Hauptachsentransformation

Transkript

1 Haupachsenransformaion Erinnerung: A M n is genau ann nich inverierbar, wenn es ein x R n, x gib, mi A x. Definiion. Sei A M n eine Marix. Ein Vekor v R n, v heiß Eigenvekor von A zum Eigenwer λ R, wenn gil: A v λ v Bemerkung: Exisier so ewas, so muß gelen: A λe v mi v. D.h. aber, aß ie Marix nich inverierbar is, also ea λe Bemerkung: Is v Eigenvekor einer Marix A zum Eigenwer λ, so is auch v Eigenvekor zum Eigenwer λ für alle Skalare. Insbesonere gib es zu jeem Eigenwer einen Einheisvekor er Eigenvekor zu iesem Eigenwer is. Grun: A v A v λ v λ v Definiion: Der Ausruck ea λe heiß as charakerisische Polynom von A. Seine Nullsellen sin also genau ie Eigenwere von A. Definiion: Eine Marix A M n heiß symmerisch, wenn A A gil. Sie heiß orhogonal, wenn A 1 A gil. Saz: Für eine Marix A M n sin äquivalen: 1 A is symmerisch A v w v A w für alle v, w R n Grun: 1 : A v w v A w v A w 1: Gil für alle v un w, so speziell für v e i un w e j. Beie Seien ausgerechne sin: e i A e j e i a j a ij un A e i e j a i e j a ji Bemerkung:Für eine Marix A M n sin äquivalen: 1 A is orhogonal Die Spalen a 1,..., a n bilen eine Orhonormalbasis es R n,.h.: a i a j { für i j 1 für i j Grun: Übung

2 a b Beispiel: Sei A b c a λ b ea λe e b c λ Die Nullsellen hiervon sin M symmerisch. Dann is a λc λ b λ a + cλ + ac b λ 1, a + c ± a + c 4 ac + b a + c ± a c + 4b Bemerkung: Is b, so sin λ 1 un λ verschieen. Saz: Sei A eine symmerische n n Marix, ann sin Eigenvekoren zweier verschieener Eigenwere orhogonal zueinaner. Grun: Seien λ 1 λ zwei Eigenwere von A mi zugehörigen Eigenvekoren v 1 un v. Es is λ 1 v 1 v A v 1 v v 1 A v v 1 A v v 1 λ v λ v 1 v Also is λ 1 λ v }{{} 1 v Also sehen v 1 un v senkrech aufeinaner. Die Gram-Schmi-Orhonormalisierung: Is v 1,..., v n R n eine Basis, so bilen ie Vekoren v 1 : v 1,..., v k k : v v k v j k v j1 j j v v j nach Normierung eine Orhonormalbasis,.h. eine Basis für ie zusäzlich gil: v i v j für i j un v i v i 1 für alle i Die Vekoren sehen also alle paarweise senkrech aufeinaner un haben ie Länge eins. Grun: Nachrechnen Saz: Für reelle Marizen sin äquivalen: i Jee symmerische Marix is orhogonal iagonalisierbar

3 ii Jee symmerische Marix is iagonalisierbar iii Jee symmerische Marix ha einen Eigenwer Grun: Klarerweise gelen ie Folgerungen i ii iii iii i: Sei A eine reelle, symmerische n n Marix. Dann ha A einen Eigenwer λ mi zugehörigem Eigenvekor v 1, en wir als normier annehmen. Diesen ergänzen wir zu einer Orhonormalbasis v 1,..., v n von R n Gram-Schmi Orhogonalisierung. Dann is P : v 1,..., v n eine orhogonale Marix. Es sei B : P 1 AP Da P orhogonal is, is B wieer symmerisch. Es is P e i v i, also is ie erse Spale von B : B e 1 P 1 AP e 1 P 1 A v 1 P 1 λ v 1 λp 1 v 1 λ e 1 Daraus ergib sich wegen er Symmerie von B: B λ.... B mi einer symmerischen n 1 n 1 Marix B. Per Inukion gib es eine orhogonale n 1 n 1 Marix R, mi R 1 B R iagλ,..., λ n : D Es sei R : R Dann is R PR 1 APR R 1 BR 1... λ.... B. R λ.... D Saz Haupachsenransformaion: Für eine symmerische n n Marix A gib es eine orhogonal Marix P un eine Diagonalmarix D iagλ 1,..., λ n, mi A PDP

4 Grun: Wir berachen zunächs en Fall n. Dann is a b A b c Der Fall b is unineressan, a ann A bereis in Diagonalgesal is un ie obige Aussage für P E richig is. Is b, so haben wir nach er obigen Bemerkung zwei orhogonale Eigenvekoren v 1 un v, vo enen wir annehmen, aß sie normier sin. Wir sezen P : v 1, v. Dann gil: 1 AP A v 1, v A v 1, A v 1 v 1, v v 1, v Außerem is P orhogonal, enn es is P P v 1 v v v 1, v 1 v 1 v 1 v v v 1 v v 1 also ie Behaupung für en Fall n v1 v 1 v v v 1 > v 1 P 1 1 Für en Inukionsschri nehmen wir an, as er Saz richig is für alle symmerischen n 1 n 1 Marizen. Wir schreiben ie Marix A wie folg als Blockmarix auf: A b b mi einer symmerischen n 1 n 1 Marix A, b R n 1 un R. 1.Fall: Is, so efinieren wir x : 1 b. Wir haben nun: E n 1 x A b 1 b A + x b b + x b A + x b + b x + x x b + x x 1 E n 1 E n 1 x 1 b + x Die leze Marix ha ie Form B mi B B. Also is B QDQ mi einer Diagonal marix D un einer orhogonalen Marix Q. Dann haben wir aber: Q 1 B Q 1 D

5 Dies zeig also, aß A iagonalisierbar is. Aus em obigen Saz erhalen wir, aß ann aber A sogra orhogonal iagonalisierbar is..fall: : Sei b i, ann y :,..., δ,... δ an er i en Selle. Dann is y 1 E n 1 A b b En 1 y 1 δ a ii + δb i Dann wähle δ mi δ a ii + δb i un wir sin wieer in Fall 1. 1 Beispiel: A. Das charakerisische Polynom von A is χ 1 A x x 1 eerminan x 1. Die Eigenwere sin also λ ±1. 1 x Die Eigenvekoren ergeben sich aus x y un Das liefer ie normieren Eigenvekoren v zum EW 1. Also is 1 P Es is PP 1 un P AP x y zum EW 1 un v Definiion: Eine symmerische n n Marix A heiß posiiv/negaiv semi efini, falls v A v > / < / für alle Vekoren v R n is. Folgerung: Eine symmerische n n Marix is genau ann posiiv efini, wenn alle Eigenwere posiiv sin. Saz Polarzerlegung: Is A eine inverierbare Marix, so gib es eine eineuig besimme, orhogonale Marix O un eine eineuig besimme symmerische, posiiv efinie Marix Σ, mi A Σ O Grun : 1 Exisenz Die Marix A A is symmerisch A A A A A A un posiiv efini v A A v A v A v y für y : A v. gil nur für v A 1 y. Daher gib es nach em Saz über ie Haupachsenransformaion eine orhogonale Marix P un eine Diagonalmarix D, mi A A P D P

6 Mi D iagλ 1...., λ n, wobei λ i > für alle i. Seze D : iag λ1,..., λ n un Σ : P D P un O : Σ 1 A Dann is Σ symmerisch un posiiv efini un O O Σ 1 A A Σ 1 P D 1 P P D P P D 1 P E Definiion: Für eine posiiv efinie, symmerische Marix efinieren wir Σ : P D P Diese is wegen P DP P DP auch symmerisch.. Eineuigkei kann beim ersen Suium überlesen weren Eine Diagonalieserung einer Marix is im wesenlichen eineuig: Sin P D 1 P un P D P zwei Diagonalisierungen, so sehen in beien Diagonalmarizen ie Eigenwere auf er Diagonalen, Sie können sich also nur urch ie Reihenfolge unerscheien. Somi sin auch ie Wurzeln von posiiv efinien Marizen eineuig. Is A Σ O eine Polarzerlegung, so is A A Σ O O 1 Σ Σ. Is A Σ O eine weiere Polarzerlegung, so gil analog A A Σ, un wegen er Eineuigkei er Wurzeln folg: Σ Σ un araus O O.