3 Trennungs- und Stützeigenschaften, sowie elementare Hilfssätze

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1 U BREHM: Konvegeoetrie Trennungs- un Stützeigenschaften, sowie eleentare Hilfssätze Zunächst einige Hilfssätze, in enen Begriffe aus er Konveität it topologischen Eigenschaften zusaengebracht weren Bezeichnungen: Sei X IR eine Menge X int X bezeichne en offenen Kern von X X cl X bezeichne ie abgeschlossene Hülle von X X b X: X \ X bezeichne en Ran von X relint X bezeichne as relative Innere von X, as ist er offene Kern von X in aff X (also relativ zu aff X ) rel b X bezeichne en Ran von X relativ zu aff X ( relint X un rel b X weren wir nur für konvee Mengen X verwenen) Beispiel: Betrachte ein 2-Siple (Dreieck) D IR 3 Dann ist D aber rel int D{ , i 0 }, wenn 1, 2, 3 ie rei Ecken von D sin Entsprechen ist b D D aber rel b D ie Vereinigung er rei Kanten Lea 31: Sei K IR konve, K, yk, ann ist y \{ } K (Für y, IR bezeichne y ie Strecke von nach y, h y: { ( 1) y [ 01, ]}) Beweis: Sei K, z y\{ } Dann gibt es 0 it z y ( 1 ) un 0 it B( y) K Sei : Dann gibt es B K 2 1 ( ) B ( z) konv { u} B ( y) konv { } B ( y) K 1, 1 also zk u z y (vgl Fig 31, verwene Strahlensatz in IR 2 (Rotationssyetrie u y)) u: y( 1 ) z ( ub ( y) oba) u u 2 2 z 2 y Fig 31

2 3-2 U BREHM: Konvegeoetrie Lea 32: Sei K a) K ist konve b) K ist konve IR konve Dann gilt: Beweis: a) Seien y, K, [ 01,,] 0 Dann gibt es 1, y1 K it 1 un y y1, also ( 1) y( 1( 1) y1 ) ( 1 ) un 1 ( 1) y1k, also wegen 0 beliebig ( 1 ) yk b) folgt irekt aus 31 Lea 33: Wenn X IR offen ist, ann ist konv X offen Beweis: Aus X offen, X konv X folgt X (konv X) (konv X ) ist nach Lea 32 konve, also (konv X) konv X Lea 34: Wenn X IR kopakt ist, ann ist konv X kopakt B e w e i s : Bekanntlich sin für X IR Kopaktheit un Folgenkopaktheit ( jee Folge in X hat eine in X konvergente Teilfolge ) äquivalent Sei X oba Sei ( ) IN eine Folge in konv X Dann gibt es nach Satz 21 (CARATHÉODORY) für jees eine Darstellung als 1 1 i i i1 it i X, i [,] 01, i 1 i1 Wir wählen nacheinaner Teilfolgen aus, so ass ie Folgen ( vi ) j j IN in X un ie ( vi ) j ( i1,, 1) konvergieren (öglich wegen X un [ 01,] kopakt) Also li li( ) li( ) konv X, a li j 1 j ji ji i1 j j 1 li i [ 01,, ] li i 1 j j i1 j j j X i, j j IN Lea 35: Wenn X IR beschränkt ist, ann ist auch konv X beschränkt Beweis: Sei X IR beschränkt, also gibt es r 0, IR it X Br ( ), also konv X Br ( ), a Br( ) konve ist

3 U BREHM: Konvegeoetrie 3-3 Achtung: Die konvee Hülle einer abgeschlossenen Menge ist i allgeeinen nicht abgeschlossen Beispiel: Betrachte i IR ie Vereinigung einer Geraen it eine Punkt, er nicht auf ieser Geraen liegt Diese Menge ist offenbar abgeschlossen, aber ie konvee Hülle ist nicht abgeschlossen (siehe Fig 32) Fig 32 Folgerung aus Lea 34: Polytope sin kopakt Lea 36: Seien AB i) A offen A B offen, IR, AB, Dann gilt: ii) A, B beschränkt A B beschränkt iii) A, B kopakt A B kopakt Beweis: i) aa, bb es gibt 0 it B( a) A, also B( a b) A B ii) Klar iii) Seien aia, bib, iin, ann gibt es eine konvergente Teilfolge ( a i ) n n IN in A un eine konvergente Teilfolge ( b in ) von ( b i ) n n IN in B ann ist ( ai bi ) n n IN eine konvergente Teilfolge von ( a b) IN in A B i i i Achtung: Es gibt konvee abgeschlossene Mengen A, B, so ass A B nicht abgeschlossen ist (siehe Fig 33) Definition: Wir erweitern jetzt ie Abstansfunktion auf nichtleere Mengen: Seien y, IR, AB, IR it AB, (, y): y (, A): inf{ (, y) ya} ( A, B): inf{ (, y) A, yb} Lea 37: Seien y, IR, AB, Dann gilt: i) A (, ) ya (, ) y (, ) ii) (, A) ist stetig iii) Falls A abgeschlossen ist, gibt es a A it A (, ) a (, )

4 3-4 U BREHM: Konvegeoetrie iv) Falls A kopakt un B abgeschlossen ist, gibt es a A, b B it ( A, B) ( a, b) v) Falls A kopakt un B abgeschlossen ist, gilt ( A, B) 0 A B Beweis: i) Sei oba A (, ) ya (, ) Für alle a A gilt (, A) (, a) (, y) ( y, a), also A (, ) y (, ) ya (, ) ii) Folgt aus i) ( ist sogar LIPSCHITZ-stetig) iii) Es gibt r 0 it Br( ) A Offenbar ist A (, ) A (, B r ) A ist kopakt, also nit (, ) as Infiu an B r iv) (, B) nit auf er kopakten Menge A as Infiu an Also gibt es a A it ( A, B) ( a, B), also nach iii) gibt es b B it ab (, ) ab (, ) AB (, ) v) folgt aus iv) Achtung: Für iv), v) würe ie Voraussetzung A, B abgeschlossen nicht reichen: A ( A, B) 0 B Fig 33 Der Punkt a in iii) braucht nicht eineutig bestit sein (vgl Fig 34) Falls A konve ist, ist er jeoch eineutig: A Fig 34 A Definition un Lea 38: Sei A IR abgeschlossen un konve un A Dann gibt es für jees IR genau einen Punkt a A it A (, ) a (, ) Also ist ie Abbilung :IR A it ( ): a it a (, ) A (, ) wohlefiniert Die Abbilung heißt nächster-punkt-abbilung Für y efiniere Sy (, ): { ( y) 0 } en Strahl von urch y ohne en Anfangspunkt B e w e i s : Eistenz nach Lea 37 iii) a Eineutigkeit: Angenoen A (, ) a (, ) b (, ) it ab, Aa, b Dann betrachte as gleichschenklige Dreieck ab: 1 Es ist klar, ass (, 2 ( ab)) a (, ) un 1 2 ( a b) A wegen er Konveität Wierspruch! Fig 35 b

5 U BREHM: Konvegeoetrie 3-5 Sei nun i folgenen A eine abgeschlossene konvee Menge un :IR A ie nächster-punkt-abbilung Lea 39: Falls Aun y S( ( ), ), ann ( y) ( ) Beweis: Für y trivial Falls ykonv{, ( )} un ( y) ( ), ann (, ( y)) (, y) ( y, ( y)) (, y) ( y, ( )) (, ( )), Wierspruch! Falls ykonv{, ( )}, ann konv{ y, ( )} Angenoen ( y) ( ) Sei z er Schnittpunkt er Strecke ( ) ( y ) it er Geraen urch parallel zu y( y) (vgl Fig 36) Dann folgt aus ( ) A z ( y, ( y)) ( y, ( )), ass z (, ) (, ( )) (ähnliche ( y) Dreiecke!) i Wierspruch zur Definition von Fig 36 y Satz 31: (BUSEMANN-FELLER) Für jee abgeschlossene konvee Menge A gilt für ie nächster-punkt-abbilung :IR A un für alle y, IR : ( ( ), ( y)) (, y) Folglich ist stetig (sogar LIPSCHITZ-stetig it L-Konstante 1) Beweis: Für y, Atrivial Wir zeigen en Fall, yir \ A Der anere Fall A, y A wir ganz ähnlich gezeigt Seien also, yir \ A Sei ( y) ( ) (sonst trivial) Dann ist ( y), ( ) ( y) ( ), ( ) ( y) (wegen ( ) ( y) ) Sei z: ( ) ( y) S: uir ( y), z u, z ( ), z r S ist ie offene Schicht, ie urch ie beien Hyperebenen H ( ), H ( y) senkrecht zur Strecke ( ) ( y ) un urch ( ) bzw ( y ) begrenzt wir

6 3-6 U BREHM: Konvegeoetrie ( ) z ( y) y H S H ( y) ( ) ( y) ( ) w Fig 37 Angenoen ( ), z, z Dann würe S( ( ), ) ie Hyperebene H ( y) treffen, sagen wir in w Da as Dreieck w( ) ( y) rechtwinklig ist, wäre w (, ( y)) w (, ( )) w (, ( w)), a ( ) ( w) nach Lea 39 Wierspruch zur Definition von ( w ) Also z, ( ), z Entsprechen yz, ( y), z Also liegen un y verschieenen Seiten er Schicht S er Breite z ( ( ), ( y)) Also y (, ) ( ( ), ( y)) Definition: Eine Abbilung f :IR IR heißt eine affine Abbilung, falls es eine lineare Abbilung g:ir IR gibt un t IR it f( ) g( ) t für alle IR Also ist t f( 0 ) un g ( ) f( ) f( 0 ) für alle IR Die Abbilung t heißt eine Translation u t Affine Abbilungen sin also ie Koposition aus einer linearen Abbilung un einer Translation Die Koposition von affinen Abbilungen ist offensichtlich wieer eine affine Abbilung Affine Abbilungen bewahren Affinkobination, enn sei f affin, ann ist g it g ( ): f( ) f( 0 ) linear, also falls i f g f(0) ( g( ) f(0)) f( ), i i i i i i i i i1 i1 i1 i1 Affinkobination er Fall ist Satz 32: Wenn K IR konve ist un f :IR Wenn L IR konve ist un f :IR i1 1, was bei IR eine affine Abbilung, ann ist f[ K] konve IR eine affine Abbilung, ann ist f 1 [ L] konve B e w e i s : Die erste Aussage ist klar, ie zweite folgt so: 1 Für, f [ L] gilt für [,] 01 f( ( 1 ) ) f( ) ( 1 ) f( ) L, also ( 1) f [ L]

7 U BREHM: Konvegeoetrie 3-7 Wichtige Spezialfälle von affinen Abbilungen sin Projektionen p: IR IR ( ) ( p p p) un Hoothetien: f :IR IR heißt eine Hoothetie it Zentru 0 IR u en Faktor 0, falls f( ) ( 1 ) 0 für alle IR Falls K konve ist un 0 relint K un f eine Hoothetie it Zentru 0 u en Faktor it 0 1, ann ist f[ K] relintk (wegen Lea 31) Definition: Sei X IR, X Ein abgeschlossener Halbrau H heißt ein Stützhalbrau von X, falls X H un H inial it iesen Eigenschaften ist ( h es gibt keinen echt in H enthaltenen abgeschlossenen Halbrau, welcher X enthält) Eine Stützhyperebene von X ist eine Hyperebene, welche einen Stützhalbrau von X begrenzt Falls H { IR, a b} ein Stützhalbrau ist, ann heißt a ein äußerer Noralenvektor von H bzw von er Stützhyperebene b H a X H Fig 38 Beerkung: Es gilt offenbar: H ist eine Stützhyperebene von X genau ann, wenn H eine Stützhyperebene von X ist (Ein abgeschlossener Halbrau enthält X genau ann, wenn er X enthält) Lea 310: Für K konve gilt cl(rel int K) cl K un relint(cl K) rel int K Beweis: Sei cl K un sei { 1,, k} K eine aiale affin unabhängige Menge Dann gibt es zu jee 0 ein ykb ( ) 1 Dann ist B( ) relint conv{ y, 1,, k} B( ) relint K, y also cl rel int K k Die anere Aussage ist in Aufgabe 31 zu beweisen B ( ) Fig 39 Lea 311: Sei X IR, X beschränkt un air, a 0 Dann gibt es eine Stützhyperebene von X it äußere Noralenvektor a B e w e i s : Die gesuchte Stützhyperebene ist H { IR, a sup y, a } Wegen X beschränkt, ist as Supreu yx

8 3-8 U BREHM: Konvegeoetrie Satz 33: Seien ABC,, IR konve un nicht leer 1) Falls AB un B beschränkt ist, ann lassen sich A un B urch eine Hyperebene echt trennen 2) Falls relint Arelint Cist, ann lassen sich A un C urch eine Hyperebene trennen Beweis: 1) Seien A, B oba abgeschlossen, ait ist B kopakt Nach Lea 37 iv) un v) ist ( A, B) 0 un es gibt a A, b B it ( A, B) ( a, b) Die Hyperebene urch 1 2 ( a b), ie orthogonal zu b a ist, trennt A un B echt: Angenoen es gäbe A i abgeschlossenen Halbrau, A a b B er a nicht enthält Dann würe ie Strecke a ie offene Kugel B b ( b) b a g B ( b) b a schneien un ait gäbe es einen Punkt y auf ieser Strecke it by (, ) ba (, ) Wierspruch! a b Genauso folgt, ass B ganz i aneren offenen Halbrau liegt Dait ist 1) gezeigt Fig 310 2) Wegen Lea 310 können wir oba annehen, ass A, C abgeschlossen sin Sei 0 rel int A, y0 relint C un sei 0 1 Sei A : ( 0 ( 1 ) A) B1 ( 0) C : y0 ( 1 ) C (Bil unter einer Hoothetie u en Faktor ( 1 ) it Zentru y 0 ) A A ( A: { a aa }) 0 B 1 0 ( ) 0 Fig 311

9 U BREHM: Konvegeoetrie 3-9 Nach Konstruktion gilt A A, C C un rel int A A, rel int C C Wegen A A rel int A un C C rel int C un relint A relint C, un a A beschränkt ist, können wir 1) anwenen un erhalten eine Hyperebene H { IR, u b}, ie A un C echt trennt, abei sei u ein Einheitsvektor Da H ie Strecke y 0 0 schneiet, ist { b 0 1} beschränkt, also gibt es eine konvergente Teilfolge von b1 n (in IR ) Die u sin in S 1 : B( ) (Einheitsspäre) Wegen er Kopaktheit von S 1 gibt es hiervon wieeru eine konvergente Teilfolge er u 1 n i Seien b un u ie Grenzwerte ieser Teilfolgen Dann trennt H: { IR, u b} ie Mengen A un C, enn: Angenoen a relint A wäre i offenen Halbrau enthalten, er nicht 0 enthält Dann gäbe es ein 1 it a A 1 un ann gäbe es 0, so ass für alle vs 1, cir it uv un b c folgen würe, ass auch ie Hyperebene { IR, v c} 0 un a trennt Wierspruch zur Eigenschaft er H für genügen klein! Dait trennt H relint A un relint C un ait auch cl relint A un cl relint C un ait A un C (wegen A cl relint A, C cl relint C) 1 0 Beerkung: Falls aff ( A C) IR, ann ist ie Beingung relint Arelint C in Satz 332 notwenig Satz 34: 1) Wenn K IR eine nichtleere konvee Menge ist un falls C b K konve ist (also z B C einpunktig ist), ann gibt es eine Stützhyperebene von K, ie C enthält Also geht insbesonere urch jeen Punkt es Ranes von K eine Stützhyperebene 2) Jee nichtleere abgeschlossene konvee Menge K IR ist er Durchschnitt ihrer Stützhalbräue Beweis: 1) Falls i K, ist ie Aussage trivial Falls i K, folgt aus C b K un rel int K int K, ass relint C relint K, also lassen sich nach Satz 332 C un K urch eine Hyperebene trennen Diese enthält C un ist soit eine Stützhyperebene von K

10 3-10 U BREHM: Konvegeoetrie 2) Sei K, ann gibt es nach Satz 331 eine Hyperebene, ie un K echt trennt Der K enthaltene Halbrau enthält einen Stützhalbrau, er nicht enthält; ie anere Inklusion ist trivial Satz 35: Sei X IR ( 2 ) abgeschlossen un gelte X Falls urch jeen Ranpunkt von X eine Stützhyperebene von X geht, ann ist X konve Beweis: Seien 1, 2 X, 3 1 ( 1 ) 2, [ 01,] Angenoen 3 X Sei 4 X un 4 nicht auf er Geraen urch 1, 2 (geht wegen 2, X ) Dann ist b X 34 ( 3 4 Strecke zwischen 3 un 4 ) Sei pb X 34 Nach Voraussetzung gibt es eine Stützhyperebene H von X urch p Wegen 4 X 3 kann H nicht 4 enthalten, schneiet also as Dreieck 1 2 p in einer Geraen urch p Da jeoch p nach Konstruktion in X rel intkonv{ 1, 2, 4 } liegt, können nicht alle iese rei Punkte i selben abgeschlossenen, urch H begrenzten Halbrau liegen Wierspruch! Fig Aufgabe 31 Beweisen Sie, ass für K konve gilt: relint(cl( k) relint K (2 Aussage von Lea 310)