Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Transkript

1 Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor an diese Kurve is T = γ() r = r h und seine Bogenlänge is π s(γ) = γ() π d = r + h d = π r + h r sin() Im Spezialfall h = is γ() = r cos() und wir haben einen Kreis mi Mielpunk M = und Radius r. Wir finden hier den wohlbekannnen Kreisumfang πr. Grundsäzlich is es so, dass die Schraubenlinie auf einer Zylinderfläche lieg, deren Grundfläche den Radius r ha. Sell man sich die Zylinderfläche abgewickel vor, so erhäl man ein Recheck mi den Seienlängen πr und πh. Beginn man die Zylinderfläche an der richigen Selle abzuwickeln, so ensprich die Kurve γ() auf dem Recheck der Diagonalen und ihre Länge läss sich mi Hilfe des Sazes von Pyhagoras berechnen. Aufgabe 6: Zeigen Sie: Für eine zweimal differenzierbare Kurve x() : [a, b] R 3 läss sich die Absolukrümmung miels berechnen. k() = ẋ() 3 ẋ() ẍ() Tipp: Zeigen Sie k() = κ(), wobei κ() durch die Formel in der Vorlesung gegeben is. Verwenden Sie eine geeignee Eigenschaf des Kreuzprodukes.

2 Lösung: Aus der Vorlesung wissen wir ẋ() ẍ() = ẋ() ẍ() (ẋ() ẍ()) und diese Eigenschaf wollen wir nuzen, um die Gleichhei von k() und κ() zu zeigen. κ() = k() ẋ() ẋ() ẍ() (ẍ() ẋ()) ẋ() = ẋ() 3 ẋ() ẍ() ẋ() ẋ() ẍ() (ẍ() ẋ()) ẋ() = ẋ() ẍ() ẋ() ẋ() ẍ() (ẍ() ẋ()) ẋ() = ẋ() ẍ() ẋ() ( ẋ() ẍ() ẋ() (ẍ() ẋ()) ) = ẋ() ẍ() (ẋ() ẍ()) ẋ() ẍ() (ẋ() ẍ()) = ẋ() ẍ() (ẋ() ẍ()) Aufgabe 6: Berachen Sie die durch X : (, π) R R 3 Lösung: a) Mi (s, v) X(s, v) = paramerisiere Fläche. sin s + v sin s a) Zeigen Sie, dass es sich um das einschalige Drehhyperboloid mi der Gleichung x +y z = handel und ferigen Sie eine Skizze zur Veranschaulichung der Fläche an. b) Zeichnen Sie die beiden Kurven (z.b. für v =, ±, ± und s =, π, π, 3π ) γ (s) := X(s, v ) = γ (v) := X(s, v) = in Ihre Skizze. v sin s sin s + v v v sin s sin s + v v, v = cons R, s = cons (, π). c) Berechnen Sie die Absolukrümmung der beiden Kurven. x = v sin s y = sin s + v z = v

3 ergib sich x + y z = ( v sin s) + (sin s + v ) v = cos s v sin s + v sin s + sin s + v sin s + v cos s v = + v v = Beache: x + y z = z = x + y z = ± x + y. b) γ (s) = X(s, v ) = Mielpunk M = v γ (s) γ (v) = X(s, v) = Anfangspunk A = sin s + v sin s und Radius r = + v : v sin s sin s = + v v sin s sin s + v sin s beschreib einen Kreis mi = + v beschreib eine Gerade mi für v = und Richungsvekor die auf obigem einschaligen Drehhyperboloid lieg. c) Die Absolukrümmung κ (s) von γ (s) ergib sich als κ (s) = + v. sin s,

4 Denn: (s) = sin s v v sin s, (s) = (sin s + v sin s + v cos s + cos s v sin s + v sin s) / = + v, 3 (s) 3 = + v, + v sin s γ (s) = sin s v, (s) γ (s) = ( sin s v )( sin s v ) ( + v sin s)( v sin s) = + v, (s) γ (s) = + v, κ (s) = (s) γ (s) = + v (s) 3 ( + v) =. 3/ + v Bemerkung: Dies solle auch so sein, da ein Kreis die Krümmung κ = Radius ha! Die Absolukrümmung κ (s) von γ (s) laue demensprechend κ (v). Anschaulich is das klar, da γ (s) eine Gerade beschreib! In Formeln: (v) = γ (v) = (v) γ (v) = κ (v) =! sin s = konsaner Vekor!

5 Beache: (v) = >! Aufgabe 6: Berachen Sie die durch X : [, π) [, ] R 3 paramerisiere Fläche. (u, v) X(u, v) = cos u sin u v a) Zeigen Sie, dass es sich um den Drehzylinder mi der Gleichung x + y = handel und ferigen Sie eine Skizze zur Veranschaulichung der Fläche an. b) Zeichnen Sie die Kurven γ () := X(, ) = γ () := X(, ) = γ 3 () := X(, ) =, in Ihre Skizze. Um welche Kurven (auf der Fläche) handel es sich?, c) Berechnen Sie i (), γ i () und i () γ i () für i =,, 3. d) Zeigen Sie, dass die Vekoren N () := N () := N 3 () :=,, Lösung: für alle [, π) orhogonal zu γ i (), i =,, 3, sind und, dass gil N i () is orhogonal zu γ i () γ i () für i =,, 3. Versuchen Sie sich die Siuaion in einer Skizze zu veranschaulichen. a) Drehzylinder mi x + y = und Höhe h = :

6 Mi x = cos u, y = sin u ergib sich v [, ] h =. x + y = cos u + sin u = b) γ () = X(, ) = beschreib eine Gerade mi Anfangspunk A = = + (für = ) und Richungsvekor = X, welche ganz auf dem Drehzylinder lieg. Es handel sich um eine Manellinie. γ () = X(, ) = beschreib einen Kreis mi Mielpunk M = 5 und Radius r =, welcher ganz auf dem Drehzylinder lieg. Es handel sich um einen Breienkreis des Drehzylinders in der Höhe h = z =. γ 3 () = X(, ) = beschreib eine Schraubenlinie, die auf dem Drehzylinder lieg. c) = =, γ =, γ γ = sin() cos() cos(), γ = sin(), γ γ =

7 3 = sin() cos() cos(), γ 3 = sin(), γ 3 γ 3 = sin() cos() d) N () () = N () ( () γ ()) = N () () = N () ( () γ ()) = N 3 () 3 () = N 3 () ( 3 () γ 3 ()) = = N! = N ( γ )! = N! = N ( γ )! = N 3 3! = N 3 ( 3 γ 3 )!