SPIELE GEGEN DEN ZUFALL

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1 1 SPIELE GEGEN DEN ZUFALL 1. Subjekive Wahrscheinlichkeien und das Gesez der großen Zahlen In der Mehodenlehre der Saisik wird schon sei langem über die subjekive und die objekive Deuung der Wahrscheinlichkei debaier. Es is nich meine Absich, mich hier auf die Feinheien dieser Diskussion einzulassen, und wenn ich über subjekive Wahrscheinlichkeien rede, so geschieh dies ohne Pareinahme für eine besimme Philosophie. Beide Aspeke des Wahrscheinlichkeisbegriffs, der subjekive wie der objekive, spielen eine Rolle im sochasischen Denken. Berachen wir die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeien für die Resulae beim Würfeln zu besimmen. Beim üblichen Vorgehen benuz man dazu die Annahme, dass alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich sind. Auf diese Weise läss sich ein Rückgriff auf eine inhalliche Deuung der Wahrscheinlichkei vermeiden. Wir wollen aber häufig nich über einen idealen, d. h. bloß gedachen, sondern über einen ganz besimmen realen Würfel Erkennnisse gewinnen. Offensichlich brauchen wir dazu geeignee Erfahrungsdaen. In diesem Punk simmen im Prinzip alle Deuungen der Wahrscheinlichkei überein. Worin unerscheiden sie sich dann aber noch? Nach der objekiven Auffassung gehören die Wahrscheinlichkeien der Augenzahlen unmielbar zur physikalischen Srukur des Würfels, genauer: des Werfversuchs mi dem Würfel. Die Wahrscheinlichkei, eine Sechs zu werfen, is danach eine innere Eigenschaf der Versuchsanordnung; sie beseh unabhängig davon, ob wir sie durch relaive Häufigkeien annähern oder nich. Demgegenüber sind subjekive Wahrscheinlichkeien Besandeil eines Ureils über die Versuchsanordnung; sie repräsenieren Gewissheisgrade wirklicher oder fikiver Personen. Angenommen, wir prüfen den Würfel mi Auge und Hand und finden ihn regelmäßig hergesell. Eine physikalische Symmerie läss sich auf solche Weise zumindes oberflächlich erkennen, was fürs erse genüg, um den sechs Würfelseien jeweils die

2 2 Spiele gegen den Zufall Wahrscheinlichkei 1 /6 zuzuschreiben. Diese subjekive Bewerung gil uner Vorbehal und kann durch späere Erfahrungen revidier werden. Im Allagsleben gib es viele Fälle subjekiver Wahrscheinlichkeisbewerungen. Of sind die bereffenden Ereignisse einmalig und lassen sich daher im Rahmen der Häufigkeisdeuung gar nich beureilen. Hier erfüll die Theorie der subjekiven Wahrscheinlichkei (mi ihren Anwendungen in behaviorisischen Disziplinen und in der Bayesschen Saisik) eine wichige Aufgabe. Naürlich kann man nich erwaren, dass Gewissheisgrade irgendwelcher Personen ohne weieres die Regeln der Wahrscheinlichkeisrechnung erfüllen. Ein Weg, auf dem sich dies erreichen läss, is eine von B. de Finei vorgeschlagene Idealisierung [ La prévision: Ses lois logiques, ses sources subjecives, Ann. de l Ins. H. Poincaré, vol. 7 (1937) ]. Dabei drücken die bereffenden Personen ihre subjekive Bewerung durch Einsäze in einer Wee aus. Fairerweise darf die Wee keinem Teilnehmer einen sicheren, d. h. unabhängig vom Versuchsausgang fälligen Reingewinn ermöglichen. Beispiel: Frank wee 2 Geldeinheien für, Bruno 10 Geldeinheien gegen das Würfeln einer Sechs. Sie vereinbaren, dass die Einsazsumme S = 2+10 = 12 an Frank geh, wenn eine Sechs erschein, andernfalls an Bruno. Die sog. Wequoienen 2 /12 und 10 /12 werden hier als die subjekiven Wahrscheinlichkeien für Sechs bzw. Nich-Sechs aufgefass. Eine unfaire Wee ensünde z. B. dann, wenn Frank sezen kann und Bruno sich überreden ließe, bei Sechs das 6-fache und bei Nich-Sechs das 1,25-fache der Einsäze zurückzuzahlen. [ Siehe hierzu meinen Arikel: Über Spiele mi Quoen, Elemene der Mahemaik 32 (1977), ] Analog verfähr man bei einem Versuch mi N Ausgängen A 1,..., A N : Seh auf A k der Einsaz e k, so laue der zugehörige Wequoien b k := e k S wobei S = e e N. Es gil dann b b N = 1. Die Anpassung dieser Größen an Erfahrungsdaen läss sich auf einfache Weise erreichen. Dazu denken wir uns einen Zufallsversuch mi den Ausgängen A 1,..., A N und den (unbekannen) objekiven Wahrscheinlichkeien p 1,..., p N, p p N = 1 zur Zei = 0, 1, 2,... durchgeführ. Wir schreiben x k () = 1, falls A k zur Zei erschein,

3 1. Subjekive Wahrscheinlichkeien und das Gesez der großen Zahlen 3 sons x k () = 0 (1 k N), auch Einsäze und Wequoienen werden als von abhängig noier. Für die relaiven Häufigkeien der Versuchsausgänge gil bekannlich ein Gesez der großen Zahl: x k (0) + + x k ( 1) p k mi Wahrscheinlichkei 1. (1.1) Es is aufschlussreich, die Anpassungsdynamik der Häufigkeien einmal mi dem einfachsen linearen Lernmodell der Psychologie zu vergleichen. Der subjekive Ansrich sör dabei überhaup nich. Eine Person soll nach jedem Versuchsdurchgang raen, welcher der Ausgänge A 1,..., A N als nächser erschein (meisens is N = 2). Wir schreiben y k () = 1, wenn die Person das Einreffen von A k für die Zei voraussag, sons y k () = 0. Dann is w k () = y k(0) + + y k ( 1) (1.2) die relaive Häufigkei, mi der A k zur Zei vorhergesag wird. Bei Experimenen zeig sich of eine gewisse Anpassung der w k () an die objekive Wahrscheinlichkei p k von A k (»probabiliy maching«) [ vgl. ewa M. F. Norman, Markov Processes and Learning Models, New York / London 1972 ]. In den 1950er Jahren beschrieb man diesen Vorgang meis durch einfache lineare Modelle der Form w k ( + 1) = αw k () + (1 α)p k (1 k N). (1.3) Es is leich zu zeigen, dass für 0 < α < 1 die Folge w k () gegen p k sreb für. Der Parameer α läss sich dabei als Trägheisfakor deuen: Je näher er bei 1 lieg, deso langsamer konvergier die Folge. Seine empirische Besimmung is eine einigermaßen unsichere Sache. Das is kaum überraschend, wenn man sich die aus (1.2) ergebende Rekursion ansieh: w k ( + 1) = + 1 w k() y k(). (1.4) Hier haben wir einen zeiabhängigen Trägheisfakor und, anselle der asympoischen Wahrscheinlichkei p k, eine Zufallsgröße y k (). Die Folge konvergier mi Wahrscheinlichkei 1 gegen p k, falls für den Erwarungswer der Raesraegie y k () gil: E(y k ()) = p k. Am einfachsen wird

4 4 Spiele gegen den Zufall dies erreich, indem man von einem besimmen Zeipunk an immer dasjenige Ereignis voraussag, das unmielbar zuvor eingereen is. (Eine maximale Trefferquoe, allerdings ohne»probabiliy maching«, wird durch Vorhersage des bis zum jeweiligen Zeipunk häufigsen Ereignisses erziel.) Im wesenlichen is das die Anpassungsdynamik vor dem Hinergrund des objekiven Wahrscheinlichkeisbegriffs. Fragen wir nun, wie sich in dieser Hinsich subjekive Wahrscheinlichkeien verhalen, die als faire Wequoienen definier sind. Um das zu beanworen, müssen wir eine Annahme darüber machen, in welcher Weise die weenden Personen ( Spieler ) ihre Einsäze vom vergangenen Geschehen abhängig machen. Sie können sich z. B. als Kollekiv aufgefass erfolgsorienier verhalen in dem Sinn, dass umso mehr auf ein Ereignis gesez wird, je größer die bis zum jeweiligen Zeipunk darauf erzielen Gewinne sind. Am einfachsen is es, wenn man dabei die monoone Abhängigkei als Proporionaliä präzisier: a) Bis zu einem geeigneen Zeipunk 0 is auf jedem Ausgang ein Gewinn erziel worden. Formal: für alle k, 1 k N, gib es ein τ < 0 mi x k (τ) = 1 und e k (τ) > 0. b) Für < 0 werden alle Einsäze beliebig gewähl. Zur Zei 0 is der Einsaz auf dem k-en Ausgang proporional dem mileren Gewinn, der darauf im Teiraum [0, 1] erziel wurde: e k = a 1 S(τ)x k (τ), a > 0 konsan. (1.5) τ=0 Welche Folgen ha das durch a) und b) charakerisiere opporunisische Verhalen für die Dynamik der Wequoienen? Wir können es prakisch, z. B. durch Compuer-Simulaion, realisieren. Zweckmäßigerweise schreiben wir die Folge der Weeinsäze rekursiv auf: e k ( + 1) = + 1 e k() + as() + 1 x k(). (1.6) (1.6) beschreib einen Algorihmus zur Realisierung des opporunisischen Weverhalens. Auf jeder Sufe erscheinen die subjekiven Wahrscheinlichkeien b k (); sie sabilisieren sich auf dem Niveau der objekiven Wahrscheinlichkeien, worin sich ein Gesez der großen Zahlen ausdrück.

5 1. Subjekive Wahrscheinlichkeien und das Gesez der großen Zahlen 5 In der Ta gil b k () mi Wahrscheinlichkei 1. Die folgende Begründung is nur heurisisch, dafür aber einfach: Für die Einsazsummen ergib sich zunächs die Rekursion S( + 1) = + a S(). (1.7) + 1 Dann dividieren wir (1.6) durch S( + 1) und erhalen mi (1.7) b k ( + 1) = + a b k() + a + a x k(). (1.8) Für a = 1 geh (1.8) in (1.4) über; die Wequoienen verhalen sich also wie relaive Häufigkeien genau dann, wenn (nach (1.7)) die Summe aller Einsäze in jedem Durchgang konsan bleib. Bei a 1 is dies immerhin noch angenäher erfüll, und zwar umso besser, je größer wird. [ Einzelheien dazu in meinem Arikel: Zur Anpassungsdynamik subjekiver Wahrscheinlichkeien, Grundlagensudien aus Kyberneik und Geiseswissenschaf 21/4 (1980), , wiederabgedruck in A. Schreiber: Begriffsbesimmungen, Berlin 2011 ] Berachen wir abschließend noch einmal das Spielgeschehen uner der vereinfachenden Voraussezung, dass a = 1 und vom Spieler(kollekiv) A in allen Spielrunden der gleichbleibende Gesameinsaz S verwende wird. Zu Beginn ( = 0) sez A auf irgendeinen Ausgang. Der Gegenspieler (die Bank) B dreh das Glücksrad und realisier x k (0) = 1 für genau ein (zufälliges) k. In der Folgerunde ( = 1) wee A auf gerade diesen k- en Ausgang, und B dreh erneu sein Glückrad; usw. In den Spielrunden 0 bis 1 werden sich dann für die Ausgänge A 1, A 2,..., A N gewisse relaive Häufigkeien h 1 ( 1), h 2 ( 1),..., h N ( 1) aufgebau haben. Für diese gil h k ( 1) = 1 1 x k (τ), woraus sich mi (1.5) ergib: e k () = S h k ( 1), 1 k N. Die Wequoienen b k = e k /S, die diesem Verhalen von A ensprechen, sind also nichs anderes als relaive Häufigkeien. anmerkung. Im wesenlichen is dies die Idee des»ficiious play«von G. W. Brown; sie beinhale eine opimale Sraegie im Sinne der Spielheorie [ vgl. τ=0

6 6 Zwischen Kuns und Zahl J. Robinson: An ieraive mehod of solving a game, Annals of Mahemaics 54/2 (1951); auch Nievergel/Farrar/Reingold, Compuer Approaches o Mahemaical Problems, Prenice-Hall, N. J. 1974, ]. Der von J. L. Kelly vorgeschlagenen Sraegie lieg ein ähnlicher Gedanke zugrunde [ A New Inerpreaion of Informaion Rae, The Bell Sysem Technical Journal, Juli 1956 ]. Danach wird ein Ausgang, ewa A k, vorhergesag und auf A j der Berag h jk S gesez, wo S das verfügbare Kapial is und h jk die relaive Häufigkei von A j bei vorhergesagem A k. Eigenlich überrasch es nich, dass in subjekivisischen Begriffsbildungen und Enscheidungsprozeduren lezlich doch frequenisische Vorsellungen secken. Relaive Häufigkeien bieen sich eben als besonders einfaches und wirkungsvolles Miel an, einen durch Beobachung forgesez revidieren Erfahrungssand numerisch und in verdicheer Form zu konservieren.