5. Übungsblatt zur Differentialgeometrie

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Franziska Engel
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1 Insiu für Mahemaik Prof. Dr. Helge Glöckner Dipl. Mah. Rafael Dahmen 5. Übungsbla zur Differenialgeomerie (Aufgaben und Lösungen) SoSe Gruppenübung Aufgabe G9 (Submersionen und Unermannigfaligkei) (a) Sei M eine C -Mannigfaligkei und sei f : M R n eine glae Submersion. Zeigen Sie, dass für jeden Punk x R n die Menge f ({x}) leer oder eine glae Unermannigfaligkei von M is. Zeigen Sie, dass φ: R n+ \ {0} R : x x eine Submersion is und folgern Sie mi Teil (a), dass die S n wirklich eine Unermannigfaligkei is. Wir definieren: Dann is N := f ({x}) = g ({0}). g : M R n p f(p) x. Die Funkion g is Verkeung der glaen Submersion f mi dem Diffeomorphismus y y x. Folglich is auch g eine Submersion. Nach dem Saz in der Vorlesung is N eine Unermannigfaligkei von M, wenn es lokal um jeden Punk eine Submersion gib, sodass N die Nullsellenmenge der Submersion is. In dieser Aufgabe sind wir nun im angenehmen Fall, dass wir diese Submersion nich nur lokal, sondern auch global finden können, nämlich die Funkion g. Also is N eine Unermannigfaligkei. Wir berechnen die Richungsableiung von φ am Punk a R n+ \ {0} in Richung v R n+ : φ(a + v) φ(a) = a + v,a + v a,a = a,a + a,v + v,v a,a = a,v + v,v 0 a,v.

2 5. Übung Differenialgeomerie Die lineare Abbildung v a,v is nich null, ha somi mindesens Rang, aber da der Werebereich R eindimensional is, is sie sogar surjekiv. Also is T a φ surjekiv und somi is φ eine Submersion. Nach Teil (a) is die n-sphäre eine glae Unermannigfaligkei. Aufgabe G0 (Immersionen und Unermannigfaligkeien) Sei M eine m-dimensionale C -Mannigfaligkei und N M eine n-dimensionale Unermannigfaligkei. Sei weierhin U R n offen und h: U M eine glae injekive Immersion, sodass h(x) N für alle x U gil. Zeigen Sie, dass h(u) offen in N is und dass ein C -Diffeomorphismus is. U h(u) N : x h(x) Lösung: Aus der Vorlesung is bekann, dass eine Abbildung in eine Unermannigfaligkei genau dann gla is, wenn sie als Abbildung in die große Mannigfaligkei gla is. Also is h: U N : x h(x) eine glae Abbildung. (Die Unerscheidung h und h soll nur darauf hinweisen, dass sie unerschiedliche Werebereiche haben) Sei a U. Dann is h(a) = h(a) N. Der Tangenialraum T h(a) N kann als Unervekorraum des Tangenialraums T h(a) M aufgefass werden. Weil h: U M eine Immersion is, is die Tangenialabbildung T a h: R n T h(a) M injekiv. Dies implizier sofor, dass auch die Tangenialabbildung T a h: R n T h(a) N injekiv is. Aus der Gleichhei der Dimension (Hier benuzen wir nun endlich, dass dim N = dim R n ) folg, dass diese Abbildung auch bijekiv is und somi h: U N eine éale Abbildung is. Also ein lokaler Diffeomorphismus. Also exisier eine Umgebung V von a, sodass h(v ) offen in N is. Weil dies für jedes a U simm, is die Menge h(u) als Vereinigung von lauer offenen Umgebungen selbs offen in N. Also is h ein lokaler Diffeo von U nach h(u) N. Aus der Injekiviä von h (auch die muss ja irgendwo benuz werden) folg schließlich auch, dass h ein (globaler) Diffeo is.

3 5. Übung Differenialgeomerie Aufgabe H9 (Topologie) Hausübung (a) Gegeben opologische Räume X,Y,Z und seige Abbildungen f : X Y und g: Y Z, sodass g f eine opologische Einbeung is. Zeigen Sie, dass f eine opologische Einbeung is. Zeigen Sie, dass f : [0,[ C : e πi seig und injekiv is, aber keine opologische Einbeung. Wir zeigen zuers: f is injekiv: f(x) = f(y) = g(f(x)) = g(f(y)) = g f(x) = g f(y) = x = y. Wir zeigen nun: f is offen aufs Bild: Sei dazu U X eine offene Teilmenge. Zu zeigen is, dass f(u) offen in f(x) Y is. Wir wissen, dass g f eine opologische Einbeung is. Also is g f offen aufs Bild. Daraus folg, dass g f(u) offen in g f(x) is. Also exisier eine offene Teilmenge V Z mi g f(u) = V g f(x). Nach Voraussezung is g: Y Z seig, also is g (V ) offen in Y. Wenn wir diese in Y offene Menge mi dem Unerraum f(x) schneiden, erhalen wir, dass f (V ) f(x) offen in f(x) is. Mengenheoreisches Rumgerechne zeig nun, dass f (V ) f(x) = f(u) is. Die Abbildung f is nur eine Einschränkung der seigen Funkion R C : e πi auf die Teilmenge [0,[ und somi seig. Injekiv is sie, weil aus e πi = e πis immer folg, dass s Z. Weil aber s <, muss s = sein. Bleib die Frage nach der Einbeung: Sei U := ], [ [. Dann is U offen in R. Also is U [0,[= 0, [ offen in [0,[. Ich behaupe nun, dass f(u [0,[) aber nich offen in S = f([0,[) is. Wenn f ([ 0, [) in S offen wäre, dann gäbe es eine kleine Umgebung um f(0) = in S, die vollkommen in f ([ 0, [) ([ [) lieg. Dies is aber nich der Fall, weil f 0, ausschließlich Punke aus dem oberen Halbkreis enhäl. Die Punke e πiε sind nich im Bild von U für alle kleinen ε > 0. Aufgabe H0 (Lineare Algebra) (a) Zeigen Sie, dass de: Gl n (R) R eine Submersion is. Zeigen Sie, dass die spezielle lineare Gruppe Sl n (R) := { A R n n : dea = } eine Unermannigfaligkei der Gl n (R) is. 3

4 5. Übung Differenialgeomerie (c) Welche Dimension ha der reelle Vekorraum Sym n (R) := { A R n n : A = A }? (d) Zeigen Sie, dass die glae Abbildung Gl n (R) Sym n (R) : A A A eine Submersion is. (e) Zeigen Sie, dass die orhogonale Gruppe } O n (R) := {A R n n : A A = n n eine Unermannigfaligkei der Gl n (R) is. Es gib viele Mehoden, dies zu zeigen. Die kürzese geh so: Sei A Gl n (R). Dann ensprich T A de der folgenden linearen Abbildung: R n n de(a + B) de(a) R : B lim, 0 die jeder Marix B, die Richungsabbleiung von de am Punk A in Richung B zuweis. Wir müssen nun zeigen, dass diese lineare Abbildung surjekiv is. Weil der Werebereich eindimensional is, genüg es zu zeigen, dass diese Abbildung nich Null is, d.h. wir müssen nur eine einzige Marix B R n n finden, sodass die dazugehörige Richungsableiung nich null is. Wählen wir nun B := A. Das mach die Rechnung einfacher: weil A Gl n (R) is. Die Menge de(a + A) de(a) ( + ) n de(a) de(a) lim = lim 0 0 ( + ) n = lim de(a) 0 = n de(a) 0, Sl n (R) = de ({}) is eine Unermannigfaligkei nach Aufgabeneil (a), zusammen mi Aufgabe (G9a). (c) Bezeichne e i,j R n n diejenige Marix, die an der Selle (i,j) eine und sons überall nur Nullen sehen ha. Dann is die Menge {e i,i : i {,...,n}} {e i,j + e j,i : i {,...,n};i < j} eine Basis des R-Vekorraums Sym n (R). 4

5 5. Übung Differenialgeomerie Folglich ha dieser Raum Dimension n + n(n ) = n(n+). (d) Wir nehmen eine Marix A Gl n (R) und berechnen die Richungsableiung von A in Richung einer Marix B R n n : (A + B) (A + B) A A = A A + A B + B + B B A A = A B + B A + B B 0 A B + B A. Wir müssen nun zeigen, dass die lineare Abbildung R n n Sym n (R) B A B + B A surjekiv is. Sei dazu C Sym n (R) eine beliebige symmerische Marix. Seze B := (A ) C. Man beache, dass dies möglich is, weil A inverierbar is. Wenn wir nun nachrechnen, ergib sich, dass (e) Sei die Abbildung aus Teil (d). Dann is die Menge A B + B A = A ( ) (A ) C + (A ) C A = ( A A ) C + C A A = ( ) C + C }{{} = C. =C f : Gl n (R) Sym n (R) : A A A O n (R) = f ({ n n }) is eine Unermannigfaligkei nach Aufgabeneil (d), zusammen mi Aufgabe (G9a). 5

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