III Wechselkursempirie

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1 III Wechselkursempirie ) Daen /$ Wechselkurs (bzw. DM-Kurs in vor offiziellem Sar des ): monaliche Durchschniswere von Januar 96 bis November DM/$ Nominal Exchange Rae (monhly average ) Relaive Konsumenenpreisindices Deuschlands zu den USA (monaliche Were); das Verhälnis der Preisindices is im Januar 96 normalisier zu.. Priceindex-Verhälnis D/US (96=) Langfrisig geh eine Abwerung des $ gegenüber bzw. DM einher mi einer höheren Inflaion in den USA ensprechend der Kaufkrafpariä (KKP)

2 2) Exkurs: Zeireihenanalyse 2a) AR()-Prozess (Auoregressiver Prozess erser Ordnung) w Wenn w der Wechselkurs in Periode (Mona) =,2,,T is und ε eine über die Zei unabhängige und idenisch-normalvereile sochasische Fehlervariable mi Erwarungswer (i.i.d.), dann is ein AR()-Prozess ein sochasischer Prozess, der durch folgende Gleichung erzeug wird: () 2 = β + β w + ε ; ε ~ N(, σ ), cov [ ε, ] =,, s s ε s, Cov(.) seh für Kovarianz, N(.) für Normalvereilung, σ 2 für Varianz der Fehlervariable und heiss für alle. Die Fehlervariable ε wird auch als weißes Rauschen (whie noise) bezeichne. β, β sind zeiunabhängige Koeffizienen und β < Der Vorhersagewer des Wechselkurses um eine Periode (Mona) im voraus E [w + ] is dann gegeben durch: E [ w + ] = β + β w. (2) Die Fehlervariable nimm ihren Erwarungswer an. Der Vorhersagewer für 2 Perioden (Monae) im voraus ergib sich durch eine Vorwärsieraion von (2) als: E [ w + 2 ] = β + β E [ w + ], (3) wobei der Wechselkurs w + zum Zeipunk nich bekann is und daher sein Erwarungswer gebilde wird. Nach Einsezen von Gleichung (2) in (3) erhäl man: 2 E w = β + β β + w (4) [ + 2] β Ähnlich kann man den Vorhersagewer zum Zeipunk w +3 ermieln, indem eine Vorwärsieraion von Gleichung (4) vorgenommen wird: 2 E [ w + 3] = β + β β + β E [ w + ] 2 3 (5) = β + β β + β β + β w wobei das 2. Gleichheiszeichen aus dem Einsezen von Gleichung (2) folg. Vorwärsieraion bedeue, dass alle Zeiindices um eine Periode nach vorne verschoben werden.

3 Wenn diese Subsiuionskee forgesez wird, erhäl man lezendlich folgenden Vorhersagewer für einen Wechselkurs in τ Perioden in der Zukunf: E τ i τ [ w + τ ] β β + β w = (6) = i Schliesslich frag sich, was der Prognosewer in der Unendlichkei ( ) is: β lim E [ w + τ ] = w τ, (7) β τ weil β den Wer annimm, wenn τ unendlich gross wird und β < is, und weil für eine geomerische Reihe 2 gil: i β =. Der i= β langfrisige Prognosewer wird als w definier. Dieser Wer is unabhängig vom akuellen Wechselkurs. Schlussfolgerung: Es gib einen langfrisigen Gleichgewichswechselkurs w : wann immer der akuelle Wechselkurs w vom Gleichgewichskurs w abweich, wird dieser zum Gleichgewichskurs zurückkehren! Anmerkung: w erhäl man auch, wenn man in () w = w - = w sez und die Gleichung nach w auflös Zur Erinnerung: so haben wir bislang das langfrisige Gleichgewich bei raionalen Erwarungen definier nun sehen wir, warum dies sinnvoll war. Der asächliche Wechselkurs kann aber nach Gleichungen () und (2) zu jedem Zeipunk geschrieben werden als w = E - [w ] + ε Dami folg der asächliche Wechselkurs w im Miel dem prognosizieren Wechselkurs E - [w ] und es gib nur rein zufällige (= unvorhersehbare) Abweichungen vom prognosizieren Wechselkurs. Graphisch: AR()-Prozeß 2 Dies is aus der Finanzmahemaik bekann: z. Bsp is der Gegenwarswer einer Akie (Akienkurs) mi einer permanenen Dividendenzahlung von D und einem konsanen Alernaivzins z genau D/z. Vorraussezung is, dass β < gil.

4 AR()-Prozeß w w E - [w ] w Wenn der Wechselkurs w im Anfangszeipunk nich dem langfrisigem Gleichgewichswer w ensprich (z. Bsp. w > w ), dann kehr der Wechselkurs über den Zeiverlauf langsam zu diesem zurück, wobei er aber immer wieder nach oben und unen von seinem erwareen Anpassungspfad E - [w ] abweich. 2b) Random-Walk Wenn der Koeffizien β aus Gleichung () in Kapiel 2a) den Wer annimm und der Koeffizien β den Wer ha 3, wenn also gil: 2 w = w + ε ; ε ~ N(, σ ), cov[ ε, ε s ] =,, s, s, (8) dann lieg ein Random-Walk- Prozess vor. Der zukünfige Wechselkurs kann geschrieben werden als: τ w + τ = w + ε + i (9) i= Der bese Vorhersagewer des Wechselkurses um eine Periode (Mona) in der Zukunf is dann der akuelle Wechselkurs: E [ w + ] = w. () Der bese Vorhersagewer für den Wechselkurs um τ Perioden (Monae) in der Zukunf is immer noch der akuelle Wechselkurs: E w +τ = w () [ ] 3 Für die wesenlichen Ergebnisse dieses Kapiels würde es reichen, wenn lediglich β =.

5 Dann exisier aber kein langfrisiger Gleichgewichskurs, weil der erwaree Wechselkurs aller Zeien lediglich vom akuellen Wechselkurs abhäng Random-Walk w Erwarungswere in Abhängigkei vom Erwarungsbildungszeipunk w =E [w +τ ] 2 3 Nach einem Schock gib es keine Tendenz zur Rückkehr zum ursprünglichen Wechselkurs ( no mean reversion ) Abweichungen von einem akuellen Wechselkurs sind zu jedem Zeipunk in beide Richungen gleich wahrscheinlich Ein Random-Walk is ein nich-saionärer sochasischer Prozeß 4 Ein Random-Walk wird zu einem saionären Prozeß, wenn die Zeidifferenzen erser Ordnung des Wechselkurses (w -w - ) gebilde werden. Dann sind diese Zeidifferenzen saionär, weil w -w - = ε und weil die Fehlervariable selbs saionär is. Schlussfolgerungen: Wenn der Wechselkurs einem Random-Walk Prozess folg, is jede Wechselkursprognose unmöglich Der Wechselkurs is durch keine Theorie erklär Bese Prognose des zukünfigen Wechselkurses is der heuige Wechselkurs 4 Ein saionärer sochasischer Prozess is ein sochasischer Prozess w mi endlicher und konsaner Varianz unabhängig vom Zeipunk, endlichem Erwarungswer unabhängig vom Zeipunk, und konsaner Auokorrelaion unabhängig vom Zeipunk. Der Erwarungswer von w bei einem Random-Walk häng jedoch vom Zeipunk der Erwarungsbildung ab. Daher is ein Random-Walk ein nich-saionärer sochasischer Prozess.

6 Schäzgleichung für die Breon-Woods-Periode (Januar 96 Dezember 97): w ε R 2 =,96 (2) + =,7+, 994 w + + (,8) (52,34) Die Zahlen in Klammern geben -Were an. 5 R 2 is das Besimmheismaß einer Regression und gib die Güe der Schäzung an. Schäzergebnisse für die Pos-Breon-Woods-Periode (Januar 97 bis November 22): w + =,96+, 983 w + ε + R 2 =,99 (3) (9,48) (7,3) Der Koeffizien für β is sehr nahe an Random-Walk? Problem: der übliche -Tes aus der Regressionsanalyse zur Überprüfung der Hypohese, dass β, is nich gülig, wenn der Koeffizien asächlich β = is. Dann is der Schäzer super-konsisen (konvergier sehr schnell zu seinem wahren Wer bzw. zu seiner wahren Wahrscheinlichkeisvereilung), nach unen verzerr in kleinen Sichproben und die Varianz des Schäzfehlers folg selbs einem Random Walk. (Eine normale Regression is spurious ) Spezielle Inegraionsess sind erforderlich zur Überprüfung der Hypohese β Dickey-Fuller-Tes (DF-Tes) und Phillips-Perron-Tes 2c) Inegraionsess Ein Dickey-Fuller-Tes schäz die folgende verallgemeinere Gleichung 6 : w ( w w ) ε p + w = + γ w + φ = + i i i i + β (4) Dabei is γ = β und φ i sind Schäzkoeffizienen; p is eine Laglänge. Die zu wiederlegende Hypohese (H ) is: γ = Tes-Saisik is der zu γ gehörende -Wer 5 -Were sind die geschäzen Koeffizienen dividier durch die Sandardabweichung des Schäzers. 6 Es gib zusäzlich noch eine Variane, die einen Zeirend beinhale.

7 Die kriischen Were zur Ablehnung von H sind bei ca. Beobachungen in der Sichprobe und 5% Signifikanz-Niveau 7 : -3,7 (siehe Greene, 997, S. 849) Dickey-Fuller-Tes-Saisik Breon-Woods-Zeiraum -3,54 Pos-Breon-Woods-Zeiraum -9,79 Bemerkung: p=2 wird angenommen 8 Die Hypohese eines Random-Walks is abgelehn für beide Zeiperioden, weil die Tes-Saisik jeweils kleiner is als der kriische Wer (-3.7) und dami ausserhalb des kriischen Werebereichs lieg; das Ergebnis is allerdings relaiv knapp und wir können ein Beihnahe- Random-Walk- Verhalen des Wechselkurses erwaren Ablehnung is Grundvorraussezung dafür, dass der Wechselkurs überhaup durch ökonomische Theorien besimm sein kann 3) Wechselkurs-Vorhersage Ou-of-Sample-Vorhersage des nominalen Wechselkurses um einen Mona im voraus mi Hilfe der KKP-Theorie im Vergleich zum Random- Walk. (Siehe Meese und Rogoff, 983.) Es gib einen Trainings-Zeiraum von =,,s (s liege zwischen S = Dezember 97 und T- = Okober 22); während des Trainings- Zeiraums werden Informaionen für die Vorhersage gesammel; 9 dem seh (bei -monaiger Vorhersage) der Vorhersage-Zeipunk s+ gegenüber. Dann wird auf der Basis der Informaionen über Wechselkurse und relaive Preisindices bis zum Zeipunk s eine Vorhersage für den Zeipunk s+ gemach. Der Vorhersagewer wird als w ~ s+ bezeichne Danach wird der Trainings-Zeiraum (s) um eine Periode erweier und eine neue Prognose ersell; dieser Prozess wird solange forgeführ, bis 7 Signifikanz-Niveau eines Tess is die Wahrscheinlichkei, mi der die H -Hypohese korrek is, obwohl sich die Tes-Saisik ausserhalb des zu einem Signifikanz-Niveau gehörenden kriischen Werebereichs befinde. Üblicherweise gil das Signifikanz-Niveau von 5% als massgebend. 8 In einer sorgfäligen ökonomerischen Analyse wird die Zahl p mi Hilfe von so genannen Informaionskrierien (z.bsp. Akaike-Krierium oder Schwarz-Krierium) ermiel. Ausserdem muss sorgfälig auf mögliche Srukurbrüche im Zeireihenprozess geprüf werden und die Alernaive eines Zeirends berücksichig werden. 9 Wir beginnen Vorhersagen ers im Pos-Breon-Woods-Sysem, wenn die Wechselkurse flexibel sind.

8 das Ende des Daen-Zeiraums erreich is (also Okober 22) Vorhersage-Güe-Maß MSE (Mean Square Error): T ( ~ ) 2 MSE = w s w s T S (5) s= S+ Durchschniliche quadriere Abweichung des asächlichen vom vorhergesagen Wechselkurs 2 Alernaiven: Random-Walk und Kaufkrafpariä Random-Walk-Vorhersage: w ~ = s+ w s (6) Kaufkrafpariä (KKP) besag: ( / $) $ w s+ = ps+ / ps+ ps+, (7) wobei das relaive Preisverhälnis im Zeipunk s+ von nun an mi p s+ abgekürz wird Da der vergangene Wechselkurs sich schon als guer Schäzer für den zukünfigen Wechselkurs herausgesell ha, frag sich nur noch, ob die Kaufkrafpariä zusäzliche Vorhersagekraf ha. Daher posulieren wir folgenden Zusammenhang: w s = β + β ws + β2 ps + ε s (8) Ensprechend is die Prognose zum Zeipunk s für den Wechselkurs zum Zeipunk s+: E s [w s+ ] = β + β w s + β 2 E s [p s+ ] (9) 2 Prognose-Schrie sind erforderlich: zunächs muss eine Prognose über die zukünfige relaive Preisenwicklung E s [p s+ ] ersell werden. Dann kann auf dieser Basis eine Wechselkursprognose E s [w s+ ] ersell werden. Prognose der relaiven Preisenwicklung: zunächs wird folgender AR(p)- Prozess geschäz: p p = α + αi p i + υ s, (2) i= wobei α i zu schäzende Koeffizienen, ν eine i.i.d. Fehlervariable (siehe Kapiel III.2a) und p eine Laglänge sind. Hier wird die Laglänge 2

9 Monae gewähl, weil die Preisenwicklung Saison-beding is. Dann wird eine Preisprognose ersell gemäß: E s p α i s i, (2) i= [ p ] ~ + = + α p + ps+ s wobei der Prognose-Wer als p~ s bezeichne wird Nun kann die Wechselkursgleichung (8) mi Beobachungen, s, geschäz werden und daraus nach (9) die Prognose E s [w s+ ] = w ~ s+ berechne werden, um schließlich den Schäzfehler der Prognose zum Zeipunk s+ zu erhalen. Nachdem dieser Prozess für jeden Zeipunk von s=s,,t- durchgeführ wurde und der quadriere Schäzfehler in jeder Periode aufaddier wurde, erhäl man das Prognose-Güe-Maß MSE. Tasächliche Wechselkursveränderungsrae und -monaige Vorhersage der Wechselkursänderungsrae nach Gleichung (8) (KKP):. Fore cas Vorhersage-Fehler

10 Forecas-Error (percenage growh rae) Der monaliche Vorhersage-Fehler kann durchaus üblicherweise bei 5 % Punken liegen. MSE (-Monas-Prognose) MSE (6-Monas-Prognose) Random Walk,9336,959 Kaufkraf-Pariä,964,8 Ou-of-Sample-Vorhersage des Random-Walk Modells is der Kaufkrafpariä überlegen Ergebnis von Meese and Rogoff (983) Wechselkursprognosen über kurze Fris sind Glücksspiele Wie komm das? Vergleich der monalichen Veränderungsrae von Wechselkurs und relaiven Preisen. 7.5 Percenage appreciaion rae of $ agains DM inflaion rae difference Germany-US

11 Man sieh, dass kurzfrisig relaive Preisenwicklung und nominaler Wechselkurs nich mieinander zusammenhängen Jedoch exisier in der sehr langen Fris ein klarerer Zusammenhang: Esimaed relaive price-developmen and exchange rae Forecas based on Random Walk acual price differences Exchange Rae Forecas if relaive inflaion rend correcly anicipaed.2. acual exchange rae Wer im Jahre 969 die relaive Preisenwicklung im langfrisigen Trend richig erkanne, häe bei mehrjährigen Prognosen besser gelegen, als wenn ein naiver Wechselkurs basierend auf dem Wer von 969 angenommen worden wäre (Random-Walk-Vorhersage) Wichig für die langfrisige Prognose is also die Einschäzung der Inflaionspräferenzen und der relaiven Glaubwürdigkei der jeweiligen Zenralbanken; KKP sinnvoll, wenn 2 Länder sysemaisch deulich unerschiedliche Inflaionsraen haben Lieraur: Greene, William H., 997, Economeric Analysis, Kapiel , New Yersey. Meese, R., und K. Rogoff, 983, Empirical exchange rae models of he sevenies: do hey fi ou of sample? Journal of Inernaional Economics, Bd. 4, S