Empirische Wirtschaftsforschung

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Inge Brandt
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1 Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh Universiä Leipzig Insiu für Empirische Wirschafsforschung Volkswirschafslehre, insbesondere Ökonomerie

2 9.6. Zeireihen und Zeireihenmodelle Prinzipielle Unerscheidung: (i) reine Zeireihenmodelle (univaria): ohne Einbeziehung erklärender Variablen Erklärung der Dynamik aus der Reihe selbs kann eingesez werden, um die Konjunkurkomponene eines Unobserved Componens Model abzubilden geeigne für kurzfrisige Vorhersagen Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh

3 9.6. Zeireihen und Zeireihenmodelle (ii) Srukurelle Zeireihenmodelle (bi- oder mulivaria): Einbeziehung erklärender Variablen Erklärung der Dynamik auch aus anderen Reihen als der zu unersuchenden Reihe selbs kann eingesez werden, um ökonomische Theorien auf Basis dynamischer Schäzungen zu überprüfen geeigne für langfrisige Vorhersagen Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 3

4 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) 970: George E.P. Box und Gwilym M. Jenkins Mehodisches Konzep für reine Zeireihenmodelle (i) Besandeile eines ARIMA(p,d,q)-Modells: y = Φ y + + Φ p y p + δ + ε θε θqε q AR Teil MA Teil. Inegriere Prozesse I(d). Auoregressive Prozesse AR(p) 3. Moving-Average-Prozesse MA(q) Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 4

5 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz). Inegriere I(d)-Prozesse Eine Zeireihe is inegrier der Ordnung d bzw. I(d), wenn sie d-mal differenzier werden muss, um saionär zu werden. Ein ARIMA(,0,0)-Prozess ein I(0)-Prozess, wenn Φ<. y = + Φy δ + ε is saionär bzw. Ein Random Walk w = y =ε y = y + ε is ein I()-Prozess, da ; w als Reihe der ersen Diff. von y is saionär Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 5

6 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Allgemein: Wenn I(d) is, is w = d y saionär. y Lieg umgekehr eine differenziere Reihe durch d-maliges Aufsummieren zurück zu y w vor, können wir gelangen: d y = y + w mi = und = w 0 Dazu müssen wir über den Anfangswer y 0 verfügen. Für d=, d.h. w = y, ergib sich dami: y y w = Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 6

7 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Numerisches Beispiel eines I()-Prozesses: y w = y y4 = y0 + w = + 7 = 9. w = Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 7

8 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) In der Makroökonomik gehören inegriere bzw. I()-Zeireihen meis zu Besandsgrößen, die einen kumulaiven Effek messen (im Gegensaz zu Flussgrößen): Eine Reihe der Neo-Lagerinvesionen (Zu- und Abgänge vom Lager) verläuf eher zeikonsan bzw. weniger rendbehafe als eine Reihe der Lagerbesände. Wenn kein Anhalspunk aus der Theorie über die Ordnung d eines I(d)-Prozesses: Analyse der Auokorrelaionsfunkion Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 8

9 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz). Auoregressive AR(p)-Prozesse y = y + + φ p y p φ + δ + ε Die Reihe y häng von ihren eigenen Vergangenheisbeobachungen ab, die p Perioden zurückliegen können. Die geschäzen Koeffizienen φ, geben somi an, wie sark die Were einer Reihe von ihren vergangen Weren abhängen. φ p Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 9

10 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Erses Charakerisikum saionärer AR(p)-Prozesse: Zeiinvariaer Erwarungswer E y = E( y ) = E( y ( ) p ) = µ Sofern φ + φ + + φ p <, gil für einen AR(p)-Prozess: E( y ) = φe( y ) + φ E( y ) + φ E( y ) + E( δ) + E( ε ) p p µ = φµ + φµ + + φ µ + δ δ µ = φ φ φ p p Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 0

11 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Ein AR()-Prozess is saionär, wenn φ < : y φ y δ ε µ δ φ = + + = φ = 0,5 δ = Für und : y = + 0.5y + ε µ = = Beache: Ein Random Walk (mi / ohne Drif) is zwar ein AR()-Prozess, jedoch nich saionär! Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh

12 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Zweies Charakerisikum saionärer AR(p)-Prozesse: Feser Zusammenhang von Varianz und Kovarianz Für einen saionären AR()-Prozess mi δ = 0 gil Var( y ) = γ = E( y ) = E( φ y + ε ) 0 γ = E( φ y + φy ε + ε ) = φγ + σ. 0 0 ε γ σ ε 0 φ = 0 Varianz: ; Kovarianz zum Lag k: γ k = k φγ Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh

13 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Dries Charakerisikum saionärer AR(p)-Prozesse: Rasch abfallende Auokorrelaionsfunkion Für einen saionären AR()-Prozess gil ρ 0 γ γ 0 = = 0 k γ φ γ k k γ 0 γ 0 k 0 und allgemein ρ = = = φ. Aufgrund der Saionariä fäll ρ k mi seigendem k ab Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 3

14 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) k Typische Realisierung eines AR()-Prozesses y = 0,9 y + + ε, µ = = 0,9 0 Zugehörige Auokorrelaionsfunkion ρ = 0,9, ρ = 0,9 = 0,8, Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 4

15 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) Ein AR()-Prozess y = y + φ y φ + δ + ε Yule-Walker-Gleichungen geschäz werden: kann mi den sog. φ ρ ρ φ φ = = + φ φ ρ und ρ werden (z.b. von EViews) aus der Sichprobe berechne. Durch Einsezen und Auflösen innerhalb der beiden Gleichungen werden die Koeffizienen φ und φ gewonnen Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 5

16 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) 3. Moving-Average- MA(q)- Prozesse (gleiende Durchschnie) y = µ + ε θ ε θ ε θ ε q q Gewicheer Durchschni von zufälligen Sörermen, die q Perioden zurückreichen. θ ε, θ, θ q θ 0 : Gewiche des MA, mi jeweils. folg einem Whie-Noise-Prozess mi E( ε ) = 0, Var cons Cov k ( ε) = σ = und ( ε, ε ) = γ = 0 für 0 ε k k Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 6

17 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) MA-Prozesse sind saionär und haben wie ein saionärer AR-Prozess einen zeiunabhängigen Erwarungswer. Für einen MA()-Prozess y = µ + ε θε gil: a) Erwarungswer: b) Varianz: E( y ) = µ γ = E( y µ ) = E( ε θε ) 0 = E( ε) E( θεε ) + E( θε ) ( = 0) = σ + θσ = σ ( + θ ) ε ε ε Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 7

18 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) c) Kovarianz zum Lag k=: γ = E(( y µ )( y µ )) = E(( ε θε )( ε θε )) = E( εε ) E( θε ) E( θεε ) θε ε = θσ ( = 0) ( = 0) ( = 0) ε Kovarianz zu Lags >: γ k = Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 8

19 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) d) Auokorrelaionsfunkion θσ θ γ k ρk = = σ + θ + θ γ 0 0 ε = ε ( ) für k= für k> Ein MA()-Prozess besiz ein Gedächnis von nur Periode. Vorhersagen lassen sich also nur für Periode in die Zukunf ansellen Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 9

20 9.6.. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansaz) k Typische Realisierung eines MA()-Prozesses Zugehörige Auokorrelaionsfunkion y ε ε = + + 0,8 θ 0,8 ρ = = + θ + 0, Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh 0

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