Man nimmt einfach eine entsprechende Variable für den Trend in das Regressionsmodell auf (hier die Variable t).

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1 1 Trendbereinigung Trends in den abhängigen und unabhängigen Variablen führen in Zeireihenanalysen aus zweierlei Gründen zu Problemen: (i) Hohe R-Quadra-Were suggerieren einen guen Modellfi und (ii) hohe Effeke der einzelnen unabhängigen Variablen erwecken den Eindruck, die jeweilige unabhängige habe einen sarken Einfluss. Tasächlich is der hohe Zusammenhang zwischen x und y jedoch darauf zurückzuführen, dass beide einen Trend aufweisen. Ebenso erklär der Trend bereis einen hohen der Teil der Varianz der abhängigen Variablen. Trends sollen daher in Zeireihenanalysen konrollier werden. Das kann auf zwei verschiedene Weisen passieren mi jeweils idenischen Schäzergebnissen: 1. Konrolle des Trends im Regressionsmodell,. Trendbereinigung jeder Variablen und Regression mi den rendbereinigen Daen. Da die zweie Möglichkei aus mehreren Auswerungsschrien beseh, führ die erse Möglichkei schneller zum Ziel. Die folgenden Abschnie demonsrieren das Vorgehen mi dem Vorlesungsbeispiel 3 (Bauinvesiionen und Häuserpreise). 1.1 Konrolle des Trends im Regressionsmodell Man nimm einfach eine ensprechende Variable für den Trend in das Regressionsmodell auf (hier die Variable ).. use "C:\hja\lehre\daen\wooldridge\saa\HSEINV.DTA", clear. reg linvpc lprice Source SS df MS Number of obs = F(, 39) = 1.8 Model Prob > F =.3 Residual R-squared = Adj R-squared =.37 Toal Roo MSE = linvpc Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] lprice _cons Regression mi den rendbereinigen Daen Durch zwei vorgeschalee Regressionen werden die Aneile von x und y berechne, die nich auf den Trend zurückgeführ werden können. Das sind die Residuen des jeweiligen Modells.. use "C:\hja\lehre\daen\wooldridge\saa\HSEINV.DTA", clear. quiely: reg linvpc. predic y_derended, resid. quiely: reg lprice. predic x_derended, resid 1

2 . reg y_derended x_derended Source SS df MS Number of obs = F( 1, 4) =.3 Model Prob > F =.573 Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = y_derended Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x_derended _cons 3.63e Nebenbemerkung 1: Bei der Rechnung mi rendbereinigen Daen solle man keine Konsane schäzen, denn die Residuen von Regressionsschäzungen (hier: y_derended und x_derended) sind definiionsgemäß im Durchschni Null und daher is es in dem vorherigen Regressionsmodell nich nowendig, das Niveau der abhängigen Variablen mi einer Konsanen zu modellieren. Mi der Opion nocons schäz man ein Regressionsmodell ohne Konsane.. reg y_derended x_derended, nocons Source SS df MS Number of obs = F( 1, 41) =.33 Model Prob > F =.568 Residual R-squared = Adj R-squared = -.16 Toal Roo MSE =.149 y_derended Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x_derended Nebenbemerkung : Der Sandardfehler weich zwischen allen drei Berechnungsaren leich voneinander ab ( ,.6796,.6671). Das häng dami zusammen, dass der Sandardfehler auch von den Freiheisgraden des Modells abhäng. Wegen der unerschiedlichen Anzahl der unabhängigen Variablen (3,, 1) in den drei Berechnungsaren is auch die Anzahl der Freiheisgrade verschieden (39, 4, 41; s. Varianzabelle: Residual). 1.3 Trendbereiniger R-Quadra-Wer Zurück zur ersen Möglichkei der Trendbereinigung in Abschni 1.1: Das Modell dor zeig einen relaiv hohen R-Quadra-Wer von,348. Das sieh danach aus, als könne man mi der Variablen lprice einen relaiv hohen Aneil der Varianz der abhängigen Variablen erklären. Zu dem hohen Wer räg aber auch der Trend (die Variable ) bei, an dem man gar nich inhallich ineressier is und den man demensprechend eigenlich nur konrollieren will. Ein realisischerer Wer für R-Quadra ergib sich, wenn man die rendbereinigen Were von y als abhängige Variable verwende. Wie das folgende Beispiel zeig, erklär lprice nach dieser Modifikaion nur,8% der Varianz der abhängigen Variablen.

3 . reg y_derended lprice Source SS df MS Number of obs = F(, 39) =.16 Model Prob > F =.8548 Residual R-squared = Adj R-squared = -.49 Toal Roo MSE = y_derended Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] lprice _cons Wichig is dabei, dass man die Variable im Modell beläss, weil sie sichersell, dass sozusagen im Modell auch noch eine Trendbereinigung von lprice vorgenommen wird. Differenzierung und Trendbereinigung.1 Differenzierung eines Uni Roo Prozesses OLS-Schäzungen für Zeireihen liefern nur dann konsisene Schäzwere, wenn alle (abhängigen und unabhängigen) Variablen des Regressionsmodells allenfalls schwach abhängige Prozesse sind. 1 Jede Variable muss daher einzeln (!) darauf geprüf werden, ob es sich nich um einen hoch persisenen Prozess handel (z.b. um einen Uni Roo Prozess). Einen informellen Tes haben wir in der Vorlesung besprochen, eine exake Prüfung is mi einem Dickey-Fuller Tes möglich. Informeller Tes: Wenn eine Variable eine Auokorrelaion erser Ordnung größer als,8 aufweis, laue die Empfehlung, diese Variable als Uni Roo Prozess zu berachen. Wird eine solche Variable in einer Zeireihenanalyse verwende, sind die saisischen Eigenschafen einer OLS-Schäzung zweifelhaf. Durch Verwendung der ersen Differenzen kann man jedoch beispielsweise einen Random Walk in einen einfachen Zufallsprozess ransformieren, wie die folgende Ableiung zeig (s. Texbox). Demensprechend laue die Empfehlung, bei hoch persisenen Prozessen (und Random Walks sind ein Beispiel) sa der Absoluwere die ersen Differenzen zu verwenden. Man sprich dann auch jeweils von differenzieren Zeireihen. Ein Random Walk is durch folgenden Zufallsprozess definier: y ρy + u, ρ = 1 = 1 u ~ N(, 1) Corr( u, us ) = Wir bilden die Differenzen der jeweils im Zeiablauf aufeinander folgenden Were und sezen für y die vorherige Definiionsgleichung für einen Random Walk ein (mi ρ = 1): y = y y = y + u ) ( y 1 ( 1 1) = u Die differenziere Zeireihe enhäl nur noch den Zufallserm u. 1 Darüber hinaus müssen noch weiere Voraussezungen gegeben sein, die hier jedoch nich diskuier werden sollen (z.b. zeigleiche Exogeniä der unabhängigen Variablen). 3

4 . Variablen mi zeilichen Trends und Uni Roo Prozesse In Abschni 1 haben wir gelern, dass Zusammenhänge zwischen Variablen, die einen Trend aufweisen, zu großen Teilen bereis durch den Trend erklär werden. Das gil naürlich auch für saisische Zusammenhänge, die eine Variable mi sich selbs aufweis, z. B. für die Korrelaion der Were von x mi den um einen Zeipunken verschobenen Weren von x (die Auokorrelaion 1. Ordnung). Da die Auokorrelaion 1. Ordnung in dem in Abschni.1 beschriebenen informellen Tes verwende wird, wird bei Variablen mi zeilichen Trends üblicherweise empfohlen, die Auokorrelaion 1. Ordnung auf Basis rendbereiniger Zahlen zu berechnen. Is diese größer als der kriische Wer von,8, dann soll man von einem hoch persisenen Prozess ausgehen und demensprechend die Zeireihe der jeweiligen Variablen differenzieren..3 Trendkonrolle bei differenzieren Zeireihen nowendig? Wenn man mi differenzieren Zeireihen das Regressionsmodell schäz, enseh die Frage, ob man zusäzlich noch mi den in Abschni 1 beschriebenen Techniken einen ggf. vorhandenen zeilichen Trend konrollieren muss. Wie die folgende Rechnung mi dem Vorlesungsbeispiel (Lohnenwicklung und Produkiviä) zeig, führen die Verwendung differenzierer und rendbereiniger Daen einerseis und die Verwendung differenzierer Daen ohne (!) einen linearen Trend als Drivariable zum gleichen Schäzwer der Lohnelasiziä (,893).. use "C:\hja\lehre\daen\wooldridge\saa\earns.DTA", clear. sse year ime variable: year, 1947 o * Berechnung der rendbereinigen Variablen. quiely: reg lhrwage. predic der_lhrwage, resid. quiely: reg louphr. predic der_louphr, resid. * Regressionsmodell mi den differenzieren und rendbereinigen Daen. reg D.der_lhrwage D.der_louphr Source SS df MS Number of obs = F( 1, 38) = 1.77 Model Prob > F =. Residual R-squared = Adj R-squared =.3475 Toal Roo MSE =.1695 D. der_lhrwage Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] der_louphr D _cons

5 . * Regressionsmodell mi den differenzieren Daen ohne einen linearen Trend. reg D.lhrwage D.louphr Source SS df MS Number of obs = F( 1, 38) = 1.77 Model Prob > F =. Residual R-squared = Adj R-squared =.3475 Toal Roo MSE =.1695 D.lhrwage Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] louphr D _cons * Die zusäzliche Berücksichigung einer Trendvariablen is UNNÖTIG. * und führ zum falschen Ergebnis!. reg D.lhrwage D.louphr Source SS df MS Number of obs = F(, 37) = 19.1 Model Prob > F =. Residual R-squared = Adj R-squared =.4816 Toal Roo MSE =.1511 D.lhrwage Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] louphr D _cons Wenn man sich das Regressionsmodell noch einmal formal hinschreib, wird klar, dass dieses Ergebnis immer dann ensehen muss, wenn man wie in diesem Beispiel Differenzen der abhängigen Variablen berache. Mi y = ln( Sundenlohn), x1 = ln( Oupu / Sunde) und einem linearen Trend läss sich das Modell (in Absoluweren) wie folg spezifizieren: = β + β1x1 + β y + u Berache man sa der Absoluwere die Differenzen der abhängigen Variablen, wird ein linearer (!) Trend eliminier, wie die folgende Umformung zeig: y = y y 1 = ( β + β x = ( β β ) + β ( x 1 = β x β + u ) ( β + β x 1 1 x + β + ( u u ) β ( 1) + u ) + β ( ( 1)) + ( u u 1 1 ) ).4 Funkionier eigenlich Differenzierung als Mehode der Trendbereinigung? Aus der mahemaischen Ableiung ergib sich naürlich die Frage, ob man umgekehr durch Differenzieren eine Trendbereinigung vornehmen kann. Wir machen zunächs anhand des Beispiels mi den Bauinvesiionen die Probe aufs Exempel: 5

6 . use "C:\hja\lehre\daen\wooldridge\saa\HSEINV.DTA", clear. sse year ime variable: year, 1947 o reg D.linvpc D.lprice Source SS df MS Number of obs = F( 1, 39) = 1.94 Model Prob > F =.1711 Residual R-squared = Adj R-squared =.31 Toal Roo MSE =.1416 D.linvpc Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] lprice D _cons Nach den obigen mahemaischen Ableiungen solle der Regressionskoeffizien ( ) von x 1 = lprice lprice 1 dem Regressionskoeffizienen von lprice aus Abschni 1.1 (oder 1.) ensprechen ( ). Tu er aber nich. Gleiches gil für die Regressionskonsane (.6759), die nach der Ableiung eigenlich dem Regressionskoeffizienen der Zeivariablen ensprechen solle (.9887). Insofern muss man die Eingangsfrage verneinen. Die spannende Frage is jedoch, warum das der Fall is. Die Erklärung is die sochasische Komponene der beiden Modelle. Während das Modell aus Abschni 1.1 den Fehlererm u enhäl und die Koeffizienen mi den bekannen OLS-Annahmen für u schäz, enhäl das differenziere Modell den Fehlererm ( u u 1) und schäz die Koeffizienen mi den OLS- Annahmen für ( u u 1). Insofern is ein Modell in Differenzen schäzechnisch ewas anderes als ein Modell in Absoluweren. Triff beispielsweise die OLS-Annahme der Unkorrelierhei der Fehlererme im Modell mi den Absoluweren zu, d.h. für alle s : Corr( u, us ) =, dann kann man zeigen, dass die Differenzen dieser Fehlererme ( u = u u 1), also die Fehlererme des Differenzmodells, eine negaive Auokorrelaion aufweisen: Corr( u, u 1) =. 5 (Wooldridge 6: 47). Anders ausgedrück: Is die OLS-Anahme der Unkorrelierhei der Fehlererme in dem einen Modell gegeben, muss sie nowendigerweise in dem anderen verlez sein. Inuiiv kann man sich das folgendermaßen vorsellen: Dami die Fehlererme im Absolumodell die (weiere) OLS-Annahme erfüllen, im Miel Null zu sein (E( u ) = ), müssen sich quasi die Zeiablauf aufreenden Fehler u gegeneinander aufheben. Es is daher hoch wahrscheinlich, dass auf einen überdurchschnilichen Wer u zum Zeipunk beim nächsen Zeipunk + 1 ein eher unerdurchschnilicher Wer u + 1 folg (und umgekehr). Bilde man daraus Differenzen, dann folgen posiive Differenzen mi hoher Wahrscheinlichkei auf negaive Differenzen (und umkehr), was zu der genannen negaiven Auokorrelaion führ. 6

7 3 Uner welchen Voraussezungen sind OLS-Schäzer bei Zeireihenanalysen erwarungsreu und effizien? Gegeben sei das Regressionsmodell y = β + β1z1 + β z + K+ β k zk + u, wobei z 1, K, zk für die verschiedenen Typen unabhängiger Variablen sehen: also für akuelle und zeiverzögere exogene Variablen x und für zeiverzögere endogene Variablen y. Die Parameer des Regressionsmodells β, K, β k werden mi Zeireihendaen und OLS geschäz. Uner welchen Bedingungen sind die berechneen Schäzwere erwarungsreu und effizien? Beginnen wir mi der Frage der Erwarungsreue. 3.1 Erwarungsreue Kleine Sichproben und schwach abhängige Prozesse In kleinen Sichproben (kurze Zeireihen) muss man voraussezen, dass (i) jede Variable des Regressionsmodells jeweils eine geringe Auokorrelaion aufweis (schwach abhängiger Prozess) und (ii) dass alle unabhängigen Variablen srik exogen sind. Die Annahme sriker E- xogeniä is immer dann zweifelhaf, wenn von Feedbackprozessen auszugehen is (y wirk auf x zurück) oder das Modell zeiverzögere endogene Variablen y als unabhängige Variablen enhäl (s. Vorlesung). Ha man eine längere Zeireihe, dann is die Siuaion ewas einfacher (s. folgender Abschni) Große Sichproben und schwach abhängige Prozesse In großen Sichproben (lange Zeireihen) kann die Annahme sriker Exogeniä gelocker werden. Die unabhängigen Variablen müssen jez nur noch zeigleich exogen sein, was bspw. die Verwendung zeiverzögerer endogener Variablen y als unabhängige Variablen ermöglich. Dafür is die Erwarungsreue der Schäzer aber auch nur asympoisch ( in größeren Sichproben ) gegeben, so dass verzerre Schäzungen bei kurzen Zeireihen mi OLS nich auszuschließen sind. Naürlich müssen auch in großen Sichproben die beeiligen Variablen geringe Auokorrelaionen aufweisen, weil der zuvor verwendee Konsisenzbeweis ( Erwarungsreue mi zunehmendem Sichprobenumfang ) auf der Annahme jeweils schwach abhängiger Prozesse beruh Sark abhängige Prozesse Die Annahme eines schwach abhängigen Prozesses is für jede Variable des Regressionsmodells einzeln zu prüfen (zu den Tesmehoden s. Vorlesung). Wenn diese Bedingung nich gegeben is, is der ensprechende geschäze Regressionskoeffizien nich mehr konsisen. Dami OLS konsisene Schäzwere liefer, müssen sark abhängige Variablen durch geeignee Transformaionen in schwach abhängige Prozesse ransformier werden. Bei Uni Roo Prozessen genüg bspw. die Verwendung der Differenzen zeilich aufeinander folgender Were der jeweiligen Variablen (sa der Absoluwere). 3. Effizienz Unabhängig vom Problem der Erwarungsreue is die Effizienz von OLS-Schäzungen bei Zeireihen gefährde, vor allem weil die sochasische Komponene u im Zeiablauf korrelier, aber auch weil u heeroskedasisch sein kann (lezeres haben wir in der Vorlesung nich besprochen). Die sochasische Komponene u korrelier immer dann im Zeiablauf, wenn unberücksichige Drivariablen oder Messfehler im Zeiablauf mieinander zusammenhängen (z.b. weil der gleiche Messfehler mehrmals hinereinander aufri oder weil Drivariablen 7

8 wie die im Modell befindlichen unabhängigen Variablen seriell abhängig sind). Prüfverfahren und Gegenmaßnahmen haben wir in der Vorlesung besprochen. Sie sind zusäzlich zu den uner bis angesprochenen Prüfungen der Erwarungsreue anzuwenden. 8