Das Steiner-Dreieck von vier Punkten. Eckart Schmidt

Transkript

1 Das Steiner-Dreieck von vier Punkten Eckart Schmit Zu vier Punkten lassen sich rei Vierecke betrachten Das Dreieck er Diagonalenschnitte sei als Diagonalreieck angesprochen un as Dreieck er Steiner-Punkte er zugehörigen vollstänigen Vierseite als Steiner-Dreieck bezeichnet Beie Dreiecke sin perspektiv, un ihre Ecken liegen mit em Perspektivzentrum auf er Zirkularkurve er vier Punkte Speziell weren abschließen vier konzyklische Punkte betrachtet Gearbeitet wir in baryzentrischen Koorinaten Bezugsreieck kann as Diagonalreieck oer as Steiner-Dreieck sein Diagonalreieck un Steiner-Dreieck Will man vier Punkte, B, C, D in baryzentrischen Koorinaten erfassen, so liegt als Bezugsreieck as Diagonalreieck B C nahe, wobei, B, C ie Diagonalenschnitte er Vierecke BDC, BCD, BCD sin Die Seiten es jeweiligen Bezugsreiecks seien a, b, c Jees Teilreieck er vier Punkte ist ann nti-ceva-dreieck es vierten Punktes bzgl es Diagonalreiecks Gibt man also zb em Punkt D ie baryzentrischen Koorinaten u, v, w, so erhält man folgene übersichtliche Darstellung er vier Punkte ( u v w), B( u v w), C( u v w), D( u, v, w) Der Mittenkegelschnitt er vier Punkte mit er Gleichung u ² yz + v² zx + xy = 0 ist offensichtlich ein Umkegelschnitt es Diagonalreiecks Genauer Der Mittenkegelschnitt ist as Bil er Ferngeraen bei er Konjugation (isoconjugation [1]) ( x y z) ( yz v² zx xy) Dabei liegt zb as Zentrum er gleichseitigen Umhyperbel er vier Punkte auf em Umkreis es Diagonalreiecks

2 Betrachtet man as vollstänige Vierseit zum Viereck BCD, so ist er gemeinsame Punkt er Umkreise er Teilreiecke B, BCC, CD, DC er Steiner-Punkt es vollstänigen Vierseits Bezeichnet man ie Steiner-Punkte zu en Vierecken BDC, BCD, CBD mit s, B s, C s, so erhält man as Steiner- Dreieck als weitere Möglichkeit eines Bezugsreiecks für eine Geometrie er vier Punkte in baryzentrischen Koorinaten Drei Inversionen eines Dreiecks Zu einem Bezugsreieck BC weren ie Inversionen α, β, γ betrachtet, eren Zentren in einer Ecke es Bezugsreiecks liegen un ie ie beien aneren Ecken vertauschen Zum Beispiel hat ie Inversion α ( x y z) ( yz + zx + xy z( x + y + z) y( x + y + z)) α as Zentrum un vertauscht B un C Entsprechen seien β un γ efiniert Wählt man normierte baryzentrische Koorinaten ( x + y + z = 1), so vereinfacht sich ie Zuornungsvorschrift zu ( x y z) α ( p z y), wobei p ie Potenz es Punktes bzgl es Umkreises beschreibt p = yz zx xy Das Hintereinanerausführen er rei Inversionen ergibt ie Ientität, h as Verketten von zweien ergibt ie ritte

3 Die rei Inversionen α, β, γ bilen ie Inkreismitte I( a b c) auf ie nkreismitten I a ( a b c), I b ( a b c), I c ( a b c) ab Kreise um ie nkreismitten mit en Raien r 2abc = a a + b +, c r 2abc 2abc = b a b +, r c = c a + b c sin Fixkreise ieser Inversionen Diese Fixkreise mit en Gleichungen a ² vw + wu + uv bcu + cav + abw = 0, a ² vw + wu + uv + bcu cav + abw = 0, a ² vw + wu + uv + bcu + cav abw = 0 schneien sich senkrecht auf en Winkelhalbierenen un ie Schnittpunkte teilen ie Verbinungsstrecken er Inkreismitte zu en nkreismitten harmonisch Das Steiner-Dreieck als Bezugsreieck Zu einem Bezugsreieck? B? C? un einem Punkt D( u v w) mit normierten Koorinaten liefern obige Inversionen rei weitere Punkte = α ( D) = ( p w v), B = β ( D) = ( w p u) C = γ ( D) = ( v u p) Für iese vier Punkte ist as Bezugsreieck? B? C? as Steiner- Dreieck Zur Begrünung Betrachtet man as vollstänige Vierseit zu em Viereck BCD, so vertauscht ie Inversion β ie Gegenecken sowie ie Gegenseitenschnitte es Vierecks Die Umkreise er Teilreiecke DC un BCC schneien sich neben C im Steiner-Punkt B s ieses Vierseits Bei er Inversion weren aus iesen Umkreisen Geraen urch en Punkt Daher muss as Zentrum B? er Inversion β er Steiner-Punkt B s es vollstänigen Vierseits zu BCD sein Entsprechen sin? = s un C? =C s ie Steiner-Punkte er vollstänigen Vierseite zu BDC un DBC Das Steiner-Dreieck s B s C s liegt perspektiv zu jeem Teilreieck er vier Punkte Perspektivzentrum ist as isogonalkonjugierte Bil es vierten Punktes So liegt zb BC perspektiv zu s B s C s bzgl D *( vw wu uv)

4 Weiterhin sei angemerkt, ass ie Verbinungsgeraen er vier Punkte mit ihren isogonalen Bilern parallel verlaufen urch en Fernpunkt F ( vw + pu uw + pv uv + pw) Für ie Ecken es Diagonalreiecks ergibt sich 2 2 v² (2 ), uv pw uw pv 2 2 B ( 2 ), uv pw vw pu 2 v² 2 C ( 2) uw pv vw pu mit q ² = + + v² Hinter verbirgt sich as Proukt aus em Quarat es Umkreisurchmessers un er Summe er Seitenabstansquarate es Punktes D Bilet man ie Ecke mit α, B mit β un C mit γ ab, so erhält man immer en gleichen Punkt α( ) = β ( B ) = γ ( C ) ( 2 ( 2 v²) ( 2 = T ( ) vw pu wu pv uv pw Dieser vielseitige merkwürige Viereckspunkt wir von Stärk in [2] ausführlich behanelt un von ihm als Tangentialpunkt er vier Punkte angesprochen Konstruktiv erhält man en Tangentialpunkt eines Vierecks als zweiten Schnittpunkt er Kreise urch zwei Gegenecken un en Steiner-Punkt Die

5 Namensgebung ieses Punktes orientiert sich an er Zirkularkurve er vier Punkte (su) Ein weiterer merkwüriger Viereckspunkt Neben em Tangentialpunkt soll ein weiterer merkwüriger Viereckspunkt aufgezeigt weren, as Perspektivzentrum Z von Diagonalreieck un Steiner-Dreieck vw pu wu pv uv pw Z( ) 2 2 v² 2 Damit erweist sich ieses Perspektivzentrum als isogonal konjugierter Partner es Tangentialpunktes ngemerkt sei Der Z-Punkt ist as am Schwerpunkt gespiegelte Zentrum er gleichseitigen Umhyperbel er vier Punkte un liegt mit iesem auf em Mittenkegelschnitt Die Zirkularkurve zu vier Punkten Zu einem Bezugsreieck lassen sich Kurven ritter Ornung betrachten, invariant unter einer Konjugation (isoconjugation [1]), wobei ie Verbinungsgeraen konjugierter Kurvenpunkte kopunktal im sogenannten Pivot-Punkt sin (pivotal isocubics [1]) Nimmt man ie isogonale Konjugation un einen Fernpunkt

6 als Pivot-Punkt, so erhält man eine Zirkularkurve (pivotal circular isocubic [1]) Die Gleichung einer pivotal isocubic zur Konjugation ( x y z) ( k² yz l² zx m² zx) mit em Pivot-Punkt ( p q r) lautet [1] k ² yz( ry qz) + l² zx( pz rx) + m² xy( qx py) = 0 Wählt man als Bezugsreieck as Steiner-Dreieck s B s C s un zur isogonalen Konjugation ( x y z) ( yz zx zx) en Pivot-Punkt im obigen Fernpunkt F er parallelen Verbinungsgeraen er vier Punkte un ihrer isogonal konjugierten Partner, so erhält man ie Zirkularkurve er vier Punkte mit er Gleichung ( vw + pu)( z² y²) x + ( wu + pv)( x² z²) y + ( uv + pw)( y² x²) z = 0 Diese Zirkularkurve geht nicht nur urch ie vier Punkte, B, C, D un ie Ecken s, B s, C s es Steiner-Dreiecks, sonern auch urch ie Ecken, B, C es Diagonalreiecks, as Perspektivzentrum Z sowie en Tangentialpunkt T Das isogonale Bil es Fernpunktes F ist er Schnittpunkt er symptoten mit er Kurve auf em Umkreis es Steiner-Dreiecks un wir als Hauptpunkt H er Zirkularkurve bezeichnet H ( ) vw + pu uw + pv uv + pw Die vier Punkte, B, C, D sin korresponierene Punkte in em Sinne, ass ihre Tangenten sich auf er Zirkularkurve im Tangentialpunkt T schneien (so) Die korresponierenen Punkte es Tangentialpunktes T sin ie Ecken es Diagonalreiecks llgemein erhält man ie korresponierenen Punkte eines Kurvenpunktes urch ie Inversionen α, β, γ Damit ergibt sich zu vier korresponierenen Punkten immer as gleiche Steiner-Dreieck So ist ie Zirkularkurve invariant unter iesen Inversionen

7 Vier konzyklische Punkte Von besonerem Interesse sin ie Zusammenhänge für vier konzyklische Punkte, B, C, D, für ie sich ie Zusammenhänge am besten untersuchen lassen, wenn man als Bezugsreieck as Diagonalreieck B C wählt Benutzt weren ie Conway- bkürzungen 2S = + +, 2S = +, 2S = + un B S = S S + S S + S S = 2 B Die vier Punkte liegen ann auf einem Kreis mit er Gleichung S + SBv² + SC = 0 Mittelpunkt ist M ( SBSC SCS S SB), gleichzeitig Höhenschnitt es Diagonalreiecks Der Raius ergibt sich zu S SBSC S² Die Steiner-Punkte s( 0 SC SB), Bs ( SC 0 S ), Cs( SB S 0) sin ie Ecken es Höhenfußpunktreiecks es Diagonalreiecks B C C C Tangentialpunkt T un Perspektivzentrum Z fallen in ie Kreismitte M Eine Kreisspiegelung überführt ie Ecken es Steiner-Dreiecks in ie Ecken es Diagonalreiecks un umgekehrt Damit ist ie Zirkularkurve er vier Punkte invariant unter er Kreisspiegelung Für as Diagonalreieck ist besagter Kreis er sogenannte Polarkreis ( polar circle [3]), h er Kreis, für en ie Ecken ie Pole er Gegenseiten sin Nur stumpfwinklige Dreiecke besitzen einen Polarkreis Das Steiner-Dreieck ist für vier konzyklische Punkte as Höhenfußpunktreieck es Diagonalreiecks us er Sicht es Steiner-Dreiecks fällt er Mittelpunkt in eine nkreismitte un er Kreis ist einer er oben angesprochenen Fixkreise er Inversionen

8 Rückblicken weren ie vier usgangspunkte als korresponierenes Quarupel {, B, C, D} einer Zirkularkurve es Steiner-Dreiecks s BsCs angesehen Der zugehörige Tangentialpunkt T liefert mit seinen korresponierenen Punkten as Diagonalreieck BC Zwei korresponierene Quarupel einer Zirkularkurve liegen vierfach perspektiv, wobei ie Perspektivitätszentren wieer ein korresponierenes Quarupel bilen So erhält man zu {, B, C, D} un {, B, C, T} as korresponierene Quarupel { *, B *, C *, Z} Das korresponierene Quarupel { J a, Jb, Jc, J} hat als Tangentialpunkt en Fernpunkt er Zirkularkurve, essen korresponierene Punkte wieer as Bezugsreieck liefern Für vier konzyklische korresponierene Punkte sin ie Quarupel {, B, C, T}, { *, B *, C *, Z, { J, J, J, J ientisch } a b c } Literatur [1] J-P Ehrmann an B Gibert Special Isocubics in the Triangle Plane http//persowanaoofr/bernargibert/ [2] R Stärk un D Baumgartner Ein merkwüriger Punkt es Vierecks PM 1/44 Jg 2002 [3] E W Weisstein Polar Circle http//mathworlwolframcom/polarcirclehtml Eckart Schmit - Holstenstraße 42 - D Raisorf http//eckartschmite eckart_schmit@t-onlinee