d(m v) dt = m v beinhaltet einen Kraftterm aufgrund der angelegten Felder (Lorentzkraft) F = e E + v B

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1 Festkörperphysik I Prof Klaus Ensslin HS 216 Verteilung: 23 November 216 Nachbesprechung: 3 November / 1 Dezember Übungsblatt: Lösungen Aufgabe 1: Der Hall-Effekt im Drue-Moell a) Die Gleichung für ie zeitliche Änerung es Drue-Impulses (m v) t = m v beinhaltet einen Kraftterm aufgrun er angelegten Feler (Lorentzkraft) ( ) F = e E + v B un en Reibungsterm, er zuerst anschaulich hergeleitet weren soll + F (1) Zur Zeit t = sin ie Wellenvektoren k er Elektronen innerhalb er Fermi-Kugel gleichmässig verteilt (siehe Fig 1a) Unter Einwirkung einer äusseren Kraft (hier: ein elektrisches Fel) über ie Zeit t verschiebt sich ie Fermikugel als Ganzes um en Vektor δ k = e Et/ (3) (2) t= k y t k y k x k x Fig 1a Fig 1b Infolge er Stösse mit Verunreinigungen, Gitterfehlern un Phononen relaxieren ie Elektronen im Mittel nach er Streuzeit Bei abgeschaltetem Fel würen ie Elektronen wieer en gleichverteilten Zustan in Fig 1a einnehmen Bei bestehenem Fel hingegen stellt sich ein stationärer Zustan ein, er urch eine um δ k = e E/ (4) verschobene Fermikugel im k-raum beschrieben wir Der angelegten elektrischen Kraft wirkt also eine gleich grosse Kraft entgegen, ie Reibungskraft Nur so gibt es einen stationären Zustan, h as Elektron wir bei einer enlichen Geschwinigkeit stabilisiert Die Reibungskraft ist amit gegeben urch δ k/ Die Driftgeschwinigkeit v ist eine mittlere Geschwinigkeit er Elektronen in einem angelegten Fel Die thermischen Grun-Geschwingkeiten er Elektronen sin in alle Richtungen gleichverteilt un ergeben aher bei er Mittelung keinen Beitrag Es gilt aher un es folgt er Reibungsterm in Gleichung (1) m v = δ k (5)

2 B E x E y j x b) Im stationären Zustan verschwinet ie zeitliche Ableitung in en Bewegungsgleichungen un man erhält für ie Impulskomponenten in er Ebene = ee x ω c mv y mv x, (6) = ee y + ω c mv x mv y, (7) wobei ω c = eb m ie Zyklotronfrequenz ist Einsetzen von j = ne v liefert ie Gleichungen für ie Komponenten er Stromichte: = ne 2 E x + ω c mj y + mj x, (8) = ne 2 E y ω c mj x + mj y (9) Die in er y-richtung gemessene Hallspannung erfolgt stromlos Daher wir ie Lorentzkraft aufgrun er v x -Komponent gerae urch as entstehene elektrische Fel E y kompensiert Wir setzen j y = un erhalten aus er ersten Gleichung ρ(b) E x = m j x ne 2 (1) Dies ist nicht vom Magnetfel abhängig Im Gegensatz azu beobachtet man in verschieenen Materialien un Systemen eine wesentliche Abängigkeit ρ(b), wofür ie Quantenmechanik eine bessere Beschreibung liefert Mit j y = liefert ie zweite Gleichung R H E y j x B = 1 ne (11) c) Der Hall-Koeffizient nach Drue ist unabhängig vom Magnetfel, er Probenqualität ( ) un er Temperatur (, es sei enn, ie Elektronenichte hänge von er Temperatur ab) Somit liesse sich ie Laungsträgerichte im Metall irekt bestimmen (un mit er Annahme vergleichen, ass es genau ie Valenzelektronen aller Atome sin, ie an er elektrischen Leitung teilnehmen) Experimente zeigen, ass in vielen Metallen R H sehr wohl abhängig vom Magnetfel etc sein kann Darüber hinaus ist ie Laungsträgerichte nicht immer konsistent mit er Anzahl er Valenzelektronen un ie Laungen können positive Vorzeichen annehmen ( Löcher ) Offensichtlich versagt in vielen Fällen as Drue-Moell er freien Elektronen Die Wechselwirkung mit em perioischen Gitterpotential im Festkörperkristall führt azu, ass nur Elektronen in nicht vollstänig besetzten Energiebänern zum Stromtransport beitragen können, un ass für mehr als halb besetzte Bäner er Strom von positiv gelaenen Löchern getragen wir Zuem können bei mehreren, unterschielich gefüllten Bänern beie Laungsträgertypen gleichzeitig auftreten Generell kann man sagen, ass eine isotrope Fermifläche ie nur aus einem Ban besteht gut urch as Drue-Moell beschrieben wir Die folgene Graphik zeigt ie (berechneten) Fermiflächen für Kalium, Kupfer, Magnesium un Aluminium Die Fermiflächen er Alkalimetalle sin alle sehr ähnlich un fast perfekt kugelförmig Die Fermiflächen er Eelmetalle (hier Kupfer) sin grösstenteils kugelförmig, weisen aber ie charakteristischen Hälse auf Die Fermiflächen von Magnesium un Aluminium, sin sehr anisotrop un bestehen aus verschieenen Bänern (verschieene Farben) Es ist aher nicht verwunerlich, ass as Drue-Moell bei iesen Metallen versagt

3 K Cu Mg Al Aufgabe 2: Leitwert in ünnen Filmen Im iffusiven Fall ist er spezifische Leitwert proportional zur mittlere freien Weglänge (siehe zb Drue- Moell) Durch ie iffusive Grenzfläche weren ie Elektronen zufällig in alle Richtungen gestreut, bevor sie ihre mittlere freie Weglänge im Falle eines ausgeehnten Stück Metalls ausgeschöpft haben Man betrachtet also ein Elektron, welches im Abstan x zur nächsten Grenzfläche elastisch gestreut wure un zwar im Winkel θ bezüglich es Lots zur Grenzfläche Die mittlere freie Weglänge wir neu eine Funktion von θ sein, λ(θ) un λ = λ nur wenn θ 1 < θ < θ 2 mit cos(θ 1 ) = ( x)/λ un cos(θ 2 ) = x/λ Für θ θ 1 gilt: λ(θ) = ( x)/ cos θ Für θ 2 θ π: λ(θ) = x/ cos θ Durch Mittelung über en Abstan x zur Oberfläche un en gesamten Raumwinkel erhält man λ = x Ω λ(ω, x) x = 1 Ω λ = 1 2 x π x 1 2π 2π ϕ 1 2 θλ(θ, x) sin θ = ln ( λ π θ= ) (cos θ) λ(θ, x), Es folgt σ = λ = 3 + σ λ 4λ 2λ ln ( ) λ

4 Anmerkung: Die hergeleitete Formel gilt auch für en Fall, ass λ Dann kann man en Logarithmus bis zur zweiten Ornung um 1 herum entwickeln λ = ( ) 2 log λ [ (λ ) ( ) ] 2 λ 2 1 = λ 1 λ 2 4 = λ + O (1/) Für erhält man amit as gesuchte Ergebnis Mathematisch ist as nicht ganz sauber, a man zunächst annimmt, ass λ un ann ; physikalisch kann man iese Vorgehensweise aber ennoch motivieren Zusatzaufgabe: Semi-klassisches Moell für en Quanten Hall Effekt a) Der Hamiltonian ist er gleiche wie für en quantenmechanischen harmonischen Oszillators Die Energieniveaus sin emensprechen ( E n = ω c n + 1 ) 2 b) Die maximale Anzahl an Zustänen pro Lanau-Level m max ist erreicht, wenn y = L Daraus folgt L = kmax x eb = 2πm max eb L m max = eb h A Die Entartung eines Lanau-Levels beträgt also eb h A Die Entartung pro Fläche ist amit eb h, un er Füllfaktor wir aher über ν = n/(eb/h) efiniert c) Einsetzen liefert ρ xy = B en = B e νeb h = h e 2 ν Damit haben wir schon en Ausruck für en quantisierten Wierstan gefunen Allerings können wir amit nur einzelne iskrete Werte es Kurvenverlaufs richtig wiergeben; eine Erklärung für ie Ausbilung von Plateaus haben wir amit noch nicht gefunen ) Die Berechnung er Zustansichte ergibt: D LL (E) = 1 N(E) A E = 1 A E n eb h AΘ(E E n) = eb h δ(e E n ) n Die Zustansichte ist also urch δ-peaks gegeben, ie einen Abstan von ω c voneinaner haben Da ie Temperatur im Experiment nicht K beträgt, weren ie Peaks verbreitert sein Da E n über ω c linear von B abhängt, kann man urch Veränerung es angelegten B-Feles ie Anzahl er besetzten Lanau-Levels un amit en Füllfaktor veränern (siehe Bil)

5 Wenn ν einen ganzzahligen Wert annimmt, ν N, ann liegt ie Fermienergie genau zwischen en Lanau- Niveaus ν un ν + 1, also E F = ω c (ν + 1) Kleine Veränerungen es Magnetfeles verschieben ann nur ie Peaks in er Zustansichte relativ zur Fermienergie (siehe Bil), aber ie Laungsträgerkonfiguration bleibt gleich, a sich ie Fermienergie in er Lücke zwischen zwei Lanaulevels befinet Für ein genaueres Verstännis muss man sich ie Bewegung er Laungsträger anschauen In er Mitte er Probe führen ie Laungsträger Zyklotronorbits aus, as beeutet, sie sin lokalisiert un nehmen nicht am Stromtransport teil Am Probenran agegen stossen sie gegen ie Begrenzung; statt Orbits bilen sich sogenannte Rankanäle aus Pro Lanau-Niveaus gibt es einen Rankanal, er einen Beitrag von h/e 2 zum Hall-Wierstan liefert Daher bilet sich ein Plateau in ρ xy mit em quantisierten Wert h/(e 2 ν) aus Aus ieser Überlegung lässt sich auch eine Maximaltemperatur zur Beobachtung es QHEs angeben, nämlich kt < ω c Diese semi-klassische Erklärung es QHEs kann bei weitem nicht alle Phänomene, ie en QHE auszeichnen, erklären Sie gibt aber einen Einblick in eine er wichtigsten Enteckungen in er Festkörperphysik überhaupt