Teil D: Einführung in die Kointegrationsmethodologie

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1 Teil D: Einführung in die Koinegraionsmehodologie 1. Problem der Scheinregression Makroökonomische Zeireihen (z.b. Oupu, Invesiionen, Beschäfigung) sind ypischerweise rendbehafeee Zeireihen. Bruosozialproduk und Anlageinvesiionen aller Unernehmen in der Bundesrepublik (in Preisen von 1985) XGNP EIP 400 Bruosozialproduk (real) Anlageinvesiionen aller Unernehmen (real) Jahre Granger/Newbold, 1974 zeigen, daß bei einer Regressionsschäzung mi solchen Zeireihen die Gefahr einer Scheinregression (spurious regression) aufri, d.h. man finde scheinbare Abhängigkeien zwischen unabhängigen Zufallsvariablen. 0

2 Möglicher Ausweg: Trendbereinigung der Zeireihen durch Bildung von Veränderungsraen (Differenzen). 1. Differenz XGNP (real) 1. Differenz EIP (real) Differenz XGNP Differenz EIP Jahr Jahr Regressionsschäzungen dann nur noch mi Veränderungsraen, in der Hoffnung durch die Trendbereinigung dem Problem der Scheinkorrelaion zu engehen. Nacheil: Informaionsverlus, Langfrisige Beziehungen sind nich mehr ökonomerisch analysierbar, bzw. esbar. -2-

3 Zur Lösung des Problems der adäquaen Modellierung rendbehafeer Zeireihen werden in der modernen Ökonomerie in jüngser Zei sogenanne Fehler-Korrekur-Modelle verwende: Fehler-Korrekur-Modelle haben den Voreil, daß sowohl die kurz- wie auch die langfrisigen Abhängigkeien erfassen. Die Anwendung von Fehler-Korrekur-Modellen beruh auf besimmen Annahmen, deren Vorliegen geese werden muß. Zwei Konzepe sind im Zusammenhang mi Fehler-Korrekur-Modellen von besonderer Bedeuung: Konzep der Saionariä Konzep der Koinegraion -3-

4 2. Konzep der Saionariä Definiion eines saionären Prozesses: ( EY =µ ) konsaner Erwarungswer ( ) konsane Varianzen Var( Y) E( Y ) ( 2 = µ = σ ) 2 ( γ = E[ Y µ Y µ ]) k + k zeiunabhängige Auokovarianzen ( )( ) unabhängig vom Zeiraum für den die Momene berechne werden. Definiion eines inegrieen Prozesses: Ein Prozeß der nach n-maligem differenzieren saionär wird, wird als inegrier vom Grade n bezeichne (I(n)). -4-

5 Random Walk Prozeß Ein inegrierer Prozeß der Ordnung 1 (I(1)) is der Random Walk Prozeß: Y = Y 1 + ε wobei ε ein Whie Noise Prozeß is, mi: 2 σ für τ = 0 E( ε ) = 0 und E( εε τ ) = 0 für τ 0 Bei gegebenen Anfangswer Y 0 =ε 1 kann man den Random Walk auch schreiben als: Y = ε j= 1 j Diese Darsellung zeig, daß vergangene Schocks einen dauerhafen Einfluß auf die Enwicklung des Prozesses besizen. -5-

6 Für den Erwarungswer des Random Walk gil: ( ) E( ε j) EY = = 0 j= 1 Für die Varianz erhäl man: ( ) j ( j ) Var Y = Var ε = Var ε = σ j= 1 j= 1 2 Da die Varianz mi der Zei variier erfüll der Random Walk nich die Krierien für eine saionären Prozeß (z.b. im Gegensaz zum Whie Noise Prozeß). Bilde man die erse Differenz des Random Walks: Y Y 1 = Y = ε, so erhäl man einen Whie Noise Prozeß. Die erse Differenz des Random Walks is somi saionär (I(0)). Dami is gezeig, daß der Random Walk ein I(1)-Prozess is. -6-

7 Dickey-Fuller-Tes auf Saionäriä Um zu enscheiden, ob eine besimme Zeireihe saionär oder nichsaionär is, is es möglich eine Tes durchzuführen, der als Null-Hypohese einen besimmen nichsaionären Prozeß annimm und zur Konsrukion ein Alernaivemodell schäz, welches den nichsaionären Prozeß als Spezialfall enhäl (Prinzip des Dickey und Fuller Tess). Null-Hypohese: Der wahre Prozeß der beobacheen Zeireihe folg einem Random Walk Prozeß: Y = Y 1 + u, d.h. einem Prozeß, der inegrier is vom Grade 1 (I(1)). Zur Überprüfung der Null-Hypohese wird ein Alernaivmodell geschäz, das den Random Walk Prozeß als Spezialfall enhäl, jedoch die Parameerresrikion für den Random Walk Prozeß nich auferleg. Schäzung eines AR(1)-Prozesses als Alernaivmodell: Y = Y + u ρ 1-7-

8 Beispiel für einen AR(1)-Prozeß (Y = ρy 1 + u ) mi ρ = 1 (Random Walk (I(1))) Y u ~ N(0,1) Zei -8-

9 Beispiel für einen AR(1)-Prozeß (Y = ρy 1 + u ) mi ρ = 05, (I(0)) Y u ~ N(0,1) Zei -9-

10 Die Vorgehensweise des Dickey-Fuller-Tess beseh nun darin, das allgemeine Modell zu schäzen, und die durch die Null-Hypohese implizieren Parameerresrikionen durch eine geeignee Prüfgröße zu esen. Es is also zu esen, ob der geschäze AR Parameer gleich eins is (ρ = 1), wie von der Null- Hypohese unersell. Wie beim -Tes laue die Prüfgröße hierfür ( ρ 1 ) σ ρ. Zu beachen is jedoch, daß diese Prüfgröße uner der Nullhypohese nich -vereil is. Zur Vereilung der Prüfgröße und den kriischen Weren siehe Hamilon (1994), S In den folgenden Beispielen wird daher zusäzlich zum -Wer noch die Irrumswahrscheinlichkei uner Berücksichigung der wahren Vereilung angegeben. Hieraus wird ersichlich, ob die Null-Hypohese abgelehn werden kann oder nich. Der AR(1)-Prozeß läß sich alernaiv auch wie folg darsellen: Y = ( ρ 1) Y 1 + u Y = δy 1 + u wobei δ = ρ 1. Schäz man den AR(1)-Prozeß in der alernaiven Darsellungsform, so laue die korrespondierende Null-Hypohese δ =

11 Is bei der Schäzung des Alernaivmodells das Residuum u nich frei von Auokorrelaion d.h. nich Whie Noise, so kann das Alernaivmodell modifizier werden zu: Y = β + β + δy + α Y + u i i i= 1 m wobei eine Trendvariable is und z.b. Y 1 = ( Y 1 Y 2 ), Y = ( Y Y ) Man sprich dann vom sogenannen Augmened Dicky-Fuller-Tes. Für die Null-Hypohese gil jedoch nach wie vor: δ = 0 bzw. ρ = 1. Ziel is es das Alernaivemodell so zu spezifizieren, daß die Residuen u Whie Noise sind. -11-

12 Beispiel: Is die Zeireihe des realen BSP von 1960 bis 1990 saionär? BSP = 23, , 0143 BSP ( 0, 979) ( 0, 896/ 0, 9941) 1 R 2 = 0, 0269 DW = 1, 249 BSP = 15, , 0089 BSP + 0, 375 BSP 1 1 ( 0, 614) ( 0, 542/ 0, 9854) R 2 = 0, 1512 DW = 1, 837 BSP = 21, , 0097 BSP + 0, 4423 BSP BSP ( 077, ) ( 0548, / ( ) ( 1155, ) 09855, ) R 2 = 0, 1942 DW = 1, 94 Ergebnis: Die Nullhypohese, daß die Zeireihe des realen Bruosozialproduks inegrier is vom Grade 1 (I(1)), kann nich verworfen werden (Irrumswahrscheinlichkei: 98,55%). -12-

13 3. Konzep der Koinegraion Formale Definiion von Koinegraion: Es seien X und Y I(1)-Prozesse. Dann is im allgemeinen eine Linearkombinaion der beiden Prozesse wieder ein I(1)-Prozeß. Gib es aber einen Parameer β, so daß die Linearkombinaion: Y β X = u saionär is, d.h. u is I(0), so heißen X und Y koinegrier. In diesem Zusammenhang wird [ 1, β ] als koinegrierender Vekor bezeichne. Eine Regression mi nichsaionären Variablen (I(1)) liefer nur dann sinnvolle Abhängigkeien (und keine scheinbaren Korrelaionen), wenn beide Variablen koinegrier sind, d.h., wenn der geschäze Parameer eine Linearkombinaion aus beiden Variablen erzeug, die saionär is. -13-

14 Verbale Beschreibung von Koinegraion: Rein opisch läß sich Koinegraion so beschreiben, daß zwei nichsaionäre Variablen eine langfrisig gemeinsame Enwicklung aufweisen und nich auseinanderlaufen können. Unerschiedliche Enwicklungen sind nur kurzfrisig möglich. Ökonomisch läß sich diese Beziehung auch als ein langfrisiges Gleichgewich inerpreieren. Von diesem Gleichgewich kann es zwar Abweichungen geben, diese sind jedoch wegen ökonomische Mechanismen (Arbirage, Preisunerbieungen, ec.) immer nur kurzfrisiger Naur. -14-

15 Ein formales Beispiel für einen koinegrieren bivariaen Prozeß: Gegeben seien die folgenden zwei Prozesse: Y = X + u β,1 X = X + u 1, 2 wobei u,1 und u,2 unkorreliere Whie Noise Prozesse sind. Die zweie Gleichung beschreib einen Random Walk, die erse Gleichung beschreib Y als proporional zu diesem Random Walk plus einer Whie Noise Komponene. Hier lieg nun eine Koinegraionsbeziehung zwischen den Variablen Y und X vor, da: 1. Beide Variablen den gleichen Inegraionsgrad I(1) auf weisen. Die ersen Differenzen beider Variablen folgend nämlich saionären Prozessen (I(0)): X X = X = u 1, 2 ( ) Y Y = Y = βx + u βx u = β X X + u u = βu + u u 1, , 1, 1 11,, 2, 1 11, 2. Obwohl Y und X I(1) Prozesse sind, is die Linearkombinaion aus beiden Variablen: -15-

16 ( ) Y X = u β,1 saionär (I(0)). In obigen Koinegraionsbeziehung is [ 1, β ] der koinegrierende Vekor. -16-

17 Schäzung einer Koinegraionbeziehung und Tes auf Koinegraion: Ein geeignee Möglichkei den Koinegraionparameer der beiden I(1)-Prozesse X und Y zu schäzen, is eine Kleins-Quadrae-Schäzung der Regression: Y = β X + u, Für eine geschäzen Parameer verschieden vom Koinegraionsparameer ergib sich ein nichsaionärer Resgrößenprozeß. Ensprich jedoch der geschäze Parameer dem Koinegraionsparameer, dann is der Resgrößenprozeß saionär. Da Koinegraion somi eine saionäre Resgröße implizier, lieg es nahe, den Dickey-Fuller-Tes auf die geschäzen Residuen ( û ) anzuwenden. Die Null-Hypohese laue: u = u 1 + ε, d.h. die geschäzen Residuen sind inegrier von Grade 1 (I(1)). -17-

18 Ensprechend laue das Alernaivmodell: bzw. u wobei δ = ρu + ε 1 ( ) u = ρ u + ε = δu + ε = ρ 1. Kann die Null-Hypohese δ = 0 (bzw. ρ = 1) verworfen werden, so sind die geschäzen Residuen ( û ) saionär, d.h. X und Y sind koinegrier, wobei [ 1, β ] der koinegrierender Vekor is. Mihin liefer die Kleins-Quadrae-Regression der beiden I(1) Variablen X und Y (Y = β X + u) eine konsisene Schäzung von β. -18-

19 Beispiel für die Schäzung einer Koinegraionsbeziehung: Schäzung einer heoreische fundieren Arbeisnachfragefunkion für den Zeiraum Gemäß der neoklassischen Theorie erhäl man für die Fakornachfrage nach Arbei im Fall einer CES Produkionsfunkion folgenden funkionalen Zusammenhang (siehe z.b. Hansen (1993)): ln( L ) = c + c ln( Y) + c ln( w ) + c mi: L: Arbei (beschäfige Arbeinehmer) Y: Oupu (reales BSP) w: Reallohnsaz (reales Durchsch. Eink. je Beschäfiger) : Zeirend 3 Schrie einer Koinegraionsanalyse. -19-

20 1. Schri: Tes auf Inegraionsgrad der verwendeen Variablen uner Verwendung des Augmened Dickey-Fuller-Tes: Y = β + β + δy + α Y + u i i i= 1 m Alle verwendeen Variablen müssen in den Niveaus I(1) sein, d.h. ihre ersen Differenzen I(0). Für Variablen mi ungleichem Inegraionsgrad gib es keine saionäre Linearkombinaion. Ergebnisse für die Niveaus der verwendeen Variablen: Variable β 1 β 2 δ m DW ln( L ) 0, , ,008 (0,234) (-0.195/0.9285) ln( Y ) 0, , ,979 (0,842) (-0,741/0,8195) ln( w ) 0, , ,955 (1.136) (-0.531) (-0,735/0,9609) -20-

21 Ergebnisse für die ersen Differenzen der verwendeen Variablen: Variable β 1 β 2 δ m DW ln( L ) 0, , ,011 (2,119) (-4,194/0,0026) ln( Y ) 0, , ,91 (3,254) (-3,759/0,0079) ln( w ) 0, ,76-1,93 (3.383) (-2.869) (-4.767/0,0199) 2.Schri: Schäzung Koinegraionsbeziehung: ln( L ) = 0, , 5451 ln( Y ) 0, 2642 ln( w ) 0, 0024 ( 0, 277) ( 6, 004) ( 4, 636) ( 1, 567) R 2 = 09586, 3. Schri: Tes auf Koinegraion: Die Residuen müssen saionär sein Variable β 1 β 2 δ m DW ln( u ) -0,0002 (-0,147) - -0,6231 (-3,828/0,0067) 2 2,02-21-

22 4. Fehler-Korrekur-Modelle Fehler-Korrekur-Modelle erfassen sowohl die kurzfrisige Dynamik wie auch der langfrisigen Gleichgewichsbeziehung. Dabei nuzen sie die Konzepe der Saionariä und Koinegraion. Für die beiden I(1)-Prozesse X und Y laue beispielsweise ein Fehler-Korrekur-Modell: ( ) X Y Y = α + γ Y β X + α X + α Y + u j j j j= 0 j= 1 wobei ( Y X ) p q j 1 β 1 den Fehlerkorrekurerm bezeichne. Sind Y und X koinegrier, so reen im Fehler-Korrekur-Modell nur saionäre Variablen auf. Das Problem der Scheinregression wird somi vermieden. Zweisufiges Engel-Granger-Schäzverfahren: Engel und Granger haben vorgeschlagen das Fehlerkorrekurmodell in zwei Sufen zu schäzen: Kleins-Quadrae-Schäzung der Koinegraionsbeziehung. Kleins-Quadrae-Schäzung des Fehler-Korrekur-Modells uner Verwendung der geschäzen Residuen aus der Koinegraionsbeziehung als Fehlerkorrekurerm., -22-

23 Aus ökonomischer Sich bring das Fehler-Korrekur-Modell folgendes zum Ausdruck: Der Parameer β im Fehlerkorrekurerm erfaß die von der Theorie posuliere langfrisige Gleichgewichsbeziehung. Der Parameer des Fehlerkorrekurerms ( γ ) erfaß Anpassungsprozesse in der gegenwärigen Periode (z.b. Arbirage, Wanderung, ec.) aufgrund einer Abweichungen vom langfrisigen Gleichgewich in der Vorperiode. Y X Die Parameer α j (α j ) erfassen Veränderung von Y im Zeipunk aufgrund von zeilich verzögeren Veränderungen eben dieser Variablen Y und Veränderungen aufgrund von X in der laufenden Periode und in früheren Perioden. M. a. W. diese Parameer erfassen die kurzfrisige, ransiorische Dynamik. -23-

24 Beispiel: Schäzung eines Fehler-Korrekur-Modells für eine dynamischen Arbeisnachfragefunkion für den Zeiraum (Engel-Granger-Verfahren). ln( L ) = 0, , 2109 ln( w ) + 0, 4723 ln( Y ) + 0, 5015 ln( L ) 0, 3753 FKT 1 1 ( 2, 401) ( 2, 907) ( 6, 905) ( 6, 396) ( 3780, ) FKT = ln( L) 0, , 5451 ln( Y) + 0, 2642 ln( w) + 0, 0024 R 2 = 085, DW = 2151, Zur Inerpreaion: Wenn es sich bei den verwendeen Variablen um Logarihmen der eigenlichen Variablen handel, können die Koeffizienen als Elasiziäen inerpreier werden. Die obige Schäzung weis z.b. eine langfrisige (kurzfrisige) Lohnelasiziä von 0,2642 (0,2109) aus. Ferner wird ein besehendes Ungleichgewich der Vorperiode zu ewa einem Driel in der laufenden Periode abgebau. -24-

25 Lieraur: Franz, W. (1994): Arbeimarkökonomik, 2. Auflage, Berlin. Gujarai, D. N. (1995): Basic Economerics, New York. Hamilon, J. D. (1994): Time Series Analysis, Princon. Hansen, G. (1993): Quaniaive Wirschafsforschung, München. Hujer, R. und J. Grammig (1997): Skripum zur Vorlesung Zeireihenökonomerie und Anwendung auf Finanzzeireihen. Wolers, J. (1995): Koinegraion und Zinsenwicklung im EWS - Eine Einführung in de Koinegraionsmehodologie und deren Anwendung -, in: Allg. Saisisches Archiv 79,