diagramm rot dargestellt ist. Somit gilt: cos(40 g( cos(40

6 Aufgabe.d) Wenn man die Saite eines Instruments anschlägt, so schwingen viele andere Teile des Instruments mit. Aus der Überlagerung all dieser Schwingungen entsteht die sogenannte Klangfarbe des jeweiligen Instruments. Der Kammerton A hat eine Frequenz von 440 Hz. Wenn man eine Stimmgabel anschlägt, hört man diese Tonhöhe. Dieser Kammerton beruht auf einer weltweiten Übereinunft der internationalen Stimmtononferenz. Nur so ist gewährleistet, dass mehrere Instrumente die gleiche Tonhöhe haben und somit auch miteinander in einem Orchester musizieren önnen. Aus diesem Grund onstruieren alle Klavierbauer weltweit ihre Klaviere so, dass sie am besten lingen, wenn sie diese Tonhöhe haben. Beim Klavierstimmen lässt sich die Tonhöhe durch Spannen der Saiten verstellen. Der Klavierstimmer schlägt zum Stimmen das A des Klaviers und gleichzeitig die Stimmgabel an. So überlagert er diese beide Töne. Je leiner der Frequenzunterschied zwischen beiden Tönen, um so langsamer schwingt die Schwebung, die sich als Lautstäreänderung bemerbar macht. Die Töne haben die gleiche Frequenz, wenn eine Schwebung mehr hörbar ist. In diesem Falle ist die Differenz der Frequenzen gleich null und der Cosinus wird gleich eins. Mit diesem Verfahren lassen sich auch leine Frequenzunterschiede mit dem Gehör bestimmen, da die Amplitude der Schwebung unabhängig von den einzelnen Frequenzen ist. Das An- und Abschwellen der Lautstäre ist also nur vom Frequenzunterschied abhängig.

7 Aufgabe : a) Deute aus der gegebenen Funtion ihre Amplitude und ihre Phasenverschiebung! = 4sin x + b) Welche Auswirungen haben die Schwingungsparameter a, b, c und d im Allgemeinen auf den Graphen der Funtion? = a sin( b x + c) + d c) Ermittle die Funtionsgleichung der trigonometrischen Funtion mit einer Amplitude von cm, die durch die folgenden drei Punte (Q = (0/0), R = (0,8/,968) und S = (,/-)) verläuft und zeichne sie in das beigefügte Koordinatensystem ein! d) Vereinfache die gegebene Funtion! Welche Strategie hast du zur Lösung verwendet? 4cos ( sin( 4sin = 8cos( ( e) Ermittle alle Nullstellen der folgenden Funtion! Welche Möglicheiten ennst du, solch einen Typ von Aufgaben zu lösen? = cos( sin ( +

8 Lösung: Aufgabe.a) Amplitude = 4, = 4sin x + Phasenverschiebung um nach lins vom Koordinatenursprung Aufgabe.b) = a sin( b x + c) + d a = Amplitude (Schwingungsweite) a > : Strecfator in y-richtung a < : Stauchfator in y-richtung b = Strec- / Stauchfator in x-richtung b < : Strecfator in x-richtung b > : Stauchfator in x-richtung c = Verschiebung in x-richtung c < 0 in die positive x-richtung c > 0 in die negative x-richtung d = Verschiebung in y-richtung d > 0 in die positive y-richtung d < 0 in die negative y-richtung Aufgabe.c) Die Funtionsgleichung aus den gegebenen Daten lautet: = sin( b x + c) Punteeinsetzungsverfahren: 0 = sin( c ) 0 = sin( c) c = 0 oder c = n Annahme: c = 0 => = sin( b Schritt : Einsetzen des Punts R(0,8/,968) in f(,968 = sin(0,8 b) 0,989 = sin(0,8 b) => b =,78 Schritt : Kontrolle durch Einsetzen des Punts S(,/-) und b =,78 in f( = sin(, b) sin(,,78) => b, 78

9 Schritt : Lösen durch systematisches Testen! b sin(0,8 b) sin(, b) 0 0 0,5,674,999,45,06-0,47 4-0,75 -, ,7 -,7 6 -,988 0,95 7 -,894,65 8 0,5,755 9,8 -,7 0,968 -,999 ~ - => b = 0 => f = sin(0 oder = sin(0 x + n ) mit n Z (

10 Aufgabe.d) Strategie: Zerlegungsprinzip 4cos ( sin( 4sin = 8cos( ( [ cos ( + sin ( ] 4sin( = 8cos( = tan( denn sin( = sin(, cos( x ) = cos(, cos ( ) + sin ( = x und sin( tan( x ) = cos( Aufgabe.e) = cos( sin ( + Variante : algebraisch Substitution = cos( sin ( + = 0 cos( + = sin ( cos( ) ( cos x + = ( ) denn cos ( x ) + sin ( = cos( + = cos ( cos ( x ) + cos( = 0 cos( x ) = u cos ( x ) + cos( = 0 + u = 0 u p-q-formel u => Resubstitution: = ± 4 + = ± = 6 4 ± u =, u = 5 cos( x ) = => x = + oder x = + cos( x ) = => x = + 5 L = + Z + Z 4 { + Z}

11 Variante : graphisch ) ( sin ) cos( ) ( + = x x x f Durch Ablesen der Nullstellen folgt: { } Z Z Z L = 5