Hauptachsentransformation

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Hauptachsentransformation"

Transkript

1 Haupachsenransformaion Erinnerung: A M n is genau ann nich inverierbar, wenn es ein x R n, x gib, mi A x. Definiion. Sei A M n eine Marix. Ein Vekor v R n, v heiß Eigenvekor von A zum Eigenwer λ R, wenn gil: A v λ v Bemerkung: Exisier so ewas, so muß gelen: A λe v mi v. D.h. aber, aß ie Marix nich inverierbar is, also ea λe Bemerkung: Is v Eigenvekor einer Marix A zum Eigenwer λ, so is auch v Eigenvekor zum Eigenwer λ für alle Skalare. Insbesonere gib es zu jeem Eigenwer einen Einheisvekor er Eigenvekor zu iesem Eigenwer is. Grun: A v A v λ v λ v Definiion: Der Ausruck ea λe heiß as charakerisische Polynom von A. Seine Nullsellen sin also genau ie Eigenwere von A. Definiion: Eine Marix A M n heiß symmerisch, wenn A A gil. Sie heiß orhogonal, wenn A 1 A gil. Saz: Für eine Marix A M n sin äquivalen: 1 A is symmerisch A v w v A w für alle v, w R n Grun: 1 : A v w v A w v A w 1: Gil für alle v un w, so speziell für v e i un w e j. Beie Seien ausgerechne sin: e i A e j e i a j a ij un A e i e j a i e j a ji Bemerkung:Für eine Marix A M n sin äquivalen: 1 A is orhogonal Die Spalen a 1,..., a n bilen eine Orhonormalbasis es R n,.h.: a i a j { für i j 1 für i j Grun: Übung

2 a b Beispiel: Sei A b c a λ b ea λe e b c λ Die Nullsellen hiervon sin M symmerisch. Dann is a λc λ b λ a + cλ + ac b λ 1, a + c ± a + c 4 ac + b a + c ± a c + 4b Bemerkung: Is b, so sin λ 1 un λ verschieen. Saz: Sei A eine symmerische n n Marix, ann sin Eigenvekoren zweier verschieener Eigenwere orhogonal zueinaner. Grun: Seien λ 1 λ zwei Eigenwere von A mi zugehörigen Eigenvekoren v 1 un v. Es is λ 1 v 1 v A v 1 v v 1 A v v 1 A v v 1 λ v λ v 1 v Also is λ 1 λ v }{{} 1 v Also sehen v 1 un v senkrech aufeinaner. Die Gram-Schmi-Orhonormalisierung: Is v 1,..., v n R n eine Basis, so bilen ie Vekoren v 1 : v 1,..., v k k : v v k v j k v j1 j j v v j nach Normierung eine Orhonormalbasis,.h. eine Basis für ie zusäzlich gil: v i v j für i j un v i v i 1 für alle i Die Vekoren sehen also alle paarweise senkrech aufeinaner un haben ie Länge eins. Grun: Nachrechnen Saz: Für reelle Marizen sin äquivalen: i Jee symmerische Marix is orhogonal iagonalisierbar

3 ii Jee symmerische Marix is iagonalisierbar iii Jee symmerische Marix ha einen Eigenwer Grun: Klarerweise gelen ie Folgerungen i ii iii iii i: Sei A eine reelle, symmerische n n Marix. Dann ha A einen Eigenwer λ mi zugehörigem Eigenvekor v 1, en wir als normier annehmen. Diesen ergänzen wir zu einer Orhonormalbasis v 1,..., v n von R n Gram-Schmi Orhogonalisierung. Dann is P : v 1,..., v n eine orhogonale Marix. Es sei B : P 1 AP Da P orhogonal is, is B wieer symmerisch. Es is P e i v i, also is ie erse Spale von B : B e 1 P 1 AP e 1 P 1 A v 1 P 1 λ v 1 λp 1 v 1 λ e 1 Daraus ergib sich wegen er Symmerie von B: B λ.... B mi einer symmerischen n 1 n 1 Marix B. Per Inukion gib es eine orhogonale n 1 n 1 Marix R, mi R 1 B R iagλ,..., λ n : D Es sei R : R Dann is R PR 1 APR R 1 BR 1... λ.... B. R λ.... D Saz Haupachsenransformaion: Für eine symmerische n n Marix A gib es eine orhogonal Marix P un eine Diagonalmarix D iagλ 1,..., λ n, mi A PDP

4 Grun: Wir berachen zunächs en Fall n. Dann is a b A b c Der Fall b is unineressan, a ann A bereis in Diagonalgesal is un ie obige Aussage für P E richig is. Is b, so haben wir nach er obigen Bemerkung zwei orhogonale Eigenvekoren v 1 un v, vo enen wir annehmen, aß sie normier sin. Wir sezen P : v 1, v. Dann gil: 1 AP A v 1, v A v 1, A v 1 v 1, v v 1, v Außerem is P orhogonal, enn es is P P v 1 v v v 1, v 1 v 1 v 1 v v v 1 v v 1 also ie Behaupung für en Fall n v1 v 1 v v v 1 > v 1 P 1 1 Für en Inukionsschri nehmen wir an, as er Saz richig is für alle symmerischen n 1 n 1 Marizen. Wir schreiben ie Marix A wie folg als Blockmarix auf: A b b mi einer symmerischen n 1 n 1 Marix A, b R n 1 un R. 1.Fall: Is, so efinieren wir x : 1 b. Wir haben nun: E n 1 x A b 1 b A + x b b + x b A + x b + b x + x x b + x x 1 E n 1 E n 1 x 1 b + x Die leze Marix ha ie Form B mi B B. Also is B QDQ mi einer Diagonal marix D un einer orhogonalen Marix Q. Dann haben wir aber: Q 1 B Q 1 D

5 Dies zeig also, aß A iagonalisierbar is. Aus em obigen Saz erhalen wir, aß ann aber A sogra orhogonal iagonalisierbar is..fall: : Sei b i, ann y :,..., δ,... δ an er i en Selle. Dann is y 1 E n 1 A b b En 1 y 1 δ a ii + δb i Dann wähle δ mi δ a ii + δb i un wir sin wieer in Fall 1. 1 Beispiel: A. Das charakerisische Polynom von A is χ 1 A x x 1 eerminan x 1. Die Eigenwere sin also λ ±1. 1 x Die Eigenvekoren ergeben sich aus x y un Das liefer ie normieren Eigenvekoren v zum EW 1. Also is 1 P Es is PP 1 un P AP x y zum EW 1 un v Definiion: Eine symmerische n n Marix A heiß posiiv/negaiv semi efini, falls v A v > / < / für alle Vekoren v R n is. Folgerung: Eine symmerische n n Marix is genau ann posiiv efini, wenn alle Eigenwere posiiv sin. Saz Polarzerlegung: Is A eine inverierbare Marix, so gib es eine eineuig besimme, orhogonale Marix O un eine eineuig besimme symmerische, posiiv efinie Marix Σ, mi A Σ O Grun : 1 Exisenz Die Marix A A is symmerisch A A A A A A un posiiv efini v A A v A v A v y für y : A v. gil nur für v A 1 y. Daher gib es nach em Saz über ie Haupachsenransformaion eine orhogonale Marix P un eine Diagonalmarix D, mi A A P D P

6 Mi D iagλ 1...., λ n, wobei λ i > für alle i. Seze D : iag λ1,..., λ n un Σ : P D P un O : Σ 1 A Dann is Σ symmerisch un posiiv efini un O O Σ 1 A A Σ 1 P D 1 P P D P P D 1 P E Definiion: Für eine posiiv efinie, symmerische Marix efinieren wir Σ : P D P Diese is wegen P DP P DP auch symmerisch.. Eineuigkei kann beim ersen Suium überlesen weren Eine Diagonalieserung einer Marix is im wesenlichen eineuig: Sin P D 1 P un P D P zwei Diagonalisierungen, so sehen in beien Diagonalmarizen ie Eigenwere auf er Diagonalen, Sie können sich also nur urch ie Reihenfolge unerscheien. Somi sin auch ie Wurzeln von posiiv efinien Marizen eineuig. Is A Σ O eine Polarzerlegung, so is A A Σ O O 1 Σ Σ. Is A Σ O eine weiere Polarzerlegung, so gil analog A A Σ, un wegen er Eineuigkei er Wurzeln folg: Σ Σ un araus O O.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwere un Eigenvekoren Vorbemerkung: Is ie n n Marix inverierbar, so ha as lineare Gleichungssysem A x b für jees b genau eine Lösung, nämlich x A b. Grun: i A x A A b b, ii Is y eine weiere Lösung,

Mehr

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen 58 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Die Unersuchung der Normalformen von Marizen soll nun auf die Lösung von Differenialgleichungssysemen angewende

Mehr

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Insiu für Mahemaik Winersemeser 0/3 Universiä Würzburg 0 Februar 03 Prof Dr Jörn Seuding Dr Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Aufgabe : (0 Punke) Zeigen

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach)

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach) Übungen zur Einführung in ie Physik Nebenfach --- Muserlösung --- Aufgabe: Konensaorenlaung Ein mi Glimmer ε r = 8 gefüller Plaenkonensaor mi er Fläche A=6 cm un einem Plaenabsan = 5 μm enlä sich wegen

Mehr

Freie Schwingung - Lösungsfälle

Freie Schwingung - Lösungsfälle Freie Schwingungen Seie von 6 Peer Schüller peer.schueller@bbw.gv.a Freie Schwingung - Lösungsfälle Maheaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Differenialgleichung.Ornung i onsanen Koeffizienen, Schwingung

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt Prof Dr M Gerds Dr A Dreves J Michael Winerrimeser 6 Mahemaische Mehoden in den Ingenieurwissenschafen 4 Übungsbla Aufgabe 9 : Mehrmassenschwinger Berache wird ein schwingendes Sysem aus Körpern der Masse

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012 Technische Universiä München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis für Physiker Lösung Monag SS 0 Aufgabe Gradien und Tangene ( ) Besimmen Sie zur Funkion f(x, y) = x y + xy + y die pariellen Ableiungen,

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 4

Lösungen zu Übungsblatt 4 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh

Mehr

LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2017/2018. Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2017/2018. Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen LGÖ Ks M 12 Schuljahr 217/218 Zusammenfassung: Asände, Winkel und Spiegelungen Inhalsverzeichnis Asände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experen 1 Asände Asand Punk Punk: Schreiweise: Den Asand zweier Punke

Mehr

Deutschsprachiger Wettbewerb 2009 / 2010 Mathematik Jahrgang 2 2. Runde

Deutschsprachiger Wettbewerb 2009 / 2010 Mathematik Jahrgang 2 2. Runde Deuschsprachiger Webewerb 009 / 00 Mahemaik Jahrgang. Rune Liebe Schülerin, lieber Schüler, iese Rune es Webewerbs ha 0 Fragen, Sie sollen von en vorgegebenen Lösungsmöglichkeien immer ie einzige richige

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla 3 7.. Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor

Mehr

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2)

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2) Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 In iesem Teil er Reihe wollen wir anhan eines Zahlenbeispiels en Deomaionsgraienen als zenrale Größe zur Beschreibung er Deormaion in er Kinemaik

Mehr

Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2010

Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2010 Prüfung Grunprinzipien er Versicherungs- un Finanzmahemaik Aufgabe : (5 Minuen a Gegeben sei ein einperioiger Sae Space-Mark mi rei Zusänen, er aus rei Werpapieren besehe, einer sicheren Anlage zu % sowie

Mehr

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit Moivaion Finanzmahemaik in diskreer Zei Eine Hinführung zu akuellen Forschungsergebnissen Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg Prof. Dr. Thorsen Schmid Abeilung für Mahemaische Sochasik Freiburg, 22. April

Mehr

HTL Kapfenberg pc_reifeprüfungsaufgaben_ma_11_bsp.31.mcd Seite 1 von 7

HTL Kapfenberg pc_reifeprüfungsaufgaben_ma_11_bsp.31.mcd Seite 1 von 7 HTL Kapfenberg p_reifeprüfungsaufgaben_ma Bsp.3.m Seie von 7 Angaben zu Aufgabe 3: Ein shwingfähiges mehanishes Sysem is mi einem geshwinigeisproporionalem Dämpfer ausgesae. Folgene in iesem Zusammenhang

Mehr

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen Differenzieren von Funkionen zwischen Banachräumen Ingmar Gezner In dieser Seminararbei wollen wir das Differenzieren auf Funkionen zwischen Banachräume verallgemeinern. In unendlichdimensionalen Räumen

Mehr

Zwischenwerteigenschaft

Zwischenwerteigenschaft Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

6 Lineare Kongruenzen

6 Lineare Kongruenzen 6 Lineare Kongruenzen Sei m > 0 un a, b beliebig. Wir wollen ie Frage untersuchen, unter welchen Beingungen an a, b un m eine Zahl x 0 existiert, so aß ax 0 b mo m. Wenn ein solches x 0 existiert, sagen

Mehr

Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 2008/09

Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 2008/09 1 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 Teil 1: Multiple Choice (1 Punkte Für ie ganze Klausur bezeichne K einen beliebigen Körper. 1. Welche er folgenen Aussagen sin ann un nur ann erfüllt,

Mehr

Die Lösungen der Übungsaufgaben werden durch folgendes Lemma etwas vereinfacht:

Die Lösungen der Übungsaufgaben werden durch folgendes Lemma etwas vereinfacht: Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbe Fachgebie Theoreische Informaik, TU Ilmenau Muserlösung zum 2. Übungsbla Auomaenheorie Die Lösungen der Übungsaufgaben werden durch folgendes Lemma ewas vereinfach:

Mehr

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.

Mehr

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung 4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmerie und Verschiebung Aufgabe : Symmerie (6) Unersuche die folgenden Funkionen auf Punk- oder Achsensymmerie: a) f() = 6 6 + 4 + 8 + 7 b) f() = 8 5 5 + 5 c) f() = (a 5 b +

Mehr

4. Erhaltungssätze für Masse und Impuls

4. Erhaltungssätze für Masse und Impuls 4. Erhalngssäze für Masse n Impls Wie ie klassische Mechanik basier ie Srömngsmechanik af er Erhalng von Masse Impls Energie Die Erhalngsgeseze gelen für as infiniesimal kleine Flielemen n für reiimensionale

Mehr

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft.

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft. Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Die Lge einer Ebene E im Rum is durch drei Größen eindeuig fesgeleg: X. Einen Punk A, durch den die Ebene verläuf..

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS 015 17.05.015 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla

Mehr

1 Lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen

1 Lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen Christina Schinler Karolina Stoiber Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 2013 A 1 Lokale Umkehrbarkeit un implizite Funktionen In iesem Kapitel weren Kriterien vorgestellt, wann eine Funktion umkehrbar

Mehr

Berechnungen am Wankelmotor

Berechnungen am Wankelmotor HTL Saalfelen Wankelmoor Seie von 7 Schmihuber Heinrich heinrich_schmihuber@homail.com Berechnungen am Wankelmoor Link zur Beispielsübersich Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Linieninegral,

Mehr

10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Mhemik für Physiker III, WS 212/213 Diensg 5.2 $Id: ode.ex,v 1.1 213/2/6 13:25:6 hk Exp $ $Id: picrd.ex,v 1.3 213/2/6 1:22:12 hk Exp $ 1 Gewöhnliche Differenilgleichungen 1.8 Inhomogene linere Differenilgleichungen

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppiz, Dr. I. Rbak 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mahemaik Sommersemeser 9 Prof. Dr. M. Sroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Konvergenzverhalen

Mehr

15 Differentialrechnung in R n

15 Differentialrechnung in R n 36 15 Differentialrechnung in R n 15.1 Lineare Abbilungen Eine Abbilung A : R n R m heißt linear falls A(αx + βy) = αa(x) + βa(y) für alle x, y R n un alle α, β R. Man schreibt oft Ax statt A(x) un spricht

Mehr

Mathematik III. Vorlesung 87. Die äußere Ableitung

Mathematik III. Vorlesung 87. Die äußere Ableitung Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 87 Die äußere Ableitung In ieser Vorlesung weren wir ein neuartiges mathematisches Objekt kennenlernen, ie sogenannte äußere Ableitung.

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser ARBEITSBLATT LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Nachdem wir die Lage weier Ebenen unersuch haben, wollen wir uns nun mi der Lage von drei Ebenen beschäfigen. Anders

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

4. Quadratische Funktionen.

4. Quadratische Funktionen. 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Für jedes * is die Funkion f gegeben durch f (x) = x x + x +, x Ds Schubild von f is K. ( )( ).. (4 Punke) Zeichnen Sie K und K

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel

7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel O. Forster: Einführung in ie Zahlentheorie 7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel 7.1. Definition. Unter einer arithmetischen Funktion versteht man eine Abbilung α : N 1 C. Die arithmetische

Mehr

Esau und Jakob 1 Einführung 2 Situation 2.1 Geschichte 2.2 Geometrische Situation

Esau und Jakob 1 Einführung 2 Situation 2.1 Geschichte 2.2 Geometrische Situation Hans Walser, [546a], [33b] Esau und Jakob Einführung Diese Sudie is ensanden aus meiner eigenen Schwierigkei, mir bei zwei gleichzeiigen Bewegungen den Weg des einen Punkes aus Sich des anderen Punkes

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 4 Gleichgewichte Der Fluss einer Differentialgleichung... 97

Inhaltsverzeichnis. 4 Gleichgewichte Der Fluss einer Differentialgleichung... 97 Inhalsverzeichnis Differenialgleichungen erser Ordnung 5. Allgemeine Definiion und Beispiele... 5.2 Lineare Differenialgleichungen......3 Lösungsmehoden für spezielle Typen von Dgln..Ordnung... 3.3. Die

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge

Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge Insiu für Theoreische Informaik Lehrsuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsbla 4 Lösungsvorschläge Vorlesung Algorihmenechnik im WS 09/10 Problem 1: Flüsse [vgl. Kapiel 4.1 im Skrip] ** Gegeben sei ein Nezwerk

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorihmen II Vorleung am 24.10.2013 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Univeriä de Lande Baden-Würemberg und Algorihmen naionale Forchungzenrum II Wineremeer 2013/2014

Mehr

Grenzwertsätze für Zeitreihen

Grenzwertsätze für Zeitreihen KAPIEL 6 Grenzwersäze für Zeireihen In diesem Kapiel sellen wir wichige Grenzwersäze für saionäre Zeireihen {X n } in diskreer Zei zusammen. Sei µ = E(X ) und ρ(k) = E(X 1 µ)(x 1+k µ) = Cov (X 1, X 1+k

Mehr

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

1 Lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen

1 Lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen Karolina Stoiber Aileen Wolf Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 2016 A 1 Lokale Umkehrbarkeit un implizite Funktionen In iesem Kapitel weren Kriterien vorgestellt, wann eine Funktion umkehrbar ist oer

Mehr

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs Seie von 9 Unerlagen für die Lehrkraf Abiurprüfung 9 Mahemaik, Leisungskurs. Aufgabenar Lineare Algebra/Geomerie ohne Alernaive. Aufgabensellung siehe Prüfungsaufgabe. Maerialgrundlage 4. Bezüge zu den

Mehr

3 Trennungs- und Stützeigenschaften, sowie elementare Hilfssätze

3 Trennungs- und Stützeigenschaften, sowie elementare Hilfssätze U BREHM: Konvegeoetrie 3-1 3 Trennungs- un Stützeigenschaften, sowie eleentare Hilfssätze Zunächst einige Hilfssätze, in enen Begriffe aus er Konveität it topologischen Eigenschaften zusaengebracht weren

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

Fortsetzung eines formellen Zusammenhangs auf G m nach O. Gabber und N. Katz

Fortsetzung eines formellen Zusammenhangs auf G m nach O. Gabber und N. Katz Forsezung eines formellen Zusammenhangs auf G m nach O. Gabber und N. Kaz Diplomarbei von Kay Rülling Universiä Essen 2 Vorab möche ich mich bei Frau Prof. Dr. Esnaul bedanken, uner deren Anleiung diese

Mehr

Stochastische Differentialgleichungen

Stochastische Differentialgleichungen INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007/08 UNIVRSITÄT KARLSRUH Bla 9 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Übungen zur Vorleung Sochaiche Differenialgleichungen Muerlöungen Aufgabe 21: Definieren Sie analog zur d-dimenionalen

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (

Mehr

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird, Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße 11

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße 11 INSIU FÜR NGENDE HYSI hysikalisches rakikum für Suierene er Ingenieurswissenschafen Universiä Hamburg, Jungiussraße 11 elier-ärmepumpe 1 Ziel äleleisung, ärmeleisung un ie Leisungsziffer einer elier-ärmepumpe

Mehr

Polynomfunktionen - Fundamentalsatz der Algebra

Polynomfunktionen - Fundamentalsatz der Algebra Schule / Institution Titel Seite 1 von 7 Peter Schüller peter.schueller@bmbwk.gv.at Polynomfunktionen - Funamentalsatz er Algebra Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polynomfunktionen, Funamentalsatz

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 13 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 13 Wintersemester 2011/2012 Prof Dr O Junge, A Biracher Zenrum Mahemaik - M3 Technische Universiä München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 3 Winersemeser 2/22 Tuorübungsaufgaben (3-3222) Aufgabe T Berachen Sie das Anfangswerproblem

Mehr

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel )

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel ) 1. Übun KW 43) Aufabe 1 M 1. Schwinender Körper ) Ein schwinender Körper ha die Geschwindiei v x ) = v m cosπ ). Er befinde T sich zur Zei 0 = T am Or x 4 0. Geben Sie den Or x und die Beschleuniun a x

Mehr

Grundgebiete der Elektrotechnik II Feedbackaufgabe: Transiente Vorgänge

Grundgebiete der Elektrotechnik II Feedbackaufgabe: Transiente Vorgänge heinisch-wesfälische Technische Hochschule Aachen Insiu für Sromricherechni und Elerische Anriebe Universiäsprofessor Dr. ir. i W. De Doncer Grundgebiee der Eleroechni II Feedbacaufgabe: Transiene Vorgänge

Mehr

1 5. Endliche Körper Situation: Satz: Beispiel: Z iel: Klassifikation endlicher Körper und ihrer Beziehungen.

1 5. Endliche Körper Situation: Satz: Beispiel: Z iel: Klassifikation endlicher Körper und ihrer Beziehungen. 1 5. Enliche Körper Z iel: Klassifikation enlicher Körper un ihrer Beziehungen. 1 5. 1. Situation: K sei eine enliche Erweiterung es Körpers F p = Z/ p, p P, [ K: F p ] = n #( K = p n = : q K ist zyklisch

Mehr

Geckos gehören zur Familie der Schuppenkriechtiere. Sie bevölkern seit etwa 50 Millionen Jahren die Erde und haben sich im Laufe ihrer Entwicklung

Geckos gehören zur Familie der Schuppenkriechtiere. Sie bevölkern seit etwa 50 Millionen Jahren die Erde und haben sich im Laufe ihrer Entwicklung Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik II.2 Geckos LA/AG 2 Geckos gehöre zur Familie der Schuppekriechiere. Sie bevölker

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

und zeigen Sie, dass der Punkt P auf g liegt. (c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und E

und zeigen Sie, dass der Punkt P auf g liegt. (c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und E Übungen zum ABI 8 Geomerie (Lineare Algebra) - Lösung eie von 7 Aufgaben incl Lösungen: Aufgabe G Gegeben sind eine Ebenenscar E :( + ) x+ x + ( ) x+ + = mi, eine Ebene E: x+ x + = und der Punk P( ) (a)

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 c 001 by Rainer Müller - www.emah.de 1 Lösng Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR a Asympoen Senkreche Asympoen Es

Mehr

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten.

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten. T1 I. Theorieeil a) Zur Zei wird ein Pake der Masse dm mi der Geschwindigkei aus der Rakee ausgesoÿen. Newon's zweies Gesez läss sich schreiben als dp d = F p( + ) p() = F d = Av2 d Der Impuls des Sysems

Mehr

10 Der Satz von Fubini

10 Der Satz von Fubini er Satz von Fubini ie Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9. Satz. (Satz von Tonelli Es sei f : d [, + ] messbar. (Aus 8 folgt dann, dass f, f y messbar sind, wobei klar ist, dass f, f y sind.

Mehr

Zu jedem Typ gibt es eine Menge von möglichen Denotationen der Ausdrücke dieses Typs. Diese Menge wird Domäne des betreffenden Typs genannt.

Zu jedem Typ gibt es eine Menge von möglichen Denotationen der Ausdrücke dieses Typs. Diese Menge wird Domäne des betreffenden Typs genannt. 2 Theorie der semanischen Typen 2.2.2 Semanik von TL Menge der omänen Zu jedem Typ gib es eine Menge von möglichen enoaionen der Ausdrücke dieses Typs. iese Menge wird omäne des bereffenden Typs genann.

Mehr

2.4. GAUSSSCHER SATZ π ε 0 r 2. π r 2)

2.4. GAUSSSCHER SATZ π ε 0 r 2. π r 2) 2.4. GAUSSSCHER SATZ 23 2.4 Gaußscher Satz Das Fel einer Punktlaung genügt er Gleichung: E = 1 4 π ε 0 Q r 2 Desweiteren berechnet sich ie Oberfläche einer Kugel, eren Punkte vom Mittelpunkt en Abstan

Mehr

8.1. Das unbestimmte Integral

8.1. Das unbestimmte Integral 8 Das unbestimmte Integral So wie ie Bilung von Reihen, also Summenfolgen, ein zur Bilung er Differenzenfolgen inverser Prozess ist, kann man ie Integration als Umkehrung er Differentiation ansehen Stammfunktionen

Mehr

2) Neoklassisches Wachstumsmodell (ohne technischen Fortschritt)

2) Neoklassisches Wachstumsmodell (ohne technischen Fortschritt) ) Neoklassisches Wachsumsmodell (ohne echnischen Forschri).1) Problemsellung (Arbeismark) Das Problem, das von Solow - dem Begründer der neoklassischen Wachsumsheorie - angegangen wurde, bezog sich auf

Mehr

2. Kinematik. v = a = dx v = dt. 2.1 Ortskurven. x(t) v > 0. Kurve: Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten. v = 0.

2. Kinematik. v = a = dx v = dt. 2.1 Ortskurven. x(t) v > 0. Kurve: Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten. v = 0. . Kinemaik Beschreibun er Beweun on Massenpunken Kure: () > Definiion : : Zei [s] (,y,) : Posiion [m] s : urückeleer We [m] ( ) : Geschwinikei [m/s] a : Beschleuniun [m/s ] is Seiun er Kure: Allemein :

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni.

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni. Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Eigenvektoren

Mehr

2 Multivariate Normalverteilung

2 Multivariate Normalverteilung 2 Multivariate Normalverteilung 2. Multivariate Normalverteilung Definition 2.. Normalverteilung Eine univariat normalverteilte Zufallsvariable X besitzt ie Dichte ) (x µ)2 f (x) = exp ( x R. 2π σ 2σ 2

Mehr

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u

Mehr

Adjungierter Differentialoperator. Verallgemeinter Greenscher Satz

Adjungierter Differentialoperator. Verallgemeinter Greenscher Satz Kapitel 4 Ajungierter Differentialoperator. erallgemeinter Greenscher atz Bei Ranwertproblemen muss as el oer allgemeiner ie unktionen, ie en physikalischen organg beschreiben) im Inneren es Bereiches

Mehr

Kontinuierliche Fourier Transformation

Kontinuierliche Fourier Transformation Koninuierliche Fourier ransformaion f () is eine nichperiodische Funkion. Um die Frequenzen in einem beliebigen Zeisignal zu besimmen, inerpreieren wir die Funkion f () als periodische Funkion mi Periode.

Mehr

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in

Mehr

Semantik. Semantik. Die Sprache der Typtheorie sieht für jeden Typ eine Menge nichtlogischer

Semantik. Semantik. Die Sprache der Typtheorie sieht für jeden Typ eine Menge nichtlogischer Universiy of Bielefeld Beispiele: Prädikaskonsanen (Suden, verheirae, arbeie): Typ ; sie nehmen einen Eigennamen/ein Referenzobjek und liefern einen Saz/einen Wahrheiswer ab. Zweisellige Relaionskonsanen

Mehr

Arbitragefreie Preise

Arbitragefreie Preise Arbiragefreie Preise Maren Schmeck 24. Okober 2006 1 Einleiung P i () Preis von Anleihe i zur Zei, i = 1,..., n x i Anzahl an Einheien der Anleihe i V () = n i=1 x ip i () Wer eines Porfolios mi x i Einheien

Mehr

Erste schriftliche Wettbewerbsrunde. Klasse 7

Erste schriftliche Wettbewerbsrunde. Klasse 7 Erste schriftliche Wettbewerbsrune Die hinter en Lösungen stehenen Prozentzahlen zeigen, wie viel Prozent er Wettbewerbsteilnehmer ie gegebene Lösung angekreuzt haben. Die richtigen Lösungen weren fettgeuckt

Mehr

Mathematische Modelle und numerische Methoden in der Biologie

Mathematische Modelle und numerische Methoden in der Biologie Institut für Angewante un Numerische Mathematik Prof. Dr. Tobias Jahnke, Dipl.-Biol. Michael Kreim Mathematische Moelle un numerische Methoen in er Biologie Sommersemester 2012 5. Übungsblatt Gruppenübung

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Vektorräume: Basen und lineare Unabhängigkeit

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Vektorräume: Basen und lineare Unabhängigkeit TECHNISCHE UNIERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Frierich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 26/7 en Blatt 8.2.26 ektorräume: Basen un lineare Unabhängigkeit Zentralübungsaufgaben

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1. gegeben durch. auf der y-achse und schneidet G

Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1. gegeben durch. auf der y-achse und schneidet G wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Aufgbe Für jedes mi > is die Funkion g gegeben durch x g (x) = e, x Ds Schubild von g is ( Punke) Nennen Sie drei gemeinsme

Mehr

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive

Mehr

Institut für Allgemeine Mechanik der RWTH Aachen

Institut für Allgemeine Mechanik der RWTH Aachen Insiu für Allgemeine Mecanik der RWTH Aacen Prof. Dr.-Ing. D. Weicer 7.Übung Mecanik II SS 7 4.6.7 Abgabeermin 7.Übung:.6.7 4: Ur. Aufgabe Zwei fläcengleice Querscnie a) und b) werden wie dargesell belase.

Mehr

Laplacetransformation in der Technik

Laplacetransformation in der Technik Verallgemeinere Funkionen Laplaceransformaion in der echnik Fakulä Grundlagen Februar 26 Fakulä Grundlagen Laplaceransformaion in der echnik Übersich Verallgemeinere Funkionen Verallgemeinere Funkionen

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und

Mehr

2.2 Rechnen mit Fourierreihen

2.2 Rechnen mit Fourierreihen 2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,

Mehr

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h

Mehr

Technisches Lemma aus der Linearen Algebra

Technisches Lemma aus der Linearen Algebra echnisches Lemma aus er Linearen Algebra Lemma. Sei t A(t) Mat(n, n) eine glatte, matrixwertige Funktion auf em Intervall ( ε,ε), welche A(t) = I erfülle. Dann gilt: t et(a(t)) t=0 = trace(ȧ(0)). Beispiel.

Mehr

Schwache Konvergenz von W-Verteilungen

Schwache Konvergenz von W-Verteilungen Kapitel 6 Schache Konvergenz von W-Verteilungen 6. Schache Konvergenz bz. Verteilungskonvergenz Bezeichne ieer W(B k ) ie Menge aller W-Verteilungen auf er Borel schen Sigma-Algebra B k in R k soie C b

Mehr

Einführung in die theoretische Physik 1

Einführung in die theoretische Physik 1 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 Einführung in ie theoretische Physik 1 Prof. Dr. L. Mathey Dienstag 15:45 16:45 un Donnerstag 1:45 12: Beginn: 23.1.12 Jungius 9, Hörs 2 1 Mathey Einführung in ie

Mehr