Zahlentheorie. Kapitel 14 Quadratische Zahlkörper. Markus Klenke und Fabian Mogge Universität Paderborn

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1 Zahlentheorie Kaitel 14 Quaratische Zahlkörer Markus Klenke un Fabian Mogge Universität Paerborn 9. Mai 008

2 Inhaltsverzeichnis 14 Quaratische Zahlkörer 0 Vorwort A Wieerholung B Verzweigungen über quaratischen Zahlkörern Erinnerung Verzweigungen im Fall, 3 mo Verzweigungen im Fall 1 mo C Einheiten von quaratischen Zahlkörern Erinnerung Definition D Pellsche Gleichung Satz Beisiel Literaturverzeichnis

3 14 Quaratische Zahlkörer A Wieerholung B Verzweigungen über quaratischen Zahlkörern C Einheiten über quaratischen Zahlkörern D Pellsche Gleichung 0Vorwort: Kaitel 14 in em Seminar ZAHLENTHEORIE beschäftigt sich hautsächlich mit er Anwenung er allgemeinen Definitionen un bewiesenen Sätze auf en Fall eines quaratischen Zahlkörers, also K Q[ ]. Der erste Teil Paragrah A - C befasst sich fast ausschließlich mit er Wieerholung einzelner Elemente vorheriger Vorträge un er etaillierten Bestimmung im Sezialfall K Q[ ]. Paragrah D stellt ie Pellsche Gleichung näher vor, welche ein einfach zu berechnenes Mittel arstellt um zum Beisiel ie Einheitengrue O K für K Q[ ] zu bestimmen. Ziel unseres Vortrages ist es, en Zuhörern Möglichkeiten zu vermitteln, welche es zulassen, ohne große Schwierigkeiten Beschreibungen er quaratischen Zahlkörer anzugeben. So sollte es nach em jetzigen Vortrag allen Zuhörern einfacher fallen, ie allgemein hergeleiteten Formeln aus em Seminar an iesen Anwenungsbeisielen zu verstehen un auch an aneren Fällen anzuwenen. Notation: Sei K Q[ ] mit Z quaratfrei; 0, 1 AWieerholung: - Beschreibung von O K Wir efinierten en Ganzheitsring in Kaitel 7 für allgemeine Fälle wie folgt: O K : {a K a ganz über Z} Da sich unser Vortrag mit einem Sezialfall, genauer K Q[ ], befasst, erhalten wir wenn wir ie allgemeine Formel im iesem Fall betrachten folgene Formel: O K { {a + b a, b Z} falls, 3 mo 4 {a + b 1+ a, b Z} falls 1 mo 4 }

4 Die ganzen Elemente aus em quaratischen Zahlkörer sin entweer a + b oer a + b 1+ gewesen. Über iese sezielle Definition von O K konnten wir ein Element ϑ mit folgenen Eigenschaften finen: ϑ : { falls, 3 mo 4 1+ falls 1 mo 4 } Dann ist {1, ϑ} eine Z-Basis von O K - Die Diskriminante In Kaitel 9 führten wir ie Diskriminante ein. Diese iente beisielsweise im Kaitel 13 Verzweigungen von Primzahlen zu erkennen. Wir weren uns auch noch genauer mit iesem Thema beschäftigen Paragrah B. Daher wieerholen wir hier noch einmal wie wir ie Diskriminante efinierten, nämlich im Fall K Q[ ] in folgener Darstellung: - Das Legenre-Symbol K { 4 falls, 3 mo 4 falls 1 mo 4 } Das Legenre-Symbol wure schon in Kaitel betrachtet. Dort iente es als Inikator, ob eine Zahl Z ein quaratischer Rest oer ein quaratischer Nichtrest ist. Auch in iesem Kaitel benötigen wir as Legenre-Symbol, um iese Aussagen für ein sezielles zu erhalten. Sei Z Primzahl un sei Z quaratfrei. Dann folgt falls quaratischer Rest 0 falls 1 falls quaratischer Nichtrest x für x Z/Z mit x x mo x y { 1 falls x 1, 1 mo 8 1 falls x 1, 1 mo 8 x xy 3

5 - Verzweigungen Verzweigungen im allgemeinen Fall sin schon im Kaitel 1 angesrochen woren. Dort wure gezeigt, ass wir Primzahlen in einer von rei verschieenen Möglichkeiten arstellen können. Wir haben weiterhin gesehen, ass es eine bis auf Reihenfolge eineutige Zerlegung von em Ieal O K finen lässt. Diese Eigenschaft wollen wir nocheinmal wieerholen: Sei Z Primzahl. In iesem Fall haben wir gesehen, ass folgene allgemeine Eigenschaften gelten: a O K 1 ν 1 ν... r ν r b ν 1 + ν ν r [K : Q] Da wir nun wissen, welche Eigenschaften Ieale er Form O K haben, interessiert uns im Seziellen er Fall K Q[ ]. Hier vereinfachen sich ie oberen Gleichungen stark, a wir nur eine Körererweiterung vom Gra haben. Es folgt aher: Sei K Q[ ] [K : Q] [Q[ ] : Q] ν 1 1, ν 0 falls O K ν 1 ν 1 falls O K 1 ν 1, ν 0 falls O K B Verzweigungen über quaratischen Zahlkörern 14.1Erinnerung: Wie schon anfangs erwähnt, versucht ieser Vortrag ie allgemein schon gewonnenen Eigenschaften von Ringen auf quaratische Zahlkörer noch genauer unter ie Lue zu nehmen. Beginnen wollen wir mit Verzweigungen auf quaratischen Zahlkörern. Sei wie in er Notation zu Beginn K Q[ ], Z Primzahl. Wir betrachten zuerst as Minimalolynom µ, welches mit em in er Wieerholung eingeführten Element ϑ eine Nullstelle besitzt. Dieses wir uns wichtige Informationen für ie Primzahl liefern. Definiere also µ wiefolgt: µ : µ ϑ,q Z[X], µ sei as Bil von µ in F [X] Über ieses Minimalolynom können wir nun wie auch schon in Kaitel 1 überrüfen, ob ie Primzahl träge, zerlegt oer verzweigt ist. Es ergeben sich folgene 3 Äquivalenzen: ist träge in O K µ irre ist zerlegt in O K µ µ 1 µ ; egµ i 1; µ 1 teilerfrem zu µ µ x α x β; α, β F ; α β ist verzweigt in O K µ x α ; α F 4

6 Daurch, ass as Element ϑ zwei verschieene Werte annimmt, nämlich entweer ϑ falls, 3 mo 4 oer ϑ 1+ falls 1 mo 4, folgert man schnell, ass auch für µ bzw. µ zwei Fälle betrachtet weren müssen. Diese Fallunterscheiung folgt nun in Abschnitt 14. un Verzweigungen im Fall, 3 mo 4 Behaneln wir zunächst en einfacheren Fall, 3 mo 4. Wir wissen aus er allgemeinen Definition für Minimalolynome, ass für ein solches µ gelten muss, ass µ ϑ,q ϑ 0. Weiterhin muss gelten, ass µ ϑ,q normiert wie auch irreuzibel über Q ist. Durch eine einfache Berechnung sieht man schnell, ass für as Minimalolynom gilt: µ X Fasse nun µ auf als Minimalolynom mit Koeffizienten in : µ X F [X] Führen wir nun ie gleiche Herangehensweise wie im allgemeinen Fall aus, so erhalten wir eine einfache Äquivalenz, über ie wir ie Eigenschaften von sehr leicht berechnen können. Sei nun also Z P rimzahl. Dann gilt: träge µ X F [X] hat keine Nullstelle ggt, 1 un 1 un sin teilerfrem, keine Quaratzahl in F zerlegt µ X F [X] hat zwei verschieene Nullstellen ggt, 1, un 1, a µ F [X] mit µ X + 1 X + 1 verzweigt oer 4 K Um as Gezeigte noch etwas eutlicher zu machen, schauen wir uns ein einfaches Beisiel an, bei em ie Eigenschaften irekt nachgewiesen weren können: Beisiel: Seien für as Beisiel ie Zahlen 10 un ie Primzahl 7 gegeben. Durch genaues Hinsehen kann man sofort erkennen, as ie beien Zahlen teilerfrem sin. Hieraus können wir nach Gesehenem sofort aussagen, ass 7 nicht verzweigt sein kann. Es folgt also: träge oer zerlegt. Um ies zu überrüfen betrachten wir as Legenre- Symbol er beien Zahlen:. Nun berechnen wir wie gewohnt as Legenre-Symbol: 10 7 i 4 ii über iese Berechnung wissen wir nun, ass nicht träge ist un aus er gleichen Rechnung sehen wir ebenfalls: 7 ist zerlegt 5

7 Bemerkungen: i Reuktion er Zahl 10 moulo 7. ii Multilikativität es Legenre-Symbols: Verzweigungen im Fall 1 mo 4 Nach em recht simlen Fall, 3 mo 4 betrachten wir nun en etwas komlizierteren Fall 1 mo 4. Durch eine einfache Rechnung gilt fr as Minimalolynom µ X X 1 4. Wie im Vorherigen wollen wir auch erst as Polynom µ bestimmen. Dieses wir urch ie Gestalt von ϑ etwas komlizierter, lässt sich allerings auch urch kleinere Rechnungen einfach erzeugen un hat folgene Form: 1 mo 4 µ X X 1 4 F Zur Vereinfachung er Schreibweise efinieren wir δ : 1 4 Z. Dies ist wieer eine ganze Zahl, a 1 mo 4. Durch ie Gestalt es Minimalolynoms µ müssen wir weiterhin en Sezialfall searat betrachten. Fall : Ist ie Primzahl, so erhalten wir folgenes Minimalolynom: µ X X δ F [X] Wegen δ 0 oer δ 1 müssen wir noch einmal eine Fallunterscheiung, für je einen er Werte ie δ annehmen kann, betrachten: a b δ 0 1 ist urch 8 teilbar mo 1 0 mo 8 µ X + 1X F [X] ist zerlegt. δ 1 1 ist nicht urch 8 teilbar. µ X + X + 1 F [X] ist irreuzibel. ist träge. Bemerkung: Da wir alle Fälle für betrachtet haben können wir folgern: ist nie verzweigt. 6

8 Nachem er Sezialfall abgehanelt wure, wollen wir uns nun en aneren Primzahlen wimen. Fall : Hier besitzt as Polynom µ ie Form wie sie im Vorhergegangenen schon einmal efiniert wure, un zwar µ X x δ F [X] Um ieses Polynom besser angehen zu können, verwenen wir eine Substitution, welche, wie wir säter sehen weren, vieles vereinfacht, a as neue Polynom sehr stark em aus Fall, 3 mo 4 ähnelt. Substituiere: Y : X 1 Durch iese Substitution erhalten wir ein weiteres Polynom µ F [Y ]: µ : Y 4 F [Y ] Wie schon im Fall, 3 mo 4 erhalten wir nun rei Arten von : träge µ Y 4 ist irreuzibel über F [Y ] ggt, 1 un 1 zerlegt µ Y 4 F [Y ] hat zwei verschieene Nullstellen ggt, 1, 1 verzweigt 4 k Beisiel: Seien für as Beisiel wieer zwei Zahlen 101, 149 gegeben. Auch in iesem fall gilt wieer ass ie Zahlen teilerfrem sin, was en Schluss zulässt, ass nicht verzweigt ist. Daher müssen wir uns nur er Frage wimen ob zerlegt oer träge ist. Dazu betrachten wir wieer as Legenre-Symbol gibt, in welchem Zustan ie Zahl 149 vorliegt. Berechne wie folgt:, welches uns Aufschluss arüber 101 i ii 48 iii 3 i Nach er Definition wissen wir aher, ass 149 träge ist ii iv 1 3 7

9 Bemerkungen: Seien, q Z Primzahlen, x, y Z i Quaratisches Rezirozitätsgesetz: Sei ii Reuktion von q x y q 1 q mit x mo y zu iii Multilikativität es Legenre-Symbols: xy z iv { x 1 falls x 1, 1 mo 8 1 falls x 1, 1 mo 8 falls, q 1 mo 4 falls, q 3 mo 4 x y, wobei x Z/yZ x z y z. Durch ie beien Fälle sin ie Verzweigungen über quaratischen Zahlkörern vollstänig erfasst woren un mit ieser Methoe können alle Primzahlen auf iese Eigenschaften überrüft weren. C Einheiten von quaratischen Zahlkörern Nach en Verzweigungen beschäftigt sich Paragrah C mit Einheiten von quaratischen Zahlkörern. Es ist über mehrere Verfahren möglich iese zu bestimmen. Wir wollen eine kurze Einsicht über ie Methoe mit Hilfe es Dirichletschen Einheitensatzes un esweiteren eine genaue Bestimmung unter er Benutzung er Pellschen Gleichung vornehmen um ann säter eine einfache Berechnung er Einheiten eines bestimmten quaratischen Zahlkörers möglich zu machen Erinnerung: Wie schon im Einleitungssatz zu Paragrah C erwähnt, wollen wir zuerst mit Hilfe es Dirichletschen Einheitssatzes ie Einheiten von quaratischen Zahlkörern bestimmen. Dies wure schon in Kaitel 11 für allgemeine Zahlkörer getan, aher weren wir ie Schritte hier noch einmal wieerholen, um iese Methoe bei quaratischen Zahlkörern anzuwenen. Zunächst hatten wir reelle sowie komlexe Einbettungen efiniert, welche eine wichtige Rolle im Dirichletschen Einheitensatz sielen. reelle Einbettungen r : #{τ Hom Q K, C τk R} komlexe Einbettungen s : 1 #{τ Hom QK, C τk R} Mit Hilfe ieser Einbettungen konnten wir über en Dirichletschen Einheitensatz eine Beschreibung für ie Einheitengrue O K finen. Der irichletscher Einheitensatz sagt aus: O K Z r+s 1 µk Wobei µk : {z K n 1 : z n 1} 8

10 Betrachten wir en Dirichletschen Einheitensatz nun im Fall K Q[ ], so erhalten wir eine vereinfachte Version es allgemeinen Satzes, in em wir außerem eine Fallunterscheiung betrachten müssen, enn beim Ziehen er Wurzel von erhalten wir entweer reelle oer komlexe Einbettungen. Daher gibt es folgene zwei Fälle: 1 < 0 r 0, s 1 O K Z µk µk > 0 r, s 0 O K Z +0 1 µk In iesem Fall: µk {±1}, a K R Für unseren Vortrag ist allerings nur Fall wichtig, a wir uns mit Zahlen > 1 befassen un ie Pellsche Gleichung nur für solche efiniert ist. 14.5Definition: Sei > 0. Ein ε O K heißt Funamentaleinheit oer Gruneinheit, wenn jees a O K von er Form a ±ε n für ein n Z ist. Beisiel: Sei 5. Dann ist eine Funamentaleinheit siehe D Pellsche Gleichung Durch Lösen er Pellschen Gleichung für sezielle ist es möglich, ie Einheiten es Ganzheitsrings von Q[ ] zu finen. 14.6Satz: Sei > 1 quaratfrei. Die Pellsche Gleichung X Y 1 hat unenlich viele Lösungen x, y Z. Es gibt eine Lösung x 1, y 1, so ass alle aneren Lösungen von er Form x n, y n mit x n + y n ±x1 + y 1 n sin, wobei n Z. Genauer gilt: Sei ε O K Funamentaleinheit un sei a min{m > 0 Nεm 1, ε m Z[ ]}. Dann gilt: x 1 + y 1 ε a 9

11 Beweis: x, y ist Lösung er Pellschen Gleichung x+y Q[ ] ist ein Element er Norm 1. Sei ε eine Funamentaleinheit. Fall 1 mo 4 : Gilt Nε 1, so sin alle Einheiten Lösungen. Gilt Nε 1, so sin ie Einheiten von er Form ε n Lösungen. Bemerkung: x + y ist ganz Lösungen sin ie Einheiten, ie Norm 1 haben un in Z[ ] O K liegen. Fall 1 mo 4 : Setze I : { m Z N±ε m 1, ±ε m Z[ } ] Ieal in Z. Hier zeige man, ass I ein Ieal ist. Zu zeigen: I ist nicht as Nullieal. Es genügt zu zeigen: b > 0 : ε b Z[ ]. Falls Nε b 1 un somit b I betrachten wir b, enn ann gilt: b I. Daher reicht es ein solches b zu finen. Betrachte: ε a + b 1 + a + b + b 1 a + b mit a a + b, b b, a b 0 mo Sei n > 0. ε n 1 a n + b n, an, b n Z, a n b n mo. Nε ±1 ε n ± 1 a n b n 10

12 Da es nur enliche viele Möglichkeiten für ie Restklassen von a i un b i moulo 4 gibt, finet man r s mit a r a s, b r b s mo 4. Ohne Einschränkung: r > s. Dann gilt: ε r s ± 1 4 a r + b r as b s ± 1 4 a ra s b r b s + a s b r a r b s Behautung: ± 1 4 a ra s b r b s + a s b r a r b s Z[ ]. Begrünung: Nach Voraussetzung gilt: a r a s, b r b s mo 4, r s Betrachte: a n b n mo a n b n + k Dann ist a n b n + k b n + 4k }{{} 0 mo 4 + 4k }{{} 0 mo 4 a n b n 0 mo 4 Es gilt: Zuem gilt: a r a s b r b s a s b s 0 mo 4 a s b r a r b s a s b s a s b s 0 mo 4 Es folgt also: ± 1 4 a ra s b r b }{{} s + a s b r a r b }{{} s 0 mo 4 Hierraus folgt ie Behautung. 0 mo 4 0 mo 4 Es gilt also I {0} un I az für ein a > 0. Ist nun ε a x 1 + y 1, so sin alle aneren Lösungen von er Form xn, y n mit x n + y n x1 + y 1 n. q.e Beisiel: Sei 5. Da 1 mo 4 ist in iesem Fall ε von er Form 1 a + b 5. Desweiteren gilt a b mo. ε > 0 ist für minimale a, b in iesem Fall nur für a b 1 gewährleistet. Daher gilt: ε

13 ε ist eine Funamentaleinheit. Nun gilt es ein n N zu finen, so ass ε n Z[ 5]. Nε 1 n ist gerae. ε Z[ 5] ε Z[ 5] ε Z[ 5] Also gilt für ie ganzzahlige Lösung x 1, y 1 er Pellschen Gleichung für 5: x 1 9, y 1 4 1

14 Literaturverzeichnis: A.Schmit: Einführung in ie Algebraische Zahlentheorie, Sringer Verlag