Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen

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Clara Hartmann
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1 13. Großübung Anfangswerprobleme gewöhnlicher Differenialgleichungen gesuch: mi T und y () = f(, ), y( ) = y (1) y( j+1 ) = y( j ) + j+1 j f(s, y(s)) ds () Idee: Erseze Inegral durch Quadraurformel Näherungen y j y( j ). Beispiele: h := j+1 j = T, n j = + jh (äquidisan), nur Einzelschriverfahren. Euler explizi ( Euler vorwärs ): y j+1 = y j + h f( j, y j ) k 1 linksseiige Recheckregel lineare Konvergenz: y n y( n ) = O(h) Euler implizi ( Euler rückwärs ): y j+1 = y j + h f( j+1, y j+1 ) k 1 1

2 Abbildung 1: Richungsfeld: Zu jedem Paar (, ) exisier ein Funkionswer f, der mi der Ableiung dargesell is. rechsseiige Recheckregel lineare Konvergenz: y n y( n ) = O(h) Euler verbesser: y j+1 = y j + h f( j + h, yj + h f( j, y j )) } {{ k 1 } k explizie Mielpunksregel quadraische Konvergenz: y n y( n ) = O(h ) Trapezregel: ( 1 y j+1 = y j + h f( j, y j ) + 1 ) f( j+1, y j+1 ) k 1

3 Abbildung : Richungsfeld: Zu den Sarweren =, =.5, = und =.5 sind die Lösungen der DGL y () = f(, ) eingezeichne. Trapezregel quadraische Konvergenz: y n y( n ) = O(h ) Allgemeinerer Ansaz (in der Veransalung nich näher berache), Runge-Kua Verfahren: y j+1 = y j + h m γ l k l, l=1 γ l : Quadraurgewiche, k l : Seigung an Zwischenselle j m k i := f( j + α i h, y j + h β il k l ), l=1 α i : Zwischensellen, β il : Gewichung der Seigungen 3

4 Beispiel 1 y () = f(, = 1, y( = = ) = y :=, y( = T := 1) =? Abbildung 3: Richungsfeld zu Beispiel 1 mi analyischer Lösung Wählen jez n := Schrie, d.h. h := T = 1. n Zu diesem Beispiel exisier die analyische Lösung = 1 + 1, d.h. es gil 1+ y( 1) = 5 bzw. y(1) = 3 3 Euler explizi: y( 1 = + h) y 1 = y + hf(, y ) = = 3 y( = + h) y = y 1 + hf( 1, y 1 ) = = 4 3 4

5 Euler implizi: Auflösen nach y j+1 : y j+1 = y j + hf( j+1, y j+1 ) = y j + h 1 yj j+1 (1 + h 1 + j+1 )y j+1 = y j + y j+1 = (1 + j+1)y j + h 1 + j+1 + h h 1 + j+1 y( 1 = + h) y 1 = (1 + 1)y + h h y( = + h) y = (1 + )y 1 + h h = (1 + 1 ) = (1 + 1) = 7 4 = 8 5 Verbesserer Euler (explizi): =:y j+ 1 {}}{ y j+1 = y j + h f( j + h, y j + h f( j, y j )) =:k j 1 =:k j 5

6 .5 ( 1,y 1 ) ( 1,y 1 ) (,y ) Abbildung 4: Richungsfeld zu Beispiel 1, exake Lösung zu Sarwer = (grün, gepunke) und zwei Schrie mi dem explizien Euler-Verfahren (ro, durchgezogen), bzw. mi dem implizien Euler-Verfahren(blau, gesrichel). k 1 1 = f(, y ) = = y 1 = y + h k1 1 = () = 7 4 k 1 = f( + h, y ) = = y( 1 = + h) y 1 = y + hk 1 = + 1 ( 3 5 ) = 17 1 k1 = f( 1, y 1 ) = = 7 15 y 3 = y 1 + h k 1 = ( 7 15 ) = 19 1 = 1 3 y( = + h) y = y 1 + hk = ( 3 ) = 3 15 = 3 6 k = f( 1 + h, y 3 ) =

7 Abbildung 5: Richungsfeld zu Beispiel 1, exake Lösung zu Sarwer = (grün, gepunke) und zwei Schrie mi dem verbesseren Euler-Verfahren (ro, durchgezogen). Zunächs wird ein halber Schri (grau, gesrichel) durchgeführ, um eine bessere Approximaion der Ableiung zu erhalen, dann wird mi dieser (blau, fe) der Gesamschri ausgeführ. 7

8 h = 1 4 h = h = 1 h = Abbildung 6: Vergleich zwischen impliziem/expliziem Euler (oben, blau/ro) und verbesserem Euler (unen). Man beache, dass die Zeischrie so gewähl sind, dass der Aufwand für den explizien Euler und den verbesseren Euler vergleichbar sind. An diesem Beispiel erkenn man, dass das verbessere Euler Verfahren eine höhere Konvergenzordnung (Ordnung zwei) ha. Gewöhnliche Differenialgleichungen höherer Ordnung: Viele DGL-Probleme beinhalen mehr als nur eine Ableiung. Berache man ein Problem der Form y (m) () = g(, y, y,.., y (m) ), T, y( ) = z, y ( ) = z 1,.., y (m) ( ) = z m, 8

9 so läss sich die Differenialgleichung höherer Ordnung in ein Differenialgleichungssysem 1. Ordnung umschreiben: y 1 () := y () := y () = y 1() y 3 () := y () = y (). y m () := y (m) () = y m() g(, y 1,.., y m ) = y m() Sarwere umformen Beispiel : gesuch: y 1 ( ) := z. y m ( ) := z m y 1. y m y 1 y y 3. y m y m ( ) = () = z. z m y y 3 y 4. y m g(, y 1,.., y m ) y (3) () = g(, ) := 6 1 y (1 + ) 3, y() =, y () =, y () = y y y y (T = 1) =? Umschreiben in ein Sysem: Dafür definieren wir Hilfsfunkionen: = f(..) y 1 () := y () := y () = y 1() y 3 () := y () = y () 6 1 y 1 = y () = y 3() (1+) 3 y 1 y y 3 Analyische Lösung: () =. y 1 y y 3 () = y () y 3 () 6 1 y 1 (1+) 3, = , y () = 1 (1 + ), y () = (1 + ), 3 y () = 6 (1 + ), 4 9

10 y y y y Numerische: Wieder n = Schrie h := T n Euler explizi: = 1 (1) = y 1 = y + hf(, y ) = = 1 1 = + h = 1, = 1 + h = 1 y = y 1 + hf( 1, y 1 ) = (1+) (1+ 1 )3 = = y(1) y (3) (1) = 6 1 y 1 (1 + 1) (1 + 1) 3 = 3 8 (zufällig exak) Euler implizi: (I hb j+1 ) =:A =:x y j+1 = y j + hf( j+1, y j+1 ) y j+1 = y j + hc j+1 =:b für lineare DGL = y j + h(b j+1 y j+1 + c j+1 ) Hier ergib sich: B = I hb = 1. Schri( j+1 = 1 ): 1 1, c = 6 (1+) 3 1 h 1 h, hc = 6h (1+) (1+) 3 6h (1+) (1+ 1 )3 (1+ 1 )3 1 Gauss-El. = y 1 =

11 . Schri( j+1 = ): (1+1) 3 (1+1) 3 Gauss-El. = y = y(1) y (3) (1) g(1, y 1) = (1 + 1) 3 =.6545 Bei linearen DGL liefer das implizie Euler-Verfahren in jedem Schri ein lineares Gleichungssysem. Is die DGL nichlinear, so muss ein nichlineares Gleichungssysem gelös werden (s. Fixpunkieraion und/oder Newon-Verfahren), d.h. das Lösen mi implizien Verfahren is ypischerweise erheblich viel aufwändiger. Deswegen werden implizie Verfahren meis nur dann benuz, wenn sie nowendig werden (z.b. seife DGL ). Dies häng of mi der Sabiliä bzw. deren Abhängigkei von der Schriweie h zusammen. Für Deails verweisen wir auf das Buch von Dahmen und Reusken, Kapiel

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