2.2.3 Exponentielle Glättung

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1 3 Exponenielle Gläung Mi Hilfe der exponeniellen Gläung kann wie beim Verfahren der gleienden Mielwere die glae Komponene einer Zeireihe herausgefiler werden Zum Zwecke der Gläung werden die Zeireihenwere jedoch nich mehr gleich-, sondern exponeniell gewiche Das exponenielle Gewichsschema weis den weier zurückliegenden Weren geomerisch abnehmende Gewiche zu Im Unerschied zur Mehode der gleienden Durchschnie is mi dem Verfahren der exponeniellen Gläung jedoch unmielbar eine Prognosegleichung verbunden, die zur kurzfrisigen Vorhersage von Zeireihen verwende werden kann Bei rendbehafeen Zeireihen is für die Gläung und Prognose das Verfahren der exponeniellen Gläung zweier Ordnung konzipier worden Das Prinzip der exponeniellen Gläung läss sich jedoch am besen anhand eines Grundmodells ohne Trend (und ohne Saison) veranschaulichen Man sprich in diesem Fall von einer exponeniellen Gläung erser Ordnung

2 Exponenielle Gläung erser Ordnung Annahme: Zeireihe ( ) schwank um einen konsanen Wer Vorhersagewer für die Periode n+ bei Ausnuzung aller verfügbaren Informaionen: n (6) ŷn, n i n i n Prognosewer für Periode n+: (7) ŷn, n i n i Prognosewer ŷ,h : akuelle Periode, h Prognosehorizon Neuer Prognosewer in Abhängigkei des vorhergehenden Prognosewers: n (8) ŷn, n n n n n ŷn, n n n Prognosewer der exponeniellen Gläung für Periode +: (9) ŷ, ŷ,, (Rekursionsformel) Aler Prognosewer : Gewich -, akueller Beobwer : Gewich ŷ,

3 Beispiel: Die Umsäze an Drehkippbeschlägen der Schloss- und Beschlagindusrie schwanken in einem 8-Jahres-Zeiraum bei keinem klar erkennbaren Trend in ewa um einen Wer von,8 GE (s Abb) Zum Zwecke einer Vorhersage der Enwicklung dieser Variablen biee sich daher das Verfahren der exponeniellen Gläung erser Ordnung an Bei der exponeniellen Gläung muss ein Anfangswer fesgeleg werden, der als Prognosewer für die erse Periode des Beobachungszeiraums verwende werden kann In der Regel reich es aus, hierzu den Zeireihenwer für die Periode unmielbar vor Beginn des Süzbereichs zu wählen, was hier gemach werden soll: ŷ, 75 Der Anfangswer ensprich hier dem Umsaz an Drehkippbeschlägen im Jahr, der hier als Prognosewer für das Jahr verwende wird Uner Verwendung eines Gewichsfakors von,3 erhäl man dann mi der Rekursionsformel (9) den Prognosewer ŷ,,7 ŷ,,3,775, für das Jahr Die Ein-Schri-Prognosen für den Umsaz an Drehkippbeschlägen können auf diese Weise sukzessive für die Folgejahre besimm werden: Jahr ŷ,

4 Abb: Drehkippbeschläge und exponenielle Gläung Jahre Prognose im Süzbereich: Ex-pos-Prognose Prognose außerhalb des Süzbereichs: Ex-ane-Prognose

5 5 Gewichungsschema der exponeniellen Gläung Akueller Prognosewer: (9) Vorheriger Prognosewer: (3) Nach Einsezen von (3) in (9) erhäl man und nach forlaufender Subsiuion der alen Prognosewere durch (3) geh die Rekursionsformel (9) in die Form (3) über, wenn man den Regress unendlich of durchführ Prognosewer nach (3): Gewogenes arihmeisches Miel aller zurückliegender Zeireihenwere mi geomerisch abnehmenden Gewichen (allmähliche Niveauverschiebung wird hierdurch berücksichig), ŷ ŷ,,,, ŷ ŷ,3,,i ŷ ŷ i, i i, i i i 3 3, ŷ ŷ,,, ) (- ŷ ŷ i

6 Gewogene Mielung bei Aufgabe der Vorsellung eines unendlichen Regresses (Beobachungszeiraum der Länge n): n (33) i n ŷ, i i Der Anfangswer, der mi wachsendem n vernachlässigbar is da der Fakor gegen null geh Feslegung von (für Iniialisierung des Verfahrens): Zeireihenwer oder Mielwer der Zeireihenwere vor Beginn des Süzzeiraums Fehlerkorrekurformel: (3) ŷ, ŷ, e mi (35) e ŷ, Prognose korrigier sich quasi selbsändig: bei Unerschäzung erfolg auomaisch ein Aufschlag, bei Überschäzung ein Abschlag Der Prognosefehler e wird mi dem Gewich berücksichig 6 n

7 Beispiel: Die Anwendung der exponeniellen Gläung soll hier uner Verwendung der Fehlerkorrekurformel (3) für die Umsazdaen der Drehkippbeschläge aufgezeig werden Sarwer: ŷ, 75 Prognosefehler im Jahr : e ˆ, Ein-Schri-Prognose für das Jahr mi =,3: ˆ, ˆ,,3 e Analog ergeben sich die Prognosewere für die Folgejahre uner Verwendung der Fehlerkorrekurformel: Jahr ŷ, e , ,3e

8 Bedeuung des Gewichsfakors für die Gläung, Reagibiliä und den Einfluss der Zeireihenwere klein groß Gläungseffek der Vorhersage groß klein Reagibiliä auf irreguläre Schwankungen klein groß Berücksichigung neuer Zeireihenwere schwach sark Berücksichigung älerer Zeireihenwere sark schwach Wahl des Gläungsparameers Opimaler Wer für durch Vergleich der Anpassung alernaiver Were zwischen und in einem Süzbereich Krierien: Mean Square Error (MSE) oder Roo Mean Square Error (RMSE) n (36) n MSE e ŷ, e (37) RMSE MSE n n In der Praxis wird häufig ein -Wer zwischen, und,3 gewähl In diesem Fall sind auch weier zurückliegende Zeireihenwere für die Prognose bedeusam Bei einer sich allmählich verändernden zenralen Tendenz einer Zeireihe, empfiehl sich die Wahl eines größeren -Weres oder der Übergang zu einer exponeniellen Gläung zweier Ordnung 8

9 Abb: Verhalen der Gewichsfunkion i bei alernaiven Weren von i,8,6,,8,5,, 3 5 i 9

10 Abb: Reakion der Vorhersage auf verschiedene Ereignisse bei alernaivem Reakionsparameer,5, ŷ, (a) Einmaliger Impuls,5, ŷ, (b) Niveauänderung,5,,6,5,6,,5, ŷ, ŷ, ŷ, ŷ, 6, ŷ, (c) Einsezender Trend 5 3,6, ŷ, ŷ,

11 Exponenielle Gläung zweier Ordnung Prinzip des exponeniellen Gläens zweier Ordnung: Neben einem Grundwer a wird in dem Prognosewer für die Zei + noch explizi ein Term b berücksichig, der den Trendansieg widerspiegeln soll: (38) ~, a b (Ein-Schri-Prognose) Die Berechnung von a und b erfolg miels eines exponeniellen Gläens zweier Ordnung: (39) ŷ ( ) ŷ ŷ ( ŷ) (Gläungswer Ordnung) ŷˆ ( ) ŷˆ ŷ ŷˆ (ŷ ŷˆ ) () (Gläungswer Ordnung) Nach der Gläung der Ursprungswere ( Mielwere Ordnung ) wird eine analoge Gläung der gegläeen Were ŷ ( Mielwere Ordnung ) durchgeführ Als Ergebnis erhäl man die doppel gegläeen Were ( Mielwere Ordnung ) ŷˆ Man erhäl a und b aus den Beziehungen () a ŷ (ŷ ŷˆ ) ŷ ŷˆ () b (ŷ ŷˆ )

12 Aus () und () erhäl man die Anfangsschäzer (3) und () ŷ ŷˆ a b a b

13 3 Saisonkomponene und Saisonbereinigung 3 Phasendurchschnisverfahren Zur Besimmung der Saisonkomponene einer unerjährigen Zeireihe ( ) schale man die glae Komponene vorab aus Beim addiiven Modell liegen dann die rendbereinigen (und konjunkurbereinigen) Zeireihenwere d g s u (5) vor, die nur noch die Saison- und Reskomponene enhalen Voraussezung hierfür is, dass die saisonalen Ausschläge unabhängig vom Trend der Zeireihe sind (s Abb) Abb: Saisonausschläge mi konsaner Ampliude 3

14 Besimmung der Saisonkomponene Doppelindizierung: Jahr i, Phase (zb Mona, Quaral) j Trendbereinige Zeireihe: (6) dij ij gij sj uij, i,,,k j; j,,, p k j : Anzahl der Jahre für die Phase j p: Anzahl der Phasen bei Quaralsdaen: p=, bei Monasdaen: p= Unnormiere Saisonkomponene: * (7) s j dij k j i Die unnormieren Saisonkomponenen s * j summieren sich allgemein nich zu null Diese Tasache kann die Inerpreaion einer Phase als saisonal uner- oder überdurchschnilich erschweren Für die Saisonkomponene s j forder man daher p (8) s j Normierung j Normiere Saisonkomponene: * p (9) s j s j d mi (5) d s * j p j Saisonbereinige Zeireihe: (5) * ij ij s j

15 Beispiel: Im Zeireihendiagramm der Lohn- und Gehalseinkommen je Beschäfigen is ein klares Saisonmuser erkennbar Der Index weis jahreszeilich beding jeweils im ersen Quaral eines Jahres einen Tiefsand und im vieren Quaral ein Hoch aus Außerdem sind keinerlei Anhalspunke dafür erkennbar, dass die saisonalen Ausschläge mi wachsendem Trend zunehmen Daher läss sich eine Zeireihenzerlegung adäqua auf der Grundlage des addiiven Modells vornehmen Jahr (i) Quaral (j) ij ij 986 () I () 3,6 986 () II (), (5) III (3) 36, 99 5 (5) IV () 55,5 986 () III (3),,3 -,3 986 () IV () 38,8 5, 3,6 987 () I () 6,3 6, -9,9 987 () II () 5,7 7, -,5 987 () III (3) 5,7 8, -,7 987 () IV () 3,5 9,, 988 (3) I (), 3, -9, 988 (3) II () 8,6 3, -, 988 (3) III (3) 9, 3,8 -,8 988 (3) IV () 7,3 3, 5, 989 () I () 3, 3,3-9, 989 () II () 9, 3,6-3, 989 () III (3) 3,3 33,3-3, 989 () IV () 7,9 3,7 3, 99 (5) I () 8, 36, -8, 99 (5) II () 35,7 37,9 -, d ij 5

16 Zur Besimmung der glaen Komponene haben wir zenriere gleiende Durchschnie der Ordnung verwende, die bereis bei der Behandlung der Mehode der gleienden Durchschnie (Abschn ) ermiel worden sind Aus den in der Arbeisabelle berechneen rendbereinigen Were d ij erhäl man die unnormiere Saisonkomponene: s s s s * * * 3 * 5 di i 5 di i di3 i di i 9,9 9, 9,8,,5, 3,,,3,7,8 3, 3,6,5, 3,, 36, 9,5,8,7, 56, 9,,,, 6

17 Durchschni der unmormieren Saisonziffern: p * d s j [( 9,) (,) (,7),] (,) p j Normiere Saisonkomponene: s s s * s d 9, (,5) * s d, (,5) * 3 s 3 d,7 (,5) s * s d, (,5) 9,5,35,65,5,5 7

18 Das Saisonprofil gib die Größenordnung des saisonalen Einflusses in der Zeireihe der Löhne und Gehäler je Beschäfigen grafisch wieder Abb: Saisonprofil der Löhne und Gehäler je Beschäfigen 5 S j Quarale - 8

19 Uner Verwendung der Saisonziffern s j läss sich die saisonbereinige Zeireihe der Löhne und Gehäler je Beschäfigen für den gesamen Beobachungszeiraum besimmen: * ij Jahr (i) Quaral (j) ij 986 () I() 3,6-9,5, () II(),3 -,35 3, () III(3), -,65, () IV() 38,8,5, () I() 6,3-9,5 5, () II() 5,7 -,35 8,5 987 () III(3) 5,7 -,65 8, () IV() 3,5,5 9,5 988 (3) I(), -9,5 3, (3) II() 8,6 -,35 3, (3) III(3) 9, -,65 3, (3) IV() 7,3,5 33, () I() 3, -9,5 3,5 989 () II() 9, -,35 3, () III(3) 3,3 -,65 3, () IV() 7,9,5 33,85 99 (5) I() 8, -9,5 37, (5) II() 35,7 -,35 38, (5) III(3) 36, -,65 38, (5) IV() 55,5,5,5 s j * ij 9

20 Abb: Löhne und Gehäler je Beschäfigen mi saisonbereiniger Zeireihe Jahr 988 Jahr Jahr 99 Quarale Jahr Jahr 5

21 Muliplikaives Modell Das muliplikaive Modell is für ökonomische Zeireihen adäqua, deren Saisonausschläge mi seigendem Trend im Miel proporional zunehmen Abb: Saisonausschläge mi proporional zunehmender Ampliude Da die Komponenen in den Logarihmen addiiv sind, kann die Saisonkomponene im Prinzip wie im addiiven Modell besimm werden, wenn man die originäre Zeireihe ( ) durch die logarihmiere Zeireihe (log ) ersez

22 Aus der originären Zeireihe ( ) lassen sich die Saisonkomponene und die saisonbereinige Zeireihe wie folg besimmen ij Trendbereinige Were: (5) dij s j uij, i,,,k j, j,,,p gij * Unnormiere Saisonkomponene: (7) s j dij k j i (gewöhnlich wie im addiiven Modell uner Verzich auf eine geomerische Mielung) Für die normiere Saisonkomponene gil approx die Eigenschaf (5) p (Normierung) Normiere Saisonkomponene: (53) Saisonbereinige Zeireihe: (5) s s s j * ij s s * j d s ij j d wird häufig wie beim addiiven Modell als arihmeisches Miel nach Gl (5) berechne Sachlogisch si jedoch eine geomerische p Mielung d = vorzuziehen j= s j

23 3 Regressionsverfahren Mi dem Regresssionsverfahren wird der saisonale Einfluss miels sog Saison-Dummies (,-Variablen) besimm In der Regel wird mi einem Regressionsmodell jedoch nich allein die Saisonkomponene ermiel, sondern simulan zb mi dem Trend oder exogenen Variablen A Regressionsmodell mi absoluem Glied In einem Regressionsmodell mi absoluem Glied muss die Anzahl der Saison- Dummies gleich p- gesez werden Der Grund lieg darin, dass sich die Spalen von p Saison-Dummies in der Beobachungsmarix ( Designmarix ) X zum Wer von der Scheinvariablen summieren, die dem absoluen Glied zugrunde lieg In diesem Fall ensünde exake Mulikollineariä, so dass das Regressionsmodell nich mehr schäzbar wäre Bei Einbeziehung eines linearen Trends läss sich die Saisonkomponene auf der Basis von für Quaralsdaen aus dem Regressionsmodell (55) = ß + ß D + ß 3 D 3 + ß D + ß 5 + u besimmen D j is hierin eine Saison-Dumm für das j-e Quaral: D j, falls Quaral j, sons (56) j=,3, 3

24 Hier is das Quaral als Referenzquaral gewähl worden In diesem Fall geben die Koeffizienen ß, ß 3 und ß geben die Saisoneinflüsse der Quarale, 3 und relaiv zum Quaral an Regressionsmodell (55) in Marizenform: (57) = Xß + u : nx-vekor der Zeireihenwere (bei kompleen Jahren: n=pk) X: nx5-beobachungsmarix ( Designmarix ) bei Quaralsdaen ß: 5x-Vekor der Regressionskoeffizienen, ß = (ß ß ß 3 ß ß 5 ) u: nx-vekor der Sörvariablen Die Beobachungsmarix ( Designmarix ) X ha hier folgende Srukur: 3 x : Scheinvariable 5 x : Trendvariable X x D D 3 D x Der Kleins-Quadrae-Schäzer (OLS-Schäzer, ordinar leas squares esimaor) (58) ˆ β ( X' X) X' enhäl den Trendkoeffizienen sowie die gesuchen Regressionsschäzer für den Saisoneinfluss der Phasen (hier: Quarale), 3, relaiv zur Phase

25 Man erhäl die (normiere) Saisonkomponene, dh normiere Saisonziffern S, S,, S p für alle vier Quarale wie folg: (59) d für j (Referenzphase) Sj βˆ j d für j,,p p βˆ j j d p (6) ( Phase: Referenzphase) Beispiel: Löhne und Gehäler je Beschäfigen (Quaralsdaen für 5 Jahre: n=k p=5 =) Regressionsgleichung: Loĥn =,6 + 6,8 D + 6,5 D3 + 3,6 D +,8675 LTREND R²=,99 -Were (58,) (8,595) (8,3) (9,356) (7,598) Arihm Miel der Saisonkoeffizienen (einschl für Referenzphase): d (Normiere) Saisonkomponene: =( + 6,8 + 6,5 + 3,6)/ = 36,9/ = 9, S = 9, = -9,; S = 6,8 9, = -,; S 3 = 6,5 9, = -,7; S = 3,6 9, =, 5

26 6 In einem Regressionsmodell ohne absolues Glied können uner Verwendung von p Sasion- Dummies die Saisonkoeffizienen aller p Phasen eines Jahres ohne Bezug zu einer Referenzphase geschäz werden Für Quaralsdaen (p=) lieg der Regressionsschäzung der Saisonkoeffizienen bei Einbeziehung eines linearen Trends das Regressionsmodell (6) = ß D + ß D + ß 3 D 3 + ß D + ß 5 + u zugrunde Die Saison-Dummies D j sind hierbei durch (6) j=,,3, definier Die Beobachungsmarix ( Designmarix ) X ha hier die Srukur: x : Trendvariable B Regressionsmodell ohne absolues Glied sons, j Quaral falls, D j 3 x D D D D X

27 Zur Besimmung der (normieren) Saisonkomponene, dh der normiere Saisonziffern S, S,, S p besimm man den Durchschnischniswer der geschäzen Saisonkoeffizienen: (63) Die (normiere) Saisonkomponene ergib sich aus den geschäzen Saisonkoeffizienen nach Subrakion des Durchschnis : (6), j=,,3, Beispiel: Löhne und Gehäler je Beschäfigen (Quaralsdaen für 5 Jahre: n=k p=5 =) Regrgleich: p d βˆ j j βˆ,βˆ,βˆ undβˆ 3 S j βˆ j d p =,6 D + 9, D + 9, D3 + 36, D +,8675 LTREND R²=,99, -Were (58,) (6,) (53,) (67,5) (7,598) Arihm Miel der Saisonkoeffizienen (einschl für Referenzphase): d Loĥn =(,6 + 9, + 9, + 36,)/ = 87,3/ =,8 (Normiere) Saisonkomponene: S =,6,8 = -9,; S = 9,,8 = -,; S 3 = 9,,8 = -,7; S = 36,,8 =, d 7