Durch Modellierung beschreibt man Vorgänge aus der Natur sowie industrielle Prozesse

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1 Kapiel Modellierung Durch Modellierung beschreib man Vorgänge aus der Naur sowie indusrielle Prozesse mi mahemaischen Werkzeugen, zum Beispiel Gleichungen oder Ungleichungen. Modellierung geschieh durch Absrakion, das heiß durch Vereinfachung und Verallgemeinerung der Realiä.. Der Wurf Ein in der Schule bereis deaillier unersucher physikalischer Vorgang is der Wurf. Wir berachen eine Punkmasse mi der konsanen Masse m [kg] und die Ebene, in der die Wurfkurve lieg. Das Ziel beseh darin, eine Formel für die Wurfkurve zu finden. Der Wurf gehorch dem Newonschen Grundgesez der Dynamik F = d(mv) d =: (mv), (.) wobei F [N] die wirkenden Kräfe sind, v [m/s] die Geschwindigkei und mv [Ns] der Impuls. Der Punk bezeichne die Ableiung nach der Zei. Dami besag (.), dass die zeiliche Änderung des Impulsvekors der einwirkenden Kraf proporional is und in die Richung geschieh, in der jene Kraf angreif. Bezeichne = (, y) T die Koordinaen der Ebene der Wurfkurve und v() = (v (), v y ()) T den Geschwindigkeisvekor. Wir nehmen an, dass nur die Schwerkraf wirk, also F = ( mg wobei g 9.8 [m/s ] die Fallbeschleunigung is. Da die Masse konsan is, vereinfach sich das Grundgesez der Dynamik zu ), v = F m, (.) wobei die zeiliche Ableiung der Geschwindigkei die Beschleunigung is. Die Geschwindigkei erhäl man nun durch Inegraion von (.) v = F ( ) ( ) ( ) m + v v v oder = +. (.) v y g v y Die Inegraionskonsane v muss durch eine Zusazbedingung fesgeleg, ewa durch die Geschwindigkei zum Anfangszeipunk = (Anfangsbedingung). Isaac Newon (6 77)

2 Nun is die Geschwindigkei die Ableiung des Weges nach der Zei. Man erhäl dami die Wurfkurve durch Inegraion von (.) nach der Zei = F ( ) ( ) ( ) ( ) m + v + oder = y g/ v + +. v y y (.) Auch hier muss die Inegraionskonsane durch eine Zusazbedingung fesgeleg werden, ewa durch die Posiion des Wurfobjeks zum Anfangszeipunk. Mi (.) ha man eine Darsellung der Wurfkurve erhalen, eine sogenanne Parameerdarsellung mi dem Parameer. Lös man die obere Gleichung nach (falls v is) auf, sez das Ergebnis in die zweie Gleichung ein und vereinfach, erhäl man y = g v ( g + v + v ) ( y + y g v v v ) y. (.) v Man erkenn, dass die Wurfkurve eine Parabel is. Übungsaufgaben: spezielle Würfe (AB erkennen und einsezen), Merkmale dieser Würfe Dami haben wir das Ziel einer mahemaischen Beschreibung der Wurfkurve erreich. Ausgehend von einem physikalischen Grundgesez, durch Nuzung von Definiionen von physikalischen Größen sowie zweimalige Inegraion, haben wir eine Formel gefunden. Die Frage is, wie gu diese Formel is. Das häng von den Modellfehlern ab, die hier uner anderem durch folgende Dinge verursach sind: - Der richige Wurfkörper is dreidimensional und keine Punkmasse. - Der richige Körper besiz eine Eigenbewegung, zum Beispiel Roaion, die vernachlässig wurde. - Wenn man keine Punkmasse berache, sondern einen richigen Körper, ri Reibung durch den Lufwidersand auf. Diese muss modellier werden (Sokes sches oder Newon sches Reibungsgesez). - Der reale Wurf finde nich in einer Ebene sa. - Die Fallbeschleunigung is nur näherungsweise bekann. Uner diesen Voraussezungen haben wir das eplizie Ergebnis (.) erhalen.. Die eindimensionale Wärmeleiungsgleichung Wir berachen die Wärmeausbreiung in einem Sab, der als eindimensionale Srecke Ω = (a, b) modellier wird. Seien (a, b) die Orskoordinae, R,, die Zei, u(, ) Temperaur zum Zeipunk im Or, [K], ρ() Diche des Mediums aus dem der Sab beseh, [kg/m], c() spezifische Wärmekapaziä des beracheen Mediums, [J/(kg K)] = [W s/(kg K)], k() Wärmeleikoeffizien des beracheen Mediums, [W/(m K)], F (, ) Inensiä von Wärmequellen, [W/m]. Wir berachen das Wärmegleichgewich in einem beliebigen Volumen V = (α, β) (a, b) im Zeiinervall (, + ). Auf Grund des Fourierschen Gesezes ri durch den Rand von V die Wärmemenge, [J], Q = + George Gabriel Sokes (89 9) k(, β)u (, β) k(, α)u (, α) d

3 in V ein, wobei der Srich die Ableiung nach bezeichne. Durch parielle Inegraion erhäl man Q = + β α (k(, )u (, )) d d. In V enseh die Wärmemenge Q = + β α F (, ) d d. Die Temperaur in einem Punk wächs in (, + ) in erser Näherung um den Wer u( +, ) u(, ) u(, ), wobei der Punk die Ableiung der Temperaur nach der Zei bedeue. Das is der Wer, den die Tangene im Punk (, ), im Punk (+, ) annimm. Man nimm diesen linearen Ansaz, sez also u( +, ) u(, ) = u(, ). (.6) Für das Anwachsen der Temperaur in V und für beliebiges benöig man dami die Wärmemenge Q = = + β α + β α u( +, ) u(, ) c()ρ() c()ρ() u(, ) d d. d d Es gil nun Q = Q + Q und somi + β α [cρ u (ku ) F ] (, ) d d =. Da das Volumen V beliebig gewähl wurde und ebenfalls beliebig is, muss der Inegrand gleich Null sein (wird späer in der Analysis Vorlesung bewiesen). Man erhäl die Wärmeleiungsgleichung cρ u (ku ) = F in (, T ) (a, b). Für ein homogenes Medium sind c, ρ, k konsan. Die Gleichung vereinfach sich zu u εu = f in (, T ) (a, b). (.7) mi ε = k/(cρ) > und f = F/(cρ). Das is eine sogenanne Differenialgleichung, da Ableiungen der gesuchen Funkion aufreen. Gesuch is eine Funkion u(, ), die (.7) erfüll. Diese Funkion muss aber auch noch zusäzliche Bedingungen erfüllen. Die Beschreibung der Temperaurausbreiung mach nur Sinn, wenn man weiß, wie die Temperaurvereilung u(, ) zum Anfangszeipunk aussieh (Anfangsbedingung) und wenn man weiß, was im Laufe der Zei an den Sabenden passier (Randbedingungen). Beispiele für Randbedingungen: a) Dirichle Randbedingung. Die Temperaur u am Rand wird vorgegeben, zum Beispiel u(, a) = g () in (, T ). Johann Peer Gusav Lejeune Dirichle (8 89)

4 b) Neumann Randbedingung. Ein gegebener Wärmefluss wird am Rand aufrech erhalen, zum Beispiel k(, a)u (, a) = g () in (, T ). Falls u zeilich konsan is, erhäl man die saionäre Wärmeleiungsgleichung εu = f in (a, b). (.8) Das is die sogenanne Poisson -Gleichung. Die homogene Form, d.h. f =, wird Laplace 6 -Gleichung genann. Die Gleichung (.8) kann man im Prinzip durch zweimaliges Inegrieren im Or lösen, währendessen das bei der Gleichung (.7) nich mehr funkionier. Die Differenialgleichungen (.7) und (.8) modellieren die Wärmeausbreiung in einem Sab. Es sell sich auch hier die Frage, wie gu diese Modelle sind. Der Modellfehler besiz u.a. folgende Besandeile: - Der Sab is nich ein sondern dreidimensional. Man finde im Prinzip auf die gleiche Ar und Weise wie oben die Wärmeleiungsgleichung im dreidimensionalen Gebie. Im Unerschied zur eindimensionalen Gleichung reen dann Ableiungen in alle drei Raumrichungen auf, womi man eine sogenanne parielle Differenialgleichung erhäl. - Beim linearen Ansaz (.6) werden Terme höherer Ordnung vernachlässig. - Das Maerial is im allgemeinen nich vollsändig homogen. - Die physikalischen Konsanen kenn man nur bis zu einer gewissen Genauigkei. - Die Anfangsbedingung kenn man i.a. nur punkweise. - Die Randbedingungen kann man auch nur zu einer gewissen Genauigkei seuern.. Gewöhnliche Differenialgleichungen Wir haben gesehen, dass die Modellierung von physikalischen Prozessen zu Gleichungen führ, in denen Funkionen gesuch sind. Sind in diesen Gleichungen Ableiungen der gesuchen Funkion enhalen, sprich man von Differenialgleichungen. Handel es sich bei den Funkionen um skalare Funkionen einer Veränderlichen u : (a, b) R, so sprich man von gewöhnlichen Differenialgleichungen. Diese werden im Laufe des Sudiums noch ausführlich behandel. Hier dienen sie nur als Moivaion für den Programmierungseil der Vorlesung. Die Herleiung von gewöhnlichen Differenialgleichungen durch Modellierung is ein Teil der Beschreibung von Naurvorgängen. Der zweie Teil beseh darin, diese Gleichungen zu lösen. Der einfachse Typ einer gewöhnlichen Differenialgleichung wurde bereis in der Schule behandel: Gegeben is eine Funkion f : (a, b) R. Gesuch is eine Funkion u : (a, b) R, so dass u () = f() gil. Die allgemeine (absrake) Lösung is das unbesimme Inegral u() = f() d. (.9) Bekannes aus der Schule über das Inegral: Carl Gofried Neumann (8 9) Siméon Denis Poisson (78 8) 6 Pierre Simon Laplace (79 89)

5 - Es gib Inegraionsregeln, die man probieren kann (Subsiuionen, parielle Inegraion). - Diese funkionieren jedoch nur bei speziellen Funkionen. - Mahemaische Sofware kann weierhelfen (MAPLE, MATHEMATICA,...). - Inegraion im allgemeinen komplizier! Beispiel. Gesuch is die Sammfunkion von f() = +. Man erhäl mi MAPLE u() = + ( d = / + 6 / ) ( / + + arsinh /) Abbildung.: Inegrand und Sammfunkion zum Beispiel.. Beispiel. Gesuch is die Sammfunkion von f() = +. Man erhäl mi MAPLE u() = + d = ([ / hypergeom, ] [ ] ),, / 6 6 Die Sammfunkion kann nur durch eine spezielle Funkion, die sogenanne hypergeomerische Funkion, dargesell werden! 8 6 Abbildung.: Inegrand und Sammfunkion zum Beispiel.. 6

6 Abbildung.: Inegrand zum Beispiel.. Beispiel. Gesuch is die Sammfunkion von f() = + +. Bei diesem Inegranden hilf auch MAPLE nich weier. Trozdem möche man eine Vorsellung von einer Sammfunkion haben. Dazu dienen numerische Verfahren. Schon beim unbesimmen Inegral gib es Fälle, wo man die Lösung nich analyisch finde. Bei Differenialgleichungen is das der allgemeine Fall. Es gib nur wenige, einfache Typen, die eine geschlossene analyische Darsellung der Lösung ermöglichen. Ein einfacher Typ is die homogene, gewöhnliche Differenialgleichung erser Ordnung mi konsanen Koeffizienen. Gegeben is α R. Gesuch is eine Funkion u : (a, b) R mi u () + αu() = (a, b). (.) Für die Lösung von (.) gib es ein einfaches Verfahren. Der Einfachhei halber wird u() > vorausgesez. Durch Umsellung erhäl man Inegraion ergib α = u () u() = (ln(u())). ln(u()) = α + c = u() = c e α. Die Konsane c besimm sich durch eine Anfangsbedingung, die man zusäzlich zu (.) benöig. Ein Beispiel für eine gewöhnliche Differenialgleichung, die analyisch nich auflösbar is, is u () = + u (). (.) Man kann zeigen, dass eine Lösung dieser Differenialgleichung eisier, aber dass diese Lösung nich mi elemenaren Funkionen und Inegraion darsellbar is. In solchen Fällen helfen nur numerische Verfahren zur Approimaion der Lösung. Berache die allgemeine gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung u () = f(, u()) (a, b), u(a) = u. (.) Das einfachse numerische Verfahren zur Approimaion der Lösung von (.) is das eplizie Euler 7 Verfahren. Zunächs zerleg man [a, b] in n (gleich große) Teilinervalle mi den Punken a = < <... < n < n+ = b, i i = h, 7 Leonhard Euler (77 78) 7

7 siehe Abbildung.. Die numerische Approimaion der Lösung wird mi u h bezeichne. h Abbildung.: Zerlegung des Inervalls für numerische Verfahren. Man kenn - den Funkionswer von u in : u( ) = u, - die Ableiung von u in : u ( ) = f(, u( )). Die Idee beseh nun darin, in Richung dieser Ableiung bis zu gehen, wobei man den Funkionswer auf dieser Geraden als Approimaion für u( ) nimm u h ( ) := u( ) + hf(, u( )), siehe Abbildung.. Dabei mach man im allgemeinen einen Fehler : u h ( ) u( )! y h ( ) y( ) Abbildung.: Prinzip des eplizien Euler Verfahrens. Man fähr nach dem gleichen Prinzip for und erhäl das eplizie Euler Verfahren u h ( ) = u( ), u h ( i ) = u h ( i ) + hf( i, u h ( i )), i =,..., n +. (.) Ein anderes Verfahren, das sogenanne implizie Euler Verfahren erhäl man, wenn man anselle des Ansieges f( i, u h ( i )) den unbekannen Ansieg f( i, u h ( i )) nimm u h ( ) = u( ), u h ( i ) = u h ( i ) + hf( i, u h ( i )), i =,..., n +. (.) Bei diesem Verfahren muss man zur Berechnung von u h ( i ) i.a. eine nichlineare Gleichung lösen. Das is eurer als das eplizie Euler Verfahren. Aus mahemaischer Sich muss man folgende Fragen zu den Verfahren unersuchen, siehe späere Vorlesungen: - Funkionieren die Verfahren immer? Wenn nich, uner welchen Bedingungen funkionieren sie? - Wie genau sind die Ergebnisse? - Wie schnell sind die Berechnungen? - Wie verändern sich die Ergebnisse, wenn man das Gier veränder? - Gib es bessere Verfahren (genauer auf dem gleichen Gier bei vergleichbarem Aufwand)? 8

8 Beispiel. Wir berachen eine Gleichung vom Typ (.) u () = + u (), y() = in [, ]. Der Ieraionsschri beim eplizien Euler Verfahren laue und beim implizien Euler Verfahren u h ( i ) = u h ( i ) + h ( i + (uh ( i )) ) u h ( i ) = u h ( i ) + h ( i + (uh ( i )) ). In jedem Schri des implizien Euler Verfahrens muss man eine quadraischen Gleichung lösen = h(u h ( i )) u h ( i ) + ( u h ( i ) + h i ). MATLAB DEMO.. eplizies Euler Verfahren implizies Euler Verfahren Abbildung.6: Approimaion der Lösung von Beispiel. in [, ], h =... Fazi Die Modellierung von Vorgängen aus der Naur führ im allgemeinen auf Gleichungen, bei denen man Funkionen zu berechnen ha. Diese Gleichungen enhalen Ableiungen oder auch Inegrale der gesuchen Funkionen und sind of nichlinear. Im allgemeinen wird man keine analyische Lösung finden können. Zur Approimaion der Lösung kann man nur numerische Verfahren verwenden. Dafür muss man geeignee Algorihmen enwickeln (siehe zum Beispiel Vorlesung Prakische Mahemaik) und diese Algorihmen auf Compuern implemenieren. Die Implemenierung erfolg uner Verwendung von Programmiersprachen, mi denen geeignee Programme geschrieben werden. Die Einführung in die Programmierung is der Haupbesandeil dieser Vorlesung. 9