8 Das Leistungsdichtespektrum

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1 8 Das Leistungsdichtespektrum X (X(t), t T ) sei ein stationärer Prozess mit konstanter Mittelwertfunktion EX(t) m X und Autokorrelationsfunktion R X (t) EX(s + t)x (s). Wir nehmen für dieses und die folgenden Kapitel an, dass die betrachteten stationären Prozesse stets Mittelwert m X besitzen (bzw. betrachten den Prozess X(t) X(t) m X ). Die Autokorrelationsfunktion ist, wie in einem früheren Kapitel bereits gezeigt, eine positiv semidefinite Funktion, d.h. für beliebige t 1, t 2,..., t n aus T und beliebige komplexe Zahlen z 1, z 2,..., z n gilt n i1 k1 n R X (t i t k )z i zk (18) Diese Eigenschaft gestattet eine Frequenzbereichsdarstellung und -analyse von stationären Prozessen. Wir behandeln dabei den zeitkontinuierlichen und den zeitdiskreten Fall getrennt. 8.1 Der zeitkontinuierliche Fall X(t) mit reellem Zeitargument t (, ) sei ein stationärer Prozess mit EX(t) und stetiger Autokorrelationsfunktion R X (t). Aus der Eigenschaft (18) folgt insbesondere R X (). Wenn wir den uninteressanten Fall X(t) für alle t ausschließen, können wir annehmen, dass r : R X () > Für derartige Funktionen R X (t) gilt der Satz von Bochner, den wir hier in einer an den ersten Teil der Vorlesung angepassten Terminologie formulieren: Satz 8.1 (Bochner) Zu einer stetigen positiv semidefiniten Funktion R X (t) mit r R X () > gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf der reellen Zahlengeraden so, dass für alle t R gilt R X (t) e j2πft r P (df) (19) Einen Beweis findet man z.b. bei Cramèr und Leadbetter [1] in Kapitel 7.4. Für die Anwendungen ist nur der Fall interessant, dass die Verteilung P absolutstetig ist, d.h. eine Dichte g(f) besitzt. Die Funktion S X (f) r g(f) ist dann reellwertig und nichtnegativ und besitzt die Eigenschaft woraus speziell R X (t) E X(t) 2 R X () e j2πft S X (f) df (2) S X (f) df (21) 42

2 folgt. Man kann R X als Überlagerung von harmonischen Schwingungen mit Frequenzen f interpretieren und die mittlere Leistung E X(t) 2 als Summe von Leistungsanteilen S X (f)df bei Frequenzen f. Daraus resultiert die folgende Bezeichnung: Definition 8.1 Ist X(t) ein stationärer Prozess mit t R und einer stetigen Autokorrelationsfunktion R X (t) der Form (2), so heißt die Funktion S X (f) das Leistungsdichtespektrum (LDS) des Prozesses X(t). Falls das Integral existiert, gilt umgekehrt S X (f) e j2πft R X (t) dt (22) d.h. S X (f) ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion. Anmerkungen zur Fouriertransformation 1. Wir verwenden die symmetrische Form der Fouriertransformation mit Zeitvariabler t und Frequenzen f: x(f) F[x](f) mit der inversen Fouriertransformation x(t) F 1 [ x](t) e j2πft x(t) dt e j2πft x(f) df 2. Der Umgang mit Fourierintegralen wird mathematisch nicht allzu streng gehandhabt. Wir nehmen stets an, dass die nötigen Voraussetzungen gegeben sind, wobei auch verallgemeinerte Funktionen wie die Diracsche Deltafunktion als Integranden und Lösungen zugelassen sind. Aus dem Satz von Bochner folgt bereits, dass das LDS reell und nichtnegativ ist. Speziell für reelle stationäre Prozesse gilt noch Satz 8.2 Ist X(t) ein reeller stationärer Prozess, so ist das LDS eine gerade Funktion: S X ( f) S X (f) Beweis: Ist der Prozess X(t) reell, dann auch die Autokorrelationsfunktion. Daher gilt R X (t) R X( t) R X ( t) d.h. R X (t) ist eine gerade Funktion. Für das LDS ergibt sich daraus S X (f) e j2πft R X (t) dt cos(2πft)r X (t) dt j (cos(2πft) j sin(2πft)) R X (t) dt sin(2πft)r X (t) dt 43

3 Das zweite Integral verschwindet, weil der Integrand bezüglich der Variablen t eine ungerade Funktion ist. Da cos(x) cos( x) eine gerade Funktion ist, folgt S X ( f) cos(2π( f)t)r X (t) dt cos(2πft)r X (t) dt S X (f) Beispiele 1. Das Zufallstelegraphensignal Für R X (t) e 2λ t erhält man S X (f) lim a lim a e 2λt e j2πft dt + e (2λ j2πf)t dt + [ a e (2λ j2πf)t dt + lim e (2λ j2πf)t 2λ j2πf ] 1 2λ j2πf lim a 1 2λ j2πf + 1 4λ 4λ 2 + 4π 2 f 2 a e 2λt e j2πft dt e (2λ+j2πf)t dt b + lim b 2λ + j2πf λ λ 2 + π 2 f 2 2. Kosinusschwingung mit zufälliger Phase [ b e (2λ+j2πf)t dt e (2λ+j2πf)t 2λ + j2πf ] b e 2λa e j2πfa 2λ j2πa + 1 2λ + j2πf lim b e 2λb e j2πfb 2λ + j2πb Die Autokorrelationsfunktion R X (t) a2 2 cos(2πf t) liefert als LDS die Distribution S X (f) a2 4 δ(f f ) + a2 4 δ(f + f ) wovon man sich durch Berechnen der inversen Fouriertransformierten leicht überzeugen kann. 3. Weißes Rauschen Bandbegrenztes weißes Rauschen hat ein LDS der Form { N S X (f) 2, W f W, sonst 44

4 Die mittlere Leistung ist E X(t) 2 W W N 2 df N W wozu jede Frequenz im Bereich [ W, W ] den gleichen Anteil beiträgt. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion ist R X (t) 1 2 N W W e j2πft df 1 2 N e j2πw t e j2πw t j2πt N sin(2πw t) 2πt Für W erhält man das LDS S X (f) N für < f < mit unendlicher 2 mittlerer Leistung und der Autokorrelationsfunktion Das Kreuzleistungsspektrum R X (t) N 2 δ(t) Zwei stochastische Prozesse X(t) und Y (t) heißen gemeinsam stationär, wenn sie stationär sind und die Kreuzkorrelation von X und Y nur von der Zeitdifferenz abhängt: EX(s + t)y (s) R XY (t) für alle s und t. Dementsprechend führen wir die folgende Größe ein: Definition 8.2 S XY (f) e j2πft R XY (t) dt heißt das Kreuzleistungsspektrum der gemeinsam stationären Prozesse X und Y. Die Funktion S XY (f) ist im allgemeinen komplexwertig. Wegen R XY (t) RY X ( t) gilt S XY (f) S Y X(f) Beispiel 8.1 Sind X(t) und Y (t) gemeinsam stationäre Prozesse, so besitzt die Summe Z(t) X(t) + Y (t) die Autokorrelationsfunktion R Z (t) EZ(s + t)z (s) E [X(s + t) + Y (s + t)] [X (s) + Y (s)] EX(s + t)x (s) + EX(s + t)y (s) + EY (s + t)x (s) + EY (s + t)y (s) R X (t) + R XY (t) + R Y X (t) + R Y (t) 45

5 und das LDS S Z (f) S X (f) + S XY (f) + S Y X (f) + S Y (f) S X (f) + S XY (f) + S XY (f) + S Y (f) S X (f) + 2Re S XY (f) + S Y (f) Beispiel 8.2 Für eine um d Zeiteinheiten verzögerte Version Y (t) X(t d) eines stationären Prozesses X(t) gilt EY (s + t)y (s) EX ((s d) + t) X (s d) R X (t) d.h. R Y (t) R X (t) und damit S Y (f) S X (f). Der Unterschied wirkt sich nur in der Kreuzkorrelation aus: R XY (t) EY (s + t)x (s) EX (s + (t d)) X (s) R X (t d) Mit der Variablensubstitution s t d erhält man für das Kreuzleistungsspektrum: S XY (f) Definition 8.3 Die Funktion S X (f)e j2πfd e j2πft R X (t d) dt e j2πfs e j2πfd R X (s) ds S X (f) cos(2πfd) js X (f) sin(2πfd) G XY (f) S XY (f) SX (f)s Y (f) heißt die Kohärenzfunktion der Prozesse X und Y. 8.2 Der zeitdiskrete Fall X (X n, n Z) sei eine stationäre Folge von Zufallsvariablen mit EX n für alle n und der Autokorrelationsfunktion R X (k) EX n+k Xn Definition 8.4 Die Fourierreihe S X (f) R X (k)e j2πkf, 1 2 f 1 2 k heißt das Leistungsdichtespektrum der Folge X. 46

6 Es gilt R X (k) 1/2 1/2 S X (f)e j2πkf df und S X (f) besitzt die gleichen Eigenschaften wie das LDS von zeitkontinuierlichen Prozessen: S X (f) und für reellwertige Prozesse S X ( f) S X (f). Beispiel 8.3 Zeitdiskretes weißes Rauschen: Ist X eine Folge von reellen unkorrelierten Zufallsvariablen X n mit EX n und var(x n ) EXn 2 : σx 2, so ist { σ 2 R X (k) X für k für k und damit S X (f) σ 2 X const, d.h. alle Frequenzen sind gleichmäßig vertreten. Beispiel 8.4 Für die Folge der Zufallsvariablen Y n X n + αx n 1 mit den X n aus Beispiel 8.3 ist EY n und EY n+k Y n E(X n+k + αx n+k 1 )(X n + αx n 1 ) EX n+k X n + αex n+k X n 1 + αex n+k 1 X n + α 2 EX n+k 1 X n 1 (1 + α 2 )σx 2, k ασ 2 X, k ±1, k > 1 R Y (k) Y (Y n ) ist damit stationär und besitzt das Leistungsdichtespektrum S Y (f) R Y ( 1)e j2πf + R Y () + R Y (1)e j2πf σx 2 [ (1 + α 2 ) + 2α cos(2πf) ] Analog zum zeitkontinuierlichen Fall definieren wir Definition 8.5 Für zwei gemeinsam stationäre Folgen (X n ) und (Y n ) von Zufallsvariablen mit der Kreuzkorrelationsfunktion R XY (k) EX n+k Yn heißt S XY (f) R XY (k)e j2πkf k das Kreuzleistungsspektrum der Folgen (X n ) und (Y n ). 47

7 9 Lineare zeitinvariante Systeme Lineare zeitinvariante Systeme (LZI-Systeme) sind Abbildungen y(t) T [x](t), die ein (deterministisches) Eingangssignal x(t) in ein Ausgangssignal y(t) transformieren und die Eigenschaften der Linearität und der Zeitinvarianz T [α 1 x 1 + α 2 x 2 ](t) α 1 T [x 1 ](t) + α 2 T [x 2 ](t) T [x( τ)](t) T [x](t τ) besitzen. Wir befassen uns in diesem Kapitel mit stochastischen Eingangssignalen. 9.1 Der zeitkontinuierliche Fall Im zeitkontinuierlichen Fall lässt sich ein LZI-System im Zeitbereich durch y(t) (h x)(t) h(s)x(t s) ds h(t s)x(s) ds (23) Die Funktion h(t) heißt die Impulsantwort, da sie die Antwort h(t) T [δ](t) des Systems auf einen Dirac-Impuls als Eingangssignal darstellt. Das System heißt kausal, wenn h(t) für t < gilt. Nach (23) bedeutet das, dass das Ausgangssignal y(t) zum Zeitpunkt t nur aus Eingangsignalwerten x(s) mit s t zusammengesetzt wird und keine Vorwegnahme der Zukunft stattfindet. Definition 9.1 Die Fouriertransformierte H(f) e j2πft h(t) dt der Impulsantwort heißt die Übertragungsfunktion des Sytems. X (X(t), t R) sei wieder ein stationärer Prozess mit Mittelwert EX(t) m x und Autokorrelationsfunktion R X (t). Wir definieren einen neuen stochastischen Prozess Y (t) durch Y (t) h(s)x(t s) ds h(t s)x(s) ds wobei das Integral im quadratischen Mittel zu verstehen ist. Dann kann man auf die in diesem Zusammenhang übliche Weise zeigen, dass der Erwartungswert durch EY (t) E h(s)x(t s) ds m X h(s) ds m X H() h(s)ex(t s) ds 48

8 gegeben ist. Die Autokorrelationsfunktion [ EY (s + t)y (s) E R Y (t) h(u)x(s + t u) du ] h (v)x (s v) dv h(u)h (v)e[x(s + t u)x (s v)] du dv h(u)h (v)r X (t u + v) du dv von Y hängt offensichtlich nur von der Zeitdifferenz t ab. Y ist damit ein stationärer Prozess mit dem Leistungsdichtespektrum S Y (f) R Y (t)e j2πft dt Variablensubstitution s t u + v ergibt S Y (f) h(u)e j2πfu du H(f)H (f)s X (f) H(f) 2 S X (f) h(u)h (v)r X (t u + v)e j2πft du dv dt h(u)h (v)r X (s)e j2πf(s+u v) du dv ds Die Kreuzkorrelationsfunktion berechnet sich zu h (v)e j2πfv dv R Y X (t) EY (s + t)x (s) [ ] E h(u)x(s + t u) dux (s) (h R X )(t) woraus sich das Kreuzleistungsspektrum h(u)e[x(s + t u)x (s)] du h(u)r X (t u) du S Y X (f) H(f)S X (f) R X (s)e j2πfs ds mit ergibt. S XY (f) S Y X(f) H (f)s X (f) 49

9 9.2 Der zeitdiskrete Fall Im zeitdiskreten Fall ist die Impulsantwort eine Folge h (h n, n Z) mit der Übertragungsfunktion H(f) k h k e j2πkf und die stationäre Folge Y (Y n ) ergibt sich aus X (X n ) durch Y k (h X) k n h n X k n + n h k n X n Die Formeln für das Leistungsdichtespektrum und das Kreuzleistungsdichtespektrum bleiben die gleichen wie im zeitkontinuierlichen Fall. Die in der Praxis wichtigsten Prozesse dieser Art sind die sog. ARMA-Prozesse (autoregressive moving average) Y k q α n Y k n + n1 p β m X k m wo X (X n ) zeitdiskretes weißes Rauschen ist. Die Übertragungsfunktion ist m H(f) p m β me j2πmf 1 + q n1 α ne j2πnf und die LDS S Y (f) H(f) 2 σ 2 X Im Fall β β 1... β p spricht man von einem autoregressiven Prozess und im Fall α 1 α 2... α q von einem gleitenden Mittelwertprozess (moving average process). 5