Geckos gehören zur Familie der Schuppenkriechtiere. Sie bevölkern seit etwa 50 Millionen Jahren die Erde und haben sich im Laufe ihrer Entwicklung

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1 Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik II.2 Geckos LA/AG 2 Geckos gehöre zur Familie der Schuppekriechiere. Sie bevölker sei ewa 50 Millioe Jahre die Erde ud habe sich im Laufe ihrer Ewicklug welwei ausgebreie. Aufgrud ihrer hervorragede Apassugsfähigkei habe Geckos die verschiedese Lebesräume erober ud sid sowohl i de gemäßige Zoe als auch i de Wüse ud de Trope azureffe. Im Folgede wird eie spezielle Ar vo Geckos i drei verschiedee Regioe A, Β, C i de Trope uersuch. Die drei Regioe biee de Geckos gaz uerschiedliche Lebesbediguge, die sich durch besodere Vegeaiosforme, Temperaur- ud Niederschlagsvariabiliä auszeiche. Vereifached wird ageomme, dass sich die Geckos i jeder Regio i zwei Alersklasse aufeile lasse: Jugiere (J) ud Aliere (S). Die Ewicklug der Geckos i de Regioe läss sich uer Verachlässigug vo Waderbeweguge vo eier Regio i die adere für eie Beobachugszeiraum vo eiem Jahr äherugsweise folgedermaße modelliere: Regio A: 30 % der Aliere bekomme durchschilich eie Nachfahre. 90 % der Jugiere verbleibe i ihrer Klasse, % Jugiere wechsel die Alersklasse. Die Serblichkei der Aliere beräg 30 %. Regio B: 20 % der Aliere ud 35 % der Jugiere habe durchschilich eie Nachfahre. 55 % der Jugiere verbleibe i ihrer Klasse, 40 % der Jugiere erreiche das Alieraler. Die Serblichkei der Aliere beräg 30 %. a) Orde Sie begrüde die Marize K ud L de Gecko-Ewickluge i de beide Regioe A ud B zu. 0,9 0, 2 K 0,9 0,3 = 0, 4 0,7 L = 0,1 0,7 Selle Sie für die Regio A ud B die Ewicklugsmodelle mi je eiem Graphe dar. (15P) Ei Forscheream juger Biologe möche die Ewicklug der Geckos i Abhägigkei vo de Umwelbediguge uersuche. Dazu seck es i de Regioe A ud B Gebiee ab, i dee sich zum Uersuchugszeipuk geau 00 Jugiere ud 2000 Aliere aufhale. b) Bereche Sie mi Hilfe der Populaiosmarize für beide Gebiee die Azahl der Geckos jeder Klasse ach eiem ud ach zwei Jahre. Besimme Sie für beide Gebiee de Besad ach 20 Jahre mi Hilfe der Marize bzw. L. Es gil: 1,729 0,864 K 0,752 0,745 1, 729 0,865 L 0,248 0,255 K (20P) Ma1-LKLM-AWT.doc Seie 30 vo 46

2 Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik Im folgede Aufgabeeil geh es jeweils um die Größe der gesame Geckopopulaio, also um die Summe der Jug- ud Aliere. Nebe de Gebiee A ud B wird außerdem ei Gebie i eier Regio C berache. Die Ewicklug der Geckozahle i diesem Gebie is i folgeder Tabelle dargesell. Zei Populaiosvekore für Gebie C: 0 p 0 = ( ) 1 p 1 = ( ) 2 p 2 = ( ) p = ( ) 20 p 20 = ( ) c) Vergleiche Sie ahad Ihrer Ergebisse ud uer Berücksichigug der abelliere Were die Ewickluge der Geckozahle i alle drei Gebiee mieiader. Besimme Sie mi Hilfe der Werepaare für = 0 ud = 20 für jedes Gebie eie Expoeialfukio vom Typ f () = c a zur diskree Beschreibug der Gecko- Ewicklug. Dabei soll f() die Gesamzahl der Geckos i Abhägigkei vo der Zei i Jahre darselle. Besimme Sie, ach wie viele Jahre i de Gebiee B ud C gleich viele Geckos lebe. (20P) Waderbeweguge zwische de Regioe bliebe bisher uberücksichig. Tasächlich wader aber jährlich 5 % der Aliere vo Regio B ach Regio A. % der Jugiere wader vo Regio A ach Regio B über. Die bereis erwähe hohe Apassugsfähigkei der Geckos führ dazu, dass sich die Tiere i ihrer Populaiosewicklug sofor de asässige Geckos apasse. d) Die Populaio i beide Regioe wird durch de Vekor p= ( J ) T A SA JB SB agebe. Leie Sie für die eue Siuaio eie Übergagsgraphe her. Ermiel Sie eie modifiziere Übergagsmarix P ud begrüde Sie Ihre Vorgehesweise. (20P) Im leze Aufgabeeil wird ereu die Marix L aus Teil a) berache. Sie läss sich mi eier 1 Trasformaiosmarix T, dere iverser Marix T, sofer diese exisier, ud eier Diagoalmarix D schreibe als L T D T 1. = ( ) 1 3 e) Besäige Sie, dass mi T =, 1 1 Gleichug ( ) erfüll wird. T 1 0, 25 0,75 = 0, 25 0,25 ud 0,6 0 D = 0 1 die Leie Sie mi der Gleichug (*) eie Formel für L her. Verwede Sie dabei die Eigeschaf iverser Marize: T T = E, wobei E die Eiheismarix 1 is. Begrüde Sie, dass sich die Poeze L selbs für große mi dieser Formel auch ohe Compuereisaz rech leich bereche lasse. Bereche Sie mi Ihrer Formel u selbs die Marix L, die Ihe i Teil b) vorgegebe war. (25 P) Ma1-LKLM-AWT.doc Seie 31 vo 46

3 Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik Erwarugshorizo Lösugsskizze Zuordug Bewerug a) Korreke Zuordug: Regio / Gebie: Marix: Graph: A 0,9 0,3 L = 0,1 0, 7 0,3 0,9 J S 0,7 0,1 B 0,9 0, 2 K = 0, 4 0,7 0,2 0,9 J S 0,7 0,4 Begrüdug: Das erse Marixeleme der erse Zeile ergib sich aus der Addiio des Aeils der Jugiere, die im ächse Zeischri (Jahr) i der Klasse der Jugiere verbleibe, ud des Aeils der Geburerae der Jugiere. Wie ma fessell, bekomme ich i jeder Regio die Jugiere Nachfahre. Das zweie Eleme der erse Zeile gib die Geburerae der Aliere a. Das erse Marixeleme der zweie Zeile ehäl die Überrisrae vo de Jugiere zu de Aliere; das zweie Eleme gib die Verbleiberae / Überlebesrae der Aliere a. Hiweis: Für die Begrüdug is die volle Pukzahl auch zu gebe, we ei Prüflig die Zuordug ur ahad eies i beide Marize uerschiedliche Elemees begrüde. 5 b) Berechug der Populaiosvekore: p+ 1 = K p bzw. p+ 1 = L p Für Gebie A: mi. 0,9 0, p1= L p0 = = 0,1 0, ,9 0, p2 = L p1= = 0,1 0, Für Gebie B ergib die aaloge Rechug: 1300 p = 1800 ud p 2 = Ma1-LKLM-AWT.doc Seie 32 vo 46

4 Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik Lösugsskizze Zuordug Bewerug Berechug der Populaioe ach 20 Jahre: 20 p = K p = K K p = K p ( ) bzw. p L p = 0 Für Gebie A: 0,752 0, p = L p0 = = 0,248 0, p20 = L p = Für Gebie B ergib die aaloge Rechug p = 3459 ud 8966 p20 = c) Zei i Jahre Azahl der Geckos im Gebie A Azahl der Geckos im Gebie B Azahl der Geckos im Gebie C Die Gesamzahl der Geckos im Gebie der Regio A bleib kosa bei Die Gesamzahl der Geckos im Gebie der Regio B schei expoeiell zu wachse. Die Gesamzahl der Geckos im Gebie der Regio C schei expoeiell zu falle. Die Geckos werde ausserbe. Fukiosgleichuge: Gebie A: f ( ) = = 3000 Gebie B: f( ) = ,0935 Gebie C: f ( ) = ,8538 Zur Ermilug des Zeipukes gleicher Geckozahle i B ud C werde die Fukioserme gleichgesez: ,0935 = ,8538 log 2 = log1,0935 log0,8538 = 2, Im Laufe des drie Jahres ach Beobachugsbegi werde die Zahle übereisimme. 20 Ma1-LKLM-AWT.doc Seie 33 vo 46

5 Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik Lösugsskizze Zuordug Bewerug d) Modifizierer Graph: Regio A Regio B 0,3 0,2 0,8 J S 0,7 0,9 J S 0,65 0,1 0,4 0,1 0,05 Modifiziere Marix: 0,8 0, Lmod K eu 0,1 0,7 0 0, 05 P = = Leu K mod 0,1 0 0,9 0, ,4 0,65 Die Marix P beseh aus de modifiziere Marize L mod ud K mod ud de Marize K eu ud L eu. Diese beide modifiziere Marize uerscheide sich vo L ud K jeweils i geau eiem Marixeleme. Die Marix L eu ehäl de Aeil der übersiedelde Jugiere; K eu ehäl de Aeil der auswaderde Aliere. e) Besäigug: ,6 0 0, 25 0,75 0,9 0,3 L= T D T = = , 25 0, 25 0,1 0,7 Somi is die Beziehug besäig worde. Poeze der Marix L: Poeze der Marix L lasse sich besoders leich bereche, da ma lediglich D bilde ud da die Muliplikaio vo liks mi T ud vo rechs mi der Iverse vo T durchführe muss. Die Poez eier Diagoalmarix erhäl ma durch Poeziere der Diagoalelemee. Begrüdug: Es gil: 1 L = T D T. Ewas ausführlicher: L T D T T D T T D T T D T ( ) = = = = T D ( T T) D ( T T) D T = T D E D E E D T = T D D D T = T D T 1 1. Ma1-LKLM-AWT.doc Seie 34 vo 46

6 Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik Lösugsskizze Zuordug Bewerug Voreil: Es lasse sich schell die für die Uersuchug der Lagzeiewicklug der Geckos so wichige Poeze der Populaiosmarize bilde. Für die Berechug reich ei eifacher Tascherecher mi de Grudrecheare vollkomme aus. Für = : L = T D T , 25 0,75 0,6 0 = ,25 0,25 0,6 3 0,25 0,75 = 0,6 1 0,25 0,25 0,752 0,745. 0,248 0,255 5 Isgesam 0 BWE Ma1-LKLM-AWT.doc Seie 35 vo 46