Kurs 9.3: Forschungsmethoden II

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1 MSc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmehoden II Zeireihenanalyse Lernsequenz 04: Regression zwischen Zeireihen / ARMA-Modelle November 014 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie Inhal Ziele 5 Regression zwischen Zeireihen 6 Modellierung von ARMA(p,q)-Prozessen 3 Beispiel zur Modellbildung 39

2 Folie 3 Inhalsverzeichnis Ziele 5 Ziele der Lernsequenz Regression zwischen Zeireihen 6 Regressionsmodell für Zeireihen... 6 Beispiel Prognos / Bundesam für Energie... 7 Beispiel Prognos / Bundesam für Energie Variane mi zeiverzögeren Variablen... 8 Beispiel Prognos / Bundesam für Energie Variane mi zeiverzögeren Variablen... 9 Auokorreliere Residuen Aufdecken von Auokorrelaion Massnahmen Beispiel mi simulieren Daen... 1 Schäzung ohne und mi Berücksichigung der korrelieren Fehler (Cochrane-Orcu) Tess auf Auokorrelaion der Fehlererme Durbin-Wason-Tes Durbin-Wason-Tes am Beispiel der simulieren Daen Breusch-Godfrey-Tes (siehe auch Tess von Box-Pierce und Ljung-Box) Cochrane-Orcu-Mehode für auokorreliere Fehlererme Spezialfall AR(1)-Modell für den Fehler Hinweise zu EViews Breusch-Godfrey-Tes und Cochrane-Orcu-Mehode am Beispiel der Verkehrsdaen... 0 Folie 4 Modellierung von ARMA(p,q)-Prozessen 3 Deusches BIP zwischen 1970:Q1 und 008:Q... 3 Zum Vergleich: Simulierer ARMA(,3)-Prozess zwischen 1970:Q1 und 008:Q... 4 Eigenschafen von ARMA-Prozessen... 5 Korrelogramm: Simulierer AR(1)-Prozess... 6 Theoreische ACF und PACF verschiedener ARMA(1,1)-Prozesse... 9 Theoreische und empirische ACF und PACF eines simulieren AR ()-Prozesses Saionariä eines AR(p)-Prozesses Beispiel mi EViews mi drei simulieren AR()-Prozessen... 3 Inverierbarkei eines MA(q)-Prozesses Zusammenfassung: Charakerisierung des ARMA(p,q)-Prozesses Phasen der Modellbildung (nach Box-Jenkins 1970 / 1994) Anmerkungen zur Modellidenifikaion und Modellspezifikaion Beispiel zur Modellbildung 39 Daengrundlage: Deusches BIP zwischen 1970:Q1 und 008:Q Korrelogramm und Ordnung p und q... 4 Besimmung der Ordnungen p und q mi Informaionskrierien Schäzung der Modelle "Equaion Diagnosics": Wurzeln der charakerisischen Polynome "Equaion Diagnosics": Vergleich von heoreischem und empirischem Korrelogram Residualanalyse Schlussmodell und Prognose... 48

3 Ziele Folie 5 Ziele der Lernsequenz 04 Regression zwischen Zeireihen / ARMA-Modelle (4 Lekionen mi EViews-Anwendung) Sie kennen das Problem der Auokorrelaion bei der Regression zwischen Zeireihen. Sie können auokorreliere Fehlererme deekieren Sie können Verfahren anwenden, um auokorreliere Fehlererme auszuschalen. Sie kennen die wesenlichen Eigenschafeen von ARMA(p,q)-Prozessen. Sie können Korrelogramme beureilen. Sie können eine ARMA(p,q)-Modell mi EViews schäzen. Regression zwischen Zeireihen Folie 6 Regressionsmodell für Zeireihen Die Zeireihe Y werde durch q weiere Zeireihen X (1), X (),... X (q) beeinfluss Regressionsmodell Y =β = 0 q j= 0 +βx βx j 1 (j) (1) +β + E, X () mix β (0) q X (q) + E = 1 füralle= 1,...,T Beispiel Prognos / Bundesam für Energie (008 und 010)* Einfluss der Tagesemperaur auf den Fernwärmebedarf der Sad Bern Erser Ansaz: Fernwärme = β 0 + β 1 Milere Tagesemperaur = 1,, Tage im Jahr *Temperaur- und Srahlungsabhängigkei des Energieverbrauchs im Wärmemark * (Sand: November 014)

4 Beispiel Prognos / Bundesam für Energie Folie 7 Tägliche Einspeisung ins Fernwärmenez, in Abhängigkei der mileren Tagesemperaur. Indexiere Were (1 = durchschniliche Tages-Einspeisung) Beispiel Prognos / Bundesam für Energie Variane mi zeiverzögeren Variablen Folie 8 Erser Ansaz Prognos / Bundesam für Energie Fernwärme = β 0 + β 1 Milere Tagesemperaur Die milere Tagesemperaur wirk sich nur simulan auf den Wärmeverbrauch aus. LS 03 Hier: Zeiverschobene Temperauren wirken sich aus physikalischen Gründen ebenfalls aus. Zusäzlich Einfluss von Temperaur des Vorages und Vorvorages (zusäzlich: Srahlung) Vollsändiges Modell: Fernwärme = β 0 + β 1 T + β T -1 + β 3 T - + β 4 Srahlung + u

5 Beispiel Prognos / Bundesam für Energie Variane mi zeiverzögeren Variablen Folie 9 Einspeisung ins Fernwärmenez : Sandardisiere Parameer Achung: x-achse is nich Zeiachse sondern Nummer der Messung Tägliche Einspeisung ins Fernwärmenez an Januaragen (000 bis 008): Effekive Einspeisung (blau ) und geschäze Einspeisung (ro ) Indexiere Were (1 = durchschniliche Tages-Einspeisung im Januar) Auokorreliere Residuen Im Gegensaz zu Modellen ohne Zeireihencharaker haben Zeireihenmodelle häufig auokorreliere Residuen. Folie 10 Gründe Lagsrukur der Variablen nich richig spezifizier (Beispiel Fernwärme: Temperaur der Vorage) Variable bei der Modellbildung nich berücksichig (Beispiel Fernwärme: Srahlung) Wenn aufeinanderfolgende Were der fehlenden Variablen korrelier sind, dann sind die Residuen im Modell, das diese Variable nich berücksichig, korrelier. Auswirkungen auokorrelierer Residuen Gewöhnliche OLS-Schäzer bleiben erwarungsreu ( β =β) Sie haben aber nich minimale Varianz. Es gib genauere Schäzer. Die Sandardfehler (s.e.) der Koeffizienen β i werden verzerr geschäz. Dadurch werden -Tess und Konfidenzinervalle ungenau. βˆ i = Die Schäzfehler können zu Missspezifikaion des Modells führen. s.e.(ˆ β) i

6 Aufdecken von Auokorrelaion Grafische Residualanalyse (Scaerplo) Analyse von Auokorrelaionsfunkion (AC) und parieller Auokorrelaionsfunkion (PAC) Durbin-Wason (Lag 1) / Breusch-Godfrey (Lag p) Box-Pierce / Ljung-Box (Lag p) auch als Pormaneau-Tess bezeichne Folie 11 Massnahmen 1. Hinzunahme zusäzlicher, erklärender Variablen Beispiel: Srahlung im Beispiel Fernwärme, Saisondummys. Berücksichigung der Lagsrukur der erklärenden Variablen Beispiel: Temperaur der Vorage im Beispiel Fernwärme 3. Generalized Leas Squares Esimaor (GLS) => Korrekur der Sandardfehler Beispiel: Prais-Winsen-Schäzer 4. Modellierung und Einbezug der korrelieren Fehler als AR(p)-Modell Beispiel: Cochrane-Orcu-Verfahren Anwendung von GLS respekive Einbezug von korrelieren Fehlern ers dann, wenn - Alle wichigen Variablen im Modell vorhanden sind. - Die Lagsrukur der erklärenden Variablen im Modell genügend berücksichig wurde. Beispiel mi simulieren Daen Ein Regressionsmodell für simuliere Zeireihen wird geschäz Folie 1 y =β + βx + β x + E 0 1 y =β + 1 x + x + E x = /50 {1,100} 0 E sei ein AR(1)-Prozess <=> Fehlererme sind forcier auokorrelier, im Gegensaz zu i.i.d. E Var = 0.65 E u = u Simulaion mi EViews (100 zufällig erzeuge Zeireihen {y } =1,Y,n mi n = 100) Eine der zufällig erzeugen Zeireihen y y x x E

7 Schäzung ohne und mi Berücksichigung der korrelieren Fehler (Cochrane-Orcu) Beispiel: Koeffizien β 1 (Modellwer 1) Sandardfehler (s.e.) des Koeffizienen β 1 Folie Ohne Mi.0 Ohne Mi Were der Schäzungen von 100 zufällig erzeugen Zeireihen Folie 14 Schäzung ohne und mi Berücksichigung der korrelieren Fehler (Cochrane-Orcu) Koeffizien β 1 => Were sind vergleichbar Schäzer sind erwarungsreu Sandardfehler => Were sind deulich verschieden Die Berücksichigung der korrelieren Fehler (Hier: Cochrane-Orcu) liefer kleinere Sandardfehler (se) (ca. Fakor ½) Tabelle: Schäzung des Koeffizienen β 1 (Modellwer 1) Mielwer aus den 100 zufällig erzeugen Zeireihen ohne mi mi/ohne Kleinse Quadrae Cochrane-Orcu Koeffizien β 1 se Koeffizien β 1 se Koeffizien β 1 se Mean % 46.% Median % 46.4% Maximum % 49.9% Minimum % 5.6%

8 Tess auf Auokorrelaion der Fehlererme Durbin-Wason-Tes Modell E = ρ E -1 + u (AR(1)-Prozess der Fehlererme <=> Auokorrelaion) Nullhypohese H 0 : ρ = 0, Alernaivhypohese H A : ρ 0 Tessaisik Folie 15 Dˆ N (R = = N = R R ) 1, mir = y ŷ Residuum zum Zeipunk Approximaiver Zusammenhang zwischen Durbin-Wason-Saisik und Auokorrelaion Dˆ (1 ρ ˆ) => Were schwanken zwischen 0 (R = R ) und 4 (R = -R ) -1-1 Were nahe bei deuen auf Unkorrelierhei der Fehlererme hin (siehe auch Hackl 013) Nacheil Durbin-Wason ese nur die erse Auokorrelaion (p = 1) Wenn Fehlererme einem AR(p)-Prozess mi p > 1 folgen, versag der Tes. Durbin-Wason-Tes am Beispiel der simulieren Daen Folie Ohne Korrekur: DW 3.3 => deuliches Zeichen für auokorreliere Fehlererme Kriische Grenzen Hackl (013: Seie 490) Online (Zugriff: November 014): n = 100, α = 0.05, k = 3 => d L =.9, d H =.37 n = 100, a = 0.05, k = => 3.3 signifikan verschieden von.0 Mi Korrekur (Cochrane-Orcu): DW.0 => keine auokorrelieren Fehlererme 1.6 Ohne Mi

9 Breusch-Godfrey-Tes (siehe auch Tess von Box-Pierce und Ljung-Box) Modell E = ϕ 1 E ϕ p E -p + u (AR(p)-Prozess der Fehlererme <=> Auokorrelaion) Nullhypohese H 0 : ϕ i = 0, i = 1,...p, Alernaivhypohese H A : ϕ i 0 für mindesens ein i Tessaisik: Besimmheismasse der Hilfsregression der Residuen aufeinander Folie 17 Eigenschafen Breusch-Godfrey-Tes is allgemeiner als Durbin-Wason-Tes Der Wer von p muss vor dem Tes besimm werden (Korrelogramm) Anwendung in EViews am Beispiel von einer der zufällig erzeugen Zeireihen Im Oupu ViewResidual TessSerial Correlaion LM es... wählen. Hier: p = Nullhypohese verwerfen Modellwer Modellwer ϕ i 0 Cochrane-Orcu-Mehode für auokorreliere Fehlererme Spezialfall AR(1)-Modell für den Fehler Modell für die Fehler: E = ϕ E -1 + u, wobei u weisses Rauschen Folie 18 Regressionsmodell einer Zeireihe, beispielsweise: Y = β 0 + β 1 X (1) + β X () + E Bilden der Differenz Y = Y ϕy / Modell für Y und Y einsezen * 1-1 =β +β X +β X + E ϕβ ( +β X +β X + E ) (1) () (1) () =β (1 ϕ ) +β(x ϕ X ) +β (X ϕ X ) + E ϕe wobei gil E ϕ E = u (1) (1) () () =β +β X * 0 1 Wobei gil +β X + u *(1) *() β =β (1 ϕ ), X = X ϕ X, X = X ϕ X * *(1) (1) (1) *() () () Das ransformiere Modell is frei von Auokorrelaion. Das ransformiere Modell erfüll die Voraussezungen des allgemeinen Regressionsmodells. Nacheil: Um das ransformiere Modell zu berechnen, muss ϕ bekann sein.

10 Folie 19 Hinweise zu EViews Tess auf Auokorrelaion Durbin-Wason-Tes wird sandardmässig im Oupu eines Modells angezeig Breusch-Godfrey-Tes kann im Oupu uner ViewResidual DiagnosicsSerial Correlaion LM Tes... gewähl werden HAC-Schäzer für die Varianz (heeroskedasiciy and auocorrelaion consisen) Schäzer nach Newey und Wes (1987) (korrigier die Varianz der OLS Schäzung) kann bei der Spezifikaion der Gleichung uner Opions gewähl werden. Cochrane-Orcu-Mehode bei Auokorrelaion der Fehlererme Das Modell für die Fehlererme muss bekann sein. Beispielsweise ein AR(1)-Prozess. Bei der Spezifikaion der Regression werden die Lags der Fehlererme angegeben. Breusch-Godfrey-Tes und Cochrane-Orcu-Mehode am Beispiel der Verkehrsdaen Folie 0 60, ,000 0,000 00, ,000 Die verbleibende Zeireihe ("Residual") enhäl nur noch Saisonaliä und Reserm Residual Acual Fied EViews: Mehod Leas Squares Lineare Trendfunkion F = β 0 + β 1 + u {1,3} F = 07' DW is ok, aber nur für Lag 1

11 Folie 1 Breusch-Godfrey-Tes mi p = 4 Die Residuen sind auokorrelier mi Lag Cochrane-Orcu-Modell mi Lag Cochrane-Orcu-Mehode Dummy-Variablen (gemäss LS 0) Folie 80,000 80, ,000 40,000 0,000 00, , ,000 40,000 0,000 00, , Residual Acual Fied Residual Acual Fied

12 Modellierung von ARMA(p,q)-Prozessen Folie 3 Deusches BIP zwischen 1970:Q1 und 008:Q 10 BIP (Index: 000 = 100) Bruoinlandsproduk der BRD. Preisbereinige Quaralsdaen. Quelle: Zum Vergleich: Simulierer ARMA(,3)-Prozess zwischen 1970:Q1 und 008:Q Y = Y Y + u + 0.5u 1 0.3u + 0.1u 3 Folie (Excel-Tool "ARMA(p,q).xls")

13 Eigenschafen von ARMA-Prozessen Folie 5 Aus den Eigenschafen von AR(p)- und MA(q)-Prozessen aus LS 03 folg: Jeder saionäre AR(p)-Prozess läss sich als MA( )-Prozess schreiben Jeder inverierbare MA(q)-Prozess läss sich als AR( )-Prozess schreiben => Jeder saionäre Prozess läss sich beliebig genau durch einen ARMA-Prozess annähern. ARMA(p,q) Prozesse sind in der Regel nich eindeuig. Der gleiche Prozess kann mi verschiedenen Kombinaionen von p und q dargesell werden. Grundsäzlich gil: Modellierung mi kleinen p und q vereinfachen die Analyse. AR-Repräsenaion eigne sich besser für die Schäzung, da die OLS Annahmen erfüll sind. MA-Darsellung eigne sich besser für die Berechnung von Varianzen und Kovarianzen. Korrelogramm: Simulierer AR(1)-Prozess AR(1)-Prozess Y = Y -1 mi und ohne überlagerem, deerminisischem Trend 0.1 Mi Trend 0 Folie Ohne Trend

14 Folie 7 EViews-Schäzung zum Prozess Y = Y -1 mi und ohne Trend Mi Trend Zeireihe is nich saionär (Trend) Modell nich OK Schäzung der Parameer fehlerbehafe Ohne Trend Zeireihe is saionär Modell OK Schäzung der Parameer OK Eigenschafen der AC- und PAC-Funkion von ARMA(p,q)-Prozessen Folie 8 Modell AR(p)-Prozess: Φ (L)Y =ε MA(q)-Prozess: Y =Θ(L) ε ACF p = q = 1 p,q > 1 θ 1+θ ρ k k = ϕ ρ 0 für k 1 1 = < ρ k = > p ρk = i= 1 ϕρ i k i ρ q k θθ 1 i= 1 i i+ k k = ρk = 0 für k> q 1+ θ i= 1 i q p = q = 1 φ 1= ϕ1 Nich abbrechende, gedämpfe p,q > 1 φ Exponenialfunkion oder kk = 0 für k> p Sinusfunkion. PACF Die Besimmung des grössen Lags k, für den alle nachfolgenden pariellen Auokorrelaionen 0 sind, ergib die Ordnung des AR(p)-Prozesses Wurzel des charakerisischen Polynoms reell => Exponenialfunkion Wurzeln des charakerisischen Polynoms komplex => Sinusfunkion Siehe auch Zusammensellung für p + q im Appendix der Pracice zu LS 04.

15 Theoreische ACF und PACF verschiedener ARMA(1,1)-Prozesse Folie 9 ϕ 1 = 0.8 θ 1 = 0.3 ϕ 1 = 0.3 θ 1 = 0.8 ϕ 1 = -0.8 θ 1 = 0.3 Quelle: Vorlesungsunerlagen der TU Ilmenau Quelle: ( November 010 / Sand November 014 => nich mehr zugänglich) Theoreische und empirische ACF und PACF eines simulieren AR ()-Prozesses Folie 30 Quelle: Vorlesungsunerlagen der TU Ilmenau Quelle: ( November 010 / Sand November 014 => nich mehr zugänglich)

16 Saionariä eines AR(p)-Prozesses Folie 31 AR(p)-Modell in der Schreibweise mi Lag-Operaor ( 1 ϕ + p 1L ϕl... ϕpl )Y =α u Charakerisisches Polynom Φ (L) = (1 ϕ1l ϕl... ϕ p L) p =>Φ (L)Y =α+ u Ein AR(p)-Prozess is genau dann saionär, wenn alle (komplexen) Nullsellen z i des charakerisischen Polynoms ausserhalb des Einheiskreises ( z = 1) liegen. z > 1. Daraus folg für die Kehrwere (invere roos): 1/ z < 1 Beispiel AR(): Y = 0.5 Y Y - + E => Φ(L) = (1 ϕ 1 L ϕ L ) = (1 0.5L 0.5L ) Nullsellen von Φ(z): 1 0.5z 0.5z = 0 => z 1 = 1.0, z = -.0 Da z 1 nich ausserhalb des Einheiskreises lieg, is Y nich saionär. Beispiel mi EViews mi drei simulieren AR()-Prozessen Y = 0.5 Y Y - + E => z 1 = 1.0, z = -.0 Folie ARMA1 ARMA ARMA3 Die Invered AR Roos nahe bei 1 deuen auf den nichsaionären Charaker hin. Achung: Die Scaerplos ARMA1 und ARMA3 lassen vermuen, dass es sich um saionäre Zeireihen handel. Das is aber nich so!

17 Inverierbarkei eines MA(q)-Prozesses Ein MA(q)-Prozess Y = α+ u +θu 1 1 +θu θu q q Folie 33 is immer saionär, unabhängig von den Parameern α und θ i. Dami der MA(q)-Prozess in einen AR( ) überführ werden kann (Inverierung), muss gelen Ein MA(q)-Prozess is genau dann inverierbar, wenn alle (komplexen) Nullsellen z i des charakerisischen Polynoms ausserhalb des Einheiskreises ( z = 1) liegen. z > 1. Daraus folg für die Kehrwere (invere roos): 1/ z < 1 Bedeuung der Inverierbarkei: Eindeuigkei eines MA(q)-Prozesses Verschiedene MA(q)-Prozesse können zu idenischen ACF und dami auch PACF führen. Ein Rückschluss von der Auokorrelaionsfunkion auf den erzeugenden Prozess is nur dann eindeuig möglich, wenn der MA(q)-Prozesse inverierbar is. Zusammenfassung: Charakerisierung des ARMA(p,q)-Prozesses Folie 34 Modell AR(p)-Prozess MA(q)-Prozess ARMA(p,q)-Prozess Φ ( L)Y = ε Y = Θ(L) ε Φ ( L)Y ε =Θ(L) Bedingung für Saionariä Wurzeln z i von Φ ( z) = 0: zi > 1 immer saionär Wurzeln z i von Φ ( z) = 0: zi > 1 Inverierbarkei immer inverierbar Eigenschafen ACF PACF unendlich: exponeniell fallend, gedämpfer Sinus Wurzeln z i von Θ ( z) = 0: zi > 1 Wurzeln z i von Θ ( z) = 0: zi > 1 endlich: ρ k = 0 für k > q Wie AR(p) ab k > q endlich: φ kk = 0 für k > p unendlich: exponeniell fallend, gedämpfer Sinus Wie MA(q) ab k > p Anmerkung zur Darsellung der Modelle ohne Inercep α: Durch die Transformaion Y ' = Y - α wird der Inercep α eines ARMA-Prozesses enfern.

18 Phasen der Modellbildung (nach Box-Jenkins 1970 / 1994) Folie 35 Parameer schäzer nich signifikan Signifikane Auokorrelaionen Modellidenifikaion und Modellspezifikaion Modellschäzung (Schäzung der Parameer) Modelldiagnose Überprüfung der Zeireihe auf Saionariä Besimmung der Ordnungen p und q OLS-Schäzung Maximum-Likelihood Schäzung Überprüfung, ob Auokorrelaion in den Residuen des geschäzen Modells vorlieg Modellanwendung (Deskripion, Prognose, Diagnose, Konrolle) Anwendung des spezifizieren Modells für verschiedene Zwecke Anmerkungen zur Modellidenifikaion und Modellspezifikaion Überprüfung der Zeireihe auf Saionariä Inspekion der Zeireihenplos Auokorrelaionsfunkion und parielle Auokorrelaionsfunkion (Korrelogramm) Uni-Roo-Tes (mehr in in LS 05) Folie 36 Besimmung der Ordnungen p und q Wie sollen die Ordnungen p und q des anzupassenden ARMA-Modells gewähl werden? Es gib Fehlermöglichkeien: p oder q werden zu gross gewähl => Overfiing p oder q werden zu klein gewähl => Underfiing Sowohl beim Overfiing als auch beim Underfiing is der ML-Schäzer nich mehr konsisen. Korreke Besimmung der Ordnungen p und q is deshalb von Bedeuung. Prämisse der Box-Jenkins-Modellierung: So wenige Parameer wie möglich benuzen.

19 Mehoden zur Besimmung der Ordnungen p und q Folie 37 Visuelle Inspekion der empirischen ACF und PACF (schwierig...) ACF: Die Auokorrelaionen sollen sich gemäss Theorie wie eine fallende Exponenialfunkion oder eine gedämpfe Sinuswelle verhalen. Falls dies nich erfüll is, lieg ein kompliziereres Modell vor, wie z.b. ein ARMA-Modell. PACF: Die Besimmung des "cu-offs" bei den pariellen Auokorrelaionen, d.h. ab welchem Lag die folgenden pariellen Auokorrelaionen 0 sein können, gib eine mögliche Schäzung der Ordnung p. Die Ordnungen p und q werden in der Regel eher überschäz. Besimmung der Ordnungen p und q mi Informaionskrierien Grundidee: Minimierung eines Informaionskrieriums Mi seigender Ordnung von p und q wird die Anpassung des ARMA-Modells besser. Die geschäze Varianz der Residuen σ p,q is eine Masszahl für die Anpassung des Modells. Mi seigender Ordnung von p und q nimm σ p,q ab. Als Korrekur gegen das Overfiing, wird das Anpassungsmass σ p,q um einen Term ergänz, der höhere Wahlen von p und q besraf. Folie 38 Am meisen benuze Informaionskrierien AIC (Akaike-Informaionskrierium) SIC (Schwarz-Informaionskrierium) HQIC (Hannan-Quinn-Informaionskrierium) AIC(p,q) = log( σˆ ) + (p p,q + SIC(p,q) = log( σˆ p,q) + (p+ HQIC(p,q) = log( σˆ p,q) + (p+ q) T log(t) q) T log[log( T)] q) T In der Praxis werden p und q so gewähl, dass nur eines der Informaionskrierien minimal wird. Meisens wird das AIC-Krierium gewähl, obwohl es eher zu Overfiing führ.

20 Beispiel zur Modellbildung Folie 39 Daengrundlage: Deusches BIP zwischen 1970:Q1 und 008:Q 10 BIP (Index: 000 = Bruoinlandsproduk der BRD. Preisbereinige Quaralsdaen. Quelle: Folie 40 BIP Wachsumsrae (Prozenuale Veränderung gegenüber Vorjahresquaral) BIP [%] Srukurbrüche? 1973:1 <=> Ölschock :1 <=> Zweie Ölkrise (Revoluion im Iran und Iran-Irak-Krieg) 1991: <=> Wiedervereinigung : <=> Docom-Blase ("Deuschland- deine Rezessionen", Mai 010, Zugriff: November 014)

21 Eigenschafen und Vorbereiung für Modellierung Folie 41 Überprüfung der Zeireihe auf Saionariä und Saisonaliä Bruoinlandsproduk weis offensichlich einen Trend auf. Bruoinlandsproduk weis offensichlich ein Saisonmuser auf (Quaralsmuser). Transformaion zu saisonalen Differenzen in Logarihmen EViews: gdp_log = log(gdp) - log(gdp(-4)) Y = (1 L 4 )log(bip ) = log(bip ) log(bip -4 ) Y = Wachsumsrae gegenüber dem Vorjahresquaral Ensprich ungefähr prozenualer Veränderung gegenüber Vorjahresquaral Korrelogramm und Ordnung p und q Folie 4 ACF: langsam, monoon abklingend => AR-Modell PACF: signifikane Were bis k = 4 => AR(4)-Modell Anmerkung: Allgemein is die Inerpreaion eines signifikanen PACF bei k = 4 eher nich realisisch. Um nich nur mi dem einfachsen Modell, das heiss AR(1), weier zu fahren, wird davon ausgegangen, dass die PACF bei k = 4 signifikan is.

22 Besimmung der Ordnungen p und q mi Informaionskrierien Folie 43 AIC (Akaike-Informaionskrierium) p / q q = 0 q = 1 q = q = 3 q = 4 p = p = p = p = p = p = => ARMA(4,4)- oder ARMA(4,3)-Modell SIC (Schwarz-Informaionskrierium) p / q q = 0 q = 1 q = q = 3 q = 4 p = p = p = p = p = p = => ARMA(1,3)- oder ARMA(0,3)-Modell Schäzung der Modelle Folie 44 ARMA(4,0)-Modell ( AR(4)-Modell) ARMA(1,3)-Modell Varianz der Residuen Varianz der Residuen σ = ( ) = σ = ( ) = Bessere Anpassung als AR(4)-Modell Schlussmodell ARMA(0,3)-Modell (da AR(1) nich signifikan) σ = ( ) =

23 "Equaion Diagnosics": Wurzeln der charakerisischen Polynome Folie 45 Die Kehrwere der Nullsellen (Invered Roos) der charakerisischen Polynome für AR(p)- und MA(q)-Prozesse sollen innerhalb des Einheiskreises liegen. 1.5 Inverse Roos of AR/MA Polynomial(s) MA roos Kehrwere der Nullsellen des MA-Polynoms innerhalb des Einheiskreises => inverierbar "Equaion Diagnosics": Vergleich von heoreischem und empirischem Korrelogram Falls das Modell richig spezifizier is, sollen die beiden Kurven "nahe" sein ( "...should be 'close'.") Folie 46.8 Auocorrelaion Acual Theoreical Theoreisches und empirisches Korrelogram liegen nahe und die Vorzeichen der Auokorrelaionen und pariellen Auokorrelaionen simmen überein. Parial auocorrelaion => ARMA(0,3)-Srukur wird besäig Acual Theoreical

24 Residualanalyse Folie 47 Keine signifikanen Auokorrelaionen der Residuen bis zum Lag k = 0. Die Residuen verhalen sich wie Weisses Rauschen. Schlussmodell und Prognose.08 Folie 48 Prognoseinervall Prognoseinervall Inervall für die Modellschäzung 1. Quaral 1971 bis. Quaral 006 Inervall für die Prognose. Quaral 006 bis. Quaral 008