TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Vektorräume: Basen und lineare Unabhängigkeit

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1 TECHNISCHE UNIERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Frierich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 26/7 en Blatt ektorräume: Basen un lineare Unabhängigkeit Zentralübungsaufgaben Z7 Lineare Abbilungen Sei f : W eine K-lineare Abbilung zwischen zwei ektorräumen un W mit Basen {v j } j n un {w l } l m. (i) Zeigen Sie, ass eine Abbilung genau ann injektiv ist, wenn alle ektoren { f (v j )} j n linear unabhängig sin. (ii) Geben Sie ie Matrix-Darstellung von f in en Basen {v j } j n un {w l } l m W an. (iii) Sei {ṽ j } j n eine weitere Basis von. Definieren Sie einen Enomorphismus, für en gilt: v j g(v j ) := ṽ j. Geben Sie ie Matrix-Darstellung von g an. (iv) Seien b j := j l= v l, j =,..., n, ektoren in, K = R, C. Geben Sie ie Matrix-Darstellung er Abbilung ψ : b,..., b n, v j ψ(v j ) := b j in er Basis {v j } j n an. (i) Aus er orlesung wissen wir, ass eine K-lineare Abbilung f : W genau ann injektiv ist, wenn er Kern trivial ist, ker f = { W } (Bemerkung nach Satz 5.4). : Sei f injektiv. Angenommen ie f (v j ) sin linear abhängig. Dann können wir jeen ektor w im f in mehr als einer Weise als Linearkombination er ektoren f (v j ) W ausrücken: j= α j f (v j ) = f n j= α j v j = w = j= α j f (v j ) = f n j= α j v j Daher muss n j= (α j α j )v j ker f im Kern liegen. Der Kern ist trivial un somit muss α j = α j für j {,..., n} gelten un ie Koeffizienten α j, j {,..., n}, sin eineutig bestimmt. Das beeutet aber, ass sich er Nullvektor nur als triviale Linearkombination er f (v j ) schreiben lassen kann un ie ektoren { f (v ),..., f (v n )} sin linear unabhängig. : Sin anererseits ie ektoren {f (v ),..., f (v n )} linear unabhängig, so lässt sich jeer ektor im Bil im f eineutig als Linearkombination ieser ektoren ausrücken. Das beeutet sofort, ass es zu jeem Bilvektor genau einen Urbilvektor gibt un f ist injektiv.

2 (ii) Erst mit er Wahl einer Basis {v,..., v n } können wir jeen K-ektorraum mit ientifizieren. Abstrakt beeutet as, ass ie Wahl einer Basis eine Abbilung φ : inuziert, inem wir jeen ektor v = n j= α j v j mit em Spaltenvektor (α,..., α n ) T ientifizieren. α φ :, v = α j v j. Kn j= Mathematisch korrekt formuliert: wir suchen also ie Abbilung ˆf : K m, ie urch ie Koorinatenabbilungen un f inuziert weren: α n f W φ ˆf φ W K m Φ un Φ W sin ektorraumisomorphismen (as kann man leicht überprüfen). Somit ist ie inuzierte Abbilung ˆf gegeben urch ˆf = Φ W f Φ. Für Abbilungen zwischen un K m können wir ˆf als Matrix mit en Spalten ˆf (e j ) schreiben, wobei e j en j-ten kanonischen Basisvektor bezeichnet ( in er j-ten Zeile, sonst). Sei f (v l ) = m j= β jl w j ; ann ist ˆf (e l ) = (β l,..., β ml ) T un ˆf (bzw. f ) wir in iesen Basen urch ie Matrix n α β ˆf. =... β n α j=... = β jα j. n α n β m... β mn α n j= β mjα j repräsentiert. In er Praxis wir ˆf meist mit f ientifiziert (in en Basen {v j } j n un {w l } l m W ist f gegeben urch...). (iii) Jeer ektor in lässt sich eineutig als Linearkombination von er ektoren {v,..., v n } schreiben, v = n j= α j v j. Insbesonere existiert für ie ektoren ṽ l eine solche Linearkombination (unabhängig avon, ass {ṽ l } eine Basis bilen, as funktioniert mit jeem ektor!). ṽ l = β jl v j l {,..., n} j= Wir stellen ie inuzierte Abbilung ĝ in er Basis {v j } ar (as heißt Urbil- un Bilraum weren in er Basis {v j } j n argestellt mit erselben Koorinatenabbilung φ ). g φ ĝ φ Ein ektor n j= α j v j = v hat also ie Darstellungen α φ (v) =. α n 2

3 un as Inverse von φ ist φ α. = α j v j α n j= Also ist ĝ = φ g φ gegeben urch α φ g φ. = φ g n l= α = l v l α l φ (ṽ l ) α n l= n n = α l φ j= β l= β lα l jl v j =. l= n l= β nlα l β β n α =... β n β nn α n ĝ wir also urch ie Matrix (β l j ) l, j n repräsentiert. Es sei nochmals betont, ass bis jetzt nicht benutzt woren ist, ass ie {ṽ l } eine Basis von bilen. Die Beeutung ieses Datums wir erst erkennbar, wenn wir als Basis im Bilraum ie {ṽ l } benutzen, as heißt ie Bilvektoren weren wir als Linearkombination er {ṽ l } arstellen. g φ g φ φ bilet hier auf ie Koeffizienten bezüglich {ṽ l } ab, also φ (ṽ l ) = e l (wobei e l wieer er lte kanonische Basisvektor im ist). Daher ist φ g(v l ) = e l un somit ist g = i K n ie Einheitsmatrix (siehe auch H23 (iii)). Das können wir auch interpretieren: g wanelt Linearkombinationen von {v j } in Linearkombinationen er {ṽ l } mit enselben Koeffizienten um. Das beeutet aber auch, ass wir ie inverse Abbilung anwenen müssen, wenn wir rausfinen möchten, welche Koeffizienten bezüglich er neuen Basis {ṽ l } nötig sin, um einen ektor n j= α j v j = v arzustellen. v = α j v j = j= α l g (ṽ j ) = j= α l j= l= β l j v l Hierbei sin β l j ie Koeffizienten er inversen Matrix zu (β l j )! (Im ersten Fall haben wir ie Koeffizienten konstant gehalten un ie ektoren, ie urch ie Koeffizienten erzeugt weren, veränert, im zweiten Fall haben wir einen festen ektor v betrachtet un ie Koeffizienten bezüglich er zwei Basen miteinaner in erbinung gebracht.) 3

4 Wir illustrieren as Ganze an einem Beispiel für = R 3 mit en Basen {v, v 2, v 3 } (er kanonischen Basis) un {ṽ, ṽ 2, ṽ 3 }: v = v 2 = v 3 = un ṽ = ṽ 2 = ṽ 3 = Man kann leicht überprüfen, ass ṽ + ṽ 2 ṽ 3 = 2v 3 ist un ie Übergangsmatrix (in er kanonischen Basis) gegeben ist urch Man muss bei er Interpretation etwas aufpassen: jee Linearkombination aus kanonischen Einheitsvektoren wir hier urch Linearkombinationen aus ṽ j ersetzt, un zwar mit enselben Koeffizienten. Die inuzierte Abbilung ĝ misst also ie Linearkombinationen von ektoren in er Basis {ṽ j } in er ursprünglichen Basis: ṽ + ṽ 2 ṽ 3 ergibt (,, 2) T in er ursprünglichen Basis. Möchte man ektoren in er alten Basis {v j } als Linearkombination von ektoren in er neuen Basis {ṽ j } schreiben, so muss man ĝ invertieren! (iv) Das Diagramm für en en Enomorphismus ψ ist also ψ φ ˆψ φ Man beachte, ass Φ jeweils ie gleiche Abbilung ist (a wir ie gleiche Abbilung betrachten!). Wir erhalten also:... α α ˆψ. =..... α.... α.... = α + α 2 n α. n n j= α j Z8 Lineare Unabhängigkeit Sei ein K-ektorraum un mit Basis {v j } j n. Zeigen Sie, ass jee Basis von n Elemente hat. Wir wieerholen im wesentlichen Satz 6.3. Es sei betont, ass ieser Satz nur für enliche Basen gilt. 4

5 Eine Basis ist ein Erzeugenensystem aus linear unabhängigen ektoren. Beie kursivgeruckten Wörter sin wesentlich! Wir nehmen also an, ass es eine zweite Basis {ṽ l } l m mit m n Elementen gäbe. Ohne Einschränkung sei m > n. Nach Satz 6.3 sin Basen aber minimale Erzeugenensysteme, as heißt ie Zahl er Elemente, ie ganz aufspannen ist so klein wie möglich gewählt woren. Das steht im Wierspruch zu m > n un {ṽ l } l m ist kein minimales Erzeugenensystem. Das motiviert en Begriff Dimension als ie Zahl er Elemente einer Basis. Nach Satz 6.3 ist iese Zahl eineutig efiniert. Z9 ektorraum er Polynome Sei K[X ] er ektorraum er Polynome über K = R, C. (i) Definieren Sie en Ableitungsoperator in er Stanarbasis {X n n N } ar. auf em Raum er Polynome K[X ]. Stellen Sie (ii) Ein Enomorphismus f : heißt nilpotent, falls für ein k N f k = gilt. Zeigen Sie: Ist f nilpotent, so ist i f ein Automorphismus. (i) Wir efinieren en Ableitungsoperator wie in er Analysis üblich, nämlich X n := nx n un setzen linear fort. In er Stanarbasis (also {X n } n N ) können wir als unenliche Matrix schreiben: = Es ist wichtig, ass ein rein algebraisches Objekt ist, also a priori nichts irgenwelchen Limes-Bilungen zu tun hat. Per Konstruktion ist auch sofort klar, ass eine lineare Abbilung ist. : (α, α, α 2, α 3,...) T ( α, 2 α 2, 3 α 3,...) T (ii) Wir können as Polynom x k zerlegen in x k = ( x)( + x x k ). Analog azu ist i = i f k = (i f )(i + f + f f k ) Sei also g := i + f + f f k un y := g(x). Es ist klar, ass i (x) = (i f ) g(x) = (i f )( y) = x gilt. Das heißt zu jeem x existiert ein y = g(x) mit (i f )( y) = x un i f ist surjektiv. i f ist aber auch injektiv, enn sei v ker(i f ). Dann gilt v = f (v) = f 2 (v) un somit per Inuktion v = f j (v). Anererseits ist f k =. Also muss v = sein, er Kern ist trivial un i f ist injektiv. 5

6 Tutoraufgaben T8 Lineare Abbilungen Sei f : W eine lineare Abbilung zwischen zwei ektorräumen un W mit Basen {v j } j n un {w l } l m. (i) Untersuchen Sie, ob er Enomorphismus g aus Z7 invertierbar ist. (ii) Geben Sie ie Matrix-Darstellung von f in en neuen Basen {ṽ j } j n un { w l } l m W an. (iii) Zeigen Sie, ass es keine bijektive lineare Abbilung f : W zwischen zwei ektorräumen mit Basen {v j } j n un {w l } l m, n m, geben kann. (i) g ist nach Z7 (i) injektiv, enn ie Biler er Basisvektoren (per efinitionem also linear unabhängige ektoren) sin ie neuen Basisvektoren {ṽ j } j n. Nach Satz 6.3 er orlesung sin ie {ṽ j } j n ein minimales Erzeugenensystem un jeer ektor lässt sich eineutig als Linearkombination er Bilvektoren {ṽ j } j n schreiben. Somit ist g auch surjektiv, also insgesamt bijektiv. (ii) Ein Diagramm er verschieenen Abbilungen erleichtert en Überblick. f K m φ f φ W W φ ˆf φ W K m Die Koorinatenabbilungen sin bijektiv un wir können aher f in en neuen Koorinaten (mit Tile) bezüglich er alten Koorinaten (ohne Tile) schreiben als f = φ W φ }{{ W } ˆf φ =:ϕ W φ } {{ } =:ϕ = ϕ W ˆf ϕ Die Funktionen ϕ : un ϕ W : K m K m transformieren also ie alten Koorinaten in ie neuen. Wir können iese explizit angeben. Für ϕ beispielsweise erhält man nach Aufgabe Z7: sei v l = n j= β jl ṽ j un e l er l-te kanonische Einheitsvektor (mit in er l-ten Zeile, sonst). ϕ : e l β jl e j Mit aneren Worten wir ie Transformation urch folgene Matrix repräsentiert: x β ϕ :,. β n x... x n β n β nn j= x n 6

7 Etwas analoges erhält man für ϕ W. Diese Abbilung (un somit ie entsprechenen Matrizen) sin nach T8 (i) invertierbar. f erhält man also urch Multiplikation er entsprechenen Matrizen. (iii) Sei f : W bijektiv un ohne Einschränkung n > m (ansonsten benutzen wir f im Argument). Das beeutet insbesonere, ass f injektiv ist un {f (v j )} j n W sin linear unabhängig. Da n > m ist, sin ie Bilvektoren auch ein Erzeugenensystem, W = { f (vj )} j n. Ein Erzeugenensystem aus linear unabhängigen ektoren ist eine Basis un nach Z8 muss jee Basis ieselbe Zahl von Elementen haben. Also ist n = m, Wierspruch! T9 Lineare Unabhängigkeit Überprüfen Sie, ob folgene ektoren aus em ektorraum er (R)-Funktionen linear unabhängig sin un geben Sie gegebenenfalls alle linear unabhängigen ektoren an: {x 2, sin x}, {, x, x 2 }, {, sin 2 x, cos 2 x, cos 2x}, {(x + ) 2, x 2 + x, }, {sin(x 3π), sin x} {x 2, sin x} ist linear unabhängig. {, x, x 2 } ist ebenfalls linear unabhänig. {, sin 2 x, cos 2 x, cos 2x} ist linear abhängig, a sin 2 x + cos 2 x = un cos 2 x sin 2 x = cos 2x. Beispielsweise spannen {sin 2 x, cos 2 x} enselben Untervektorraum auf. {(x + ) 2, x 2 + x, }: iese ektoren sin linear unabhängig. Wir überprüfen iesen Fall explizit: α(x + ) 2 + β(x 2 + x) + γ! = K[X ] (Wichtig ist hier zwischen em Nullpolynom un er Null aus em Körper zu unterscheien!) Daraus folgt α + β =, 2α + β = un α + γ =. Aus en ersten zwei schließen wir α = = β un somit γ =, ie ektoren sin linear unabhängig. {sin(x 3π), sin x} sin linear abhängig, sin(x 3π) = sin x un er einimensionale Untervektorraum wir von {sin x} aufgespannt. T2 ektorraum er Polynome (i) Zeigen Sie, ass eg P(X ) = eg P(X ) für alle P(X ) K[X ]. (ii) Zeigen Sie, ass auf [X ] := P(X ) K[X ] eg P(X ) n nilpotent ist un geben sie k as kleinste k N an mit =. (iii) Zeigen Sie, ass sich K[X ] als Teilvektorraum von (K) auffassen lässt. (i) Wir weren ies in er Stanarbasis zeigen. Die Definition von eg in er Stanarbasis liest sich als eg P(X ) = min n N P(X ) = N j= α jx j, α j = j > n Angenommen eg P(X ) = n, also P(X ) = (α,..., α n,,...) T α n Da P(X ) = (α, 2 α 2,..., n α n,,...) T un n α n an n -ter Stelle steht, ist eg n. P(X ) = 7

8 (ii) Per Inuktion können wir zeigen, ass eg kp(x ) = eg k P(X ) = eg k P(X ) =... = eg P(X ) k solange eg P(X ) k. Zwar ist für ein Polynom n-ten Graes eg np(x ) = n n = Anererseits beeutet eg P(X ) =, ass P(X ) = konstant. Wir müssen also ein weiteres Mal ableiten, amit wir sichergehen, ass auch ie Konstante auf abgebilet wir. Es ist hier wichtig, K[X ] nicht asselbe ist wie P(X ) = konstant un ie Konstante ist, tatsächlich ist K[X ] = X = X l =.... Wenn wir also nur Polynome mit eg P(X ) n betrachten, muss also n+ = gelten. (iii) Nach er Definition eines Untervektorraums bleibt zu zeigen, ass P (X ) P 2 (X ) K[X ] un λp(x ) K[X ] gilt für beliebige P(X ), P (X ), P 2 (X ) K[X ], λ K ie Menge also abgeschlossen bezüglich er ektorraumoperationen ist. Wir zeigen as in er Stanarbasis: sei ohne Einschränkung er Allgemeinheit m n un α j = für j > n. P (X ) P 2 (X ) = m α j X j β j X j = j= j= m (α j β j )X j K[X ] j= Natürlich ist auch λp(x ) = λ α j X j = λα j X j K[X ] j= j= richtig un K[X ] ist ein Untervektorraum von (K). 8

9 H22 Lineare Unabhängigkeit [7 Punkte] Hausaufgaben (i) Zeigen Sie, ass ψ aus Z7 injektiv ist. [2 Punkte] (ii) Zeigen Sie, ass {b,..., b n } aus Z7 eine Basis von ist. [ Punkt] (iii) Geben Sie ie Matrix-Darstellung von ψ an, wenn wir für en Urbilraum ie Basis {v,..., v n } un für en Bilraum ie Basis {b,..., b n } verwenen. [ Punkt] (iv) Überprüfen Sie, ob folgene ektoren aus em ektorraum er Funktionen von C nach C linear unabhängig sin un geben Sie gegebenenfalls ein minimales Erzeugenensystem an: [3 Punkte] {cosh z, cos z}, {e iz, cos z, sin z}, {(z + ) 2, z 2 + 2z, } (i) Nach Z7 (i) ist ψ : genau ann injektiv, wenn {b j = φ(v j )} j n linear unabhängig sin. Wir müssen also zeigen: j= α j b j! = α j K, j {,..., n} Wir setzen nun b j = j l= v l ein un stellen nach en v j um. α j b j = j= α j j= l= j v l = l= n+ l k= Da ie {v l } l n linear unabhängig sin, erhalten wir also n+ l k= α n+ k! = α n+ k v l! = Wir folgern inuktiv, ass α j = sein muss (man fängt bei k = n an). Daher sin alle ektoren b j linear unabhängig un ψ ist nach Z7 (i) injektiv. (ii) Nach Z8 hat jee Basis von n Elemente, ie linear unabhängig sin. Jees System aus n linear unabhängigen ektoren ist eine Basis un wir wissen, ass er gesamte ektorraum urch ie {b j } j n aufgespannt wir, = {b j } j n. (iii) Das Diagramm für en en Enomorphismus ψ ist also in en Basen {v,..., v n } un {b,..., b n } (ie inuzierten Abbilungen weren mit φ bzw. φ bezeichnet) ψ φ ˆψ φ Da ja gerae ψ(v j ) = b j, j {,..., n}, ist, wir ψ urch ie Einheitsmatrix repräsentiert, ˆψ(k) = i k = k, k. 9

10 (iv) (a) cosh z un cos z sin linear unabhängig (Achtung: es gilt zwar cos iz = cosh z, aber as heißt nicht, ass cosh z = α cos z für alle z C un ein α C.) (b) Wir wissen aus er Analysis, ass e iz = cos z + i sin z ist. Das heißt as Tripel ist linear abhängig un wir können beispielsweise {sin z, cos z} als Erzeuger es Unterraums auswählen. (c) Da (z +) 2 = (z 2 +2z)+ gilt, ist as Tripel linear abhängig. {z 2 +2z, } spannt beispielsweise enselben Unterraum auf. H23 Der ektorraum er Polynome über K [6 Punkte] (i) Stellen Sie i in er Stanarbasis von K[X ] ar. [ Punkt] (ii) Invertieren Sie i auf [X ]. [2 Punkte] (iii) Begrünen Sie, wieso ieselbe Konstruktion für i kann? [ Punkte] auf K[X ] nicht urchgeführt weren (iv) Zeigen Sie, ass ie Legenre-Polynome {P l } l n, P l (X ) := 2 l l! (X 2 ) l, auf K[X ] l linear unabhängig sin. (Hinweis: berechnen Sie zunächst eg P l.) [2 Punkte] (i) Die Abbilung ist in er Stanarbasis urch folgene Matrix gegeben: i = Angewenet auf ein Polynom P(X ) = (α, α,..., α n ) ergibt sich i (α, α,..., α n ) = (α α, α 2α 2,..., α n nα n, α n ) =: (β,..., β n ) (ii) Der n-te Koeffizient α n wir urch ie Abbilung nicht veränert. Für ie aneren efinieren wir rekursiv: α j = β j + j β j. Beispielsweise ist α n = β n +n β n = (α n n α n )+nα n = α n. Alternativ (un abstrakter) können wir aus Z9 (ii) erkennen, ass g := n j j= as Inverse zu i f ist. (iii) Wir haben zur Invertierung einen Koeffizienten gebraucht, er nicht veränert woren ist as war α n für Polynome es Raums [X ]. Einen solchen Anfangswert haben wir auf K[X ] nicht für alle Polynome! Das heißt, wir können zwar für einzelne Polynome ein Urbil konstruieren, aber nicht für alle. Man kann zeigen, ass ieser Operator auf K[X ] nicht invertierbar ist. l

11 (iv) Aus T2 (i) wissen wir, ass eg P(X ) = eg P(X ). Sei Q l := (x 2 + ) l. Es ist klar, ass egq l = 2l. Somit ist eg P l = 2l l = l. Anererseits änert sich er Gra eines Polynoms nicht, wenn wir beliebige Polynome nierigeren Graes aieren: eg(q l (X ) + γq j (X )) = egq l (X ) = l l > j. Daher müssen ie Legenre-Polynome linear unabhängig sein. Man kann zeigen, ass ie Legenre-Polynome auch eine Basis von K[X ] sin. H24 Lineare Unabhängigkeit un Abbilungen [9 Punkte] Sei f : W eine K-lineare Abbilung un {e j } j s ektoren aus. Beweisen oer wierlegen Sie folgene Aussagen: (i) { f (e j )} j s ist linear unabhängig = {e j } j s ist linear unabhängig. (ii) { f (e j )} j s ist linear abhängig = {e j } j s ist linear abhängig. (iii) f (e ),..., f (e s ) = W = e,..., e s =. wenn (a) f nicht notwenigerweise injektiv oer surjektiv, (b) f surjektiv oer (c) f injektiv ist. (i) Das ist für alle rei Fälle richtig. Denn sei n j= α je j = eine nichttriviale Linearkombination. Dann ist auch f ( n j= α je j ) = n j= α j f (e j ) =. Da { f (e j )} nach oraussetzung linear unabhängig sin, müssen ie Koeffizienten α j = sein, Wierspruch! (ii) (a) Seien = R 2, W = R un f : (x, y) x. Die kanonischen Einheitsvektoren e un e 2 weren auf bzw. abgebilet. f (e ) = un f (e 2 ) = sin linear abhängig, obwohl e un e 2 linear unabhängig sin. (b) Das Gegenbeispiel aus (a) ist surjektiv. (c) Sei f injektiv un = n j= α j f (e j ) eine nichttriviale Linearkombination. Da ker f = {} ist as Urbil ebenfalls er Nullvektor. Somit ist auch n j= α je j = mit nichttrivialen Koeffizienten α j. Somit sin ie ektoren {e j } linear abhängig. (iii) (a) Wir benutzen wieer as Gegenbeispiel aus (ii) (a): R = f (e ), aber R 2 e. (b) Siehe (iii) (a). (c) Falls f injektiv ist, so wissen wir, ass f (U) = f (e ),..., f (e n ) = W, U := e,..., e n. Angenommen U : wir wählen einen ektor v \U aus. Dann ist f (v) = w W = f (U). Da as Urbil injektiver Funktionen eineutig ist, existiert ein u U mit f (u) = w = f (v). Somit muss u = v sein, Wierspruch!