10. Lagrange-Formalismus

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1 Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe013 Prof Dr Dieter Lüst Theresienstr 37, Zi Lagrange-Formalismus Dr James Gray Übung 101: Penel an Feern Eine Punktmasse m 1 ist wie in ie Abbilung urch zwei Feern an zwei Wänen befestigt Die Ruhelänge er Feern entspricht gerae em Fall, ass m 1 sich in er Mitte zwischen en Wänen befinet Beie Feern haben ie gleiche Feerkonstante k, h ie Rückstellkraft ist em Betrage nach F = k x Die Punktmasse m 1 arf sich nur waagerecht (entlang er x-achse) bewegen Es ist eine weitere Punktmasse m mit einem masselosen Stab er Länge l an m 1 befestigt Die zweite Punktmasse kann in er x z-ebene Aufgaben unter em Einfluss 185 er homogenen Schwerkraft F G = m gê z schwingen Der Auslenkungswinkel es Penels ist ϕ mer nach außen bewe- m 1 x ê ϕ (68) auf em Stab hält un Da sich ie Perle frei ir ie Zentrifugalkraft rt egen V = 0 auf k F G ϕ l k m Messung V = 0 in Zylinerkoa) Wählen Sie geeignete verallgemeinerte Koorinaten un stellen Sie ie Lagrange-Funktion ω auf (630) 1 Wählen Sie geeignete verallgemeinerte Koorinaten un stellen Bewegungsgleichungen Sie ie Lagrange-Funktion ab auf b) Leiten Sie ie it ρ nur eine c) verallgesgleichung kann Bewegungsgleichungen irekt 3 Nehmen jeweils Sie nuninan, er ass Form er Auslenkungswinkel ϕ klein ist Nehmen Sie nun Leiten an, ass Sie ie erbewegungsgleichungen Auslenkungswinkel ϕ klein ab ist Zeigen Sie, ass sich beie Zeigen Sie, ass sich a q + beie bq = f(q Bewegungsgleichungen, q, q ) jeweils (1) in er Form schreiben (631) lassen Hier sin a un b konstante Koeffizienten, a q + bq = f (q, q, q q ist ie eine un q ie anere verallgemeinerte Koorinate Beie Bewegungsgleichungen ) beschreiben (633) eine getriebene m ersten Aufgabenteil Schwingung schreiben lassen Hier sin a un b konstante Koeffizienten, g muss selbstverstän- q ist ie eine un q ie anere verallgemeinerte Koorinate Lösung von Übung 101 rhaltung im Formalisiter Art aus? Hier soll Schwingung Dies wir in Kapitel 7 genauer iskutiert Hinweis: Zwangsbeingung f = 1 Resultat:, (63) mρ ρω (69) Die Massen Abbilung m 1 un 610m Die sin Massen urch m 1 einen un mstab siner urch Länge einenl verbunen Stab er Länge Währen l verbunen Währen m enn sich ie Perle raial m 1 über zwei Feern mit Feerkostanten 1 über zwei Feern k an en mitwänen Feerkostanten befestigt k an ist, kann m en Wänen befestigt ist, kann m an m 1 unter em Einfluss er Gra- an m 1 unter em Einfluss er Gravitationskraft F G schwingen vitationskraft F G schwingen z Beie Bewegungsgleichungen beschreiben eine getriebene ausführliche Lösung:

2 a) Wir wählen ie Koorinaten so, ass ie Punktmasse m 1 im Gleichgewicht x = 0 un z = 0 erfüllt Die y-koorinate spielt hier keine Rolle Es gibt mit x un ϕ zwei Freiheitsgrae Die Koorinaten er beien Punktmassen lauten ( ) ( ) x x + l sin ϕ x 1 = un x 0 = l cos ϕ Daraus ergeben sich ie Geschwinigkeiten ( ) ẋ ẋ 1 = un ẋ 0 = ( ẋ + l ϕ cos ϕ l ϕ sin ϕ ) Die kinetische Energie lautet T = m 1 ẋ + m (ẋ + l ϕ + lẋ ϕ cos ϕ ) Die Auslenkung x er ersten Punktmasse hängt mit er in en Feern gespeicherten potentiellen Enregie zusammen: V 1 = k x + k x = kx Die zweite Punktmasse bewegt sich im homogenen Schwerefel un hat ie potentielle Energie Es ergibt sich ie Lagrange-Funktion V = m gl cos ϕ L = m 1 + m ẋ + m l ϕ + m l(ẋ ϕ + g) cos ϕ kx () b) Aus er Lagrange-Funktion () folgen ie Bewegungsgleichungen un t [(m 1 + m )ẋ + m l ϕ cos ϕ] + kx = 0 [ m l ϕ + m lẋ cos ϕ ] + m l(ẋ ϕ + g) sin ϕ = 0 t Nach Ausführung er Zeitableitung verbleiben ie Gleichungen un (m 1 + m )ẍ + m l ϕ cos ϕ m l ϕ sin ϕ + kx = 0 l ϕ + ẍ cos ϕ + g sin ϕ = 0 c) Kleine Winkel beeuten, ass ie trigonometrischen Funktionen entwickelt weren können: sin ϕ ϕ un cos ϕ 1

3 Die Bewegungsgleichung für x nimmt ann ie folgene Form an: Entsprechen erhält man für ϕ (m 1 + m )ẍ + kx = m l( ϕ ϕ ϕ) (3) l ϕ + gϕ = ẍ (4) Beie Gleichungen haben ie Form (1) Die Bewegungsgleichungen sin nicht einfach zu lösen, a sie eng miteinaner gekoppelt sin: Die Argumente auf en rechten Seiten von (3) un (4) erhalten jeweils ie anere Koorinate, (3) sogar en nicht-linearen Term ϕ ϕ Übung 10: Bewegungsgleichungen in Kugelkoorinaten aus em Lagrange-Formalismus a) Stellen Sie ie Bewegungsgleichungen einer Punktmasse in Kugelkoorinaten auf Nutzen Sie azu en Lagrange-Formalismus Das Potenzial soll abei eine allgemeine Funktion V (r, θ, φ) sein b) Eine Punktmasse bewege sich in einem raialsymmetrischen Potenzial V (r) Allerings ist ihre Bewegung urch eine Zwangsbeingung nur auf einer Kegeloberfläche mit Öffnungswinkel θ = θ 0 möglich Stellen Sie ie Bewegungsgleichungen für ieses Problem auf Zeigen Sie, ass ie Raialgleichung in er Form m r = V eff r geschrieben weren kann Wie lautet as effektive Potenzial V eff? c) Überlegen Sie sich en Fall,ass ie Zwangsbeingung nicht zu einer Bewegung auf einem Kegel führt, sonern zu einer Bewegung auf einer Ebene mit φ = φ 0 Stellen Sie ie Bewegungsgleichungen auf un lösen Sie sie für ie kräftefreie Bewegung in er Form r(θ) Welche Gestalt hat ie resultierene Bahnkurve? (Diese letzte Frage lässt sich auch irekt urch Nachenken beantworten) Lösung von Übung 10 a) Die Koorinaten er Punktmasse in Kugelkoorinaten lauten x 1 = r sin θ cos ϕ, x = r sin θ sin ϕ un x 3 = r cos θ Es gibt keine Zwangsbeingungen; es müssen also alle rei Koorinaten (r, θ, ϕ) berücksichtigt weren Um ie kinetische Energie T in Kugelkoorinaten zu erhalten, müssen ie ersten Zeitableitungen bestimmt weren Dabei hängen sowohl r, θ, als auch ϕ von er Zeit ab Das Ergebnis ist ẋ 1 = ṙ sin θ cos ϕ + r θ cos θ cos ϕ r ϕ sin θ sin ϕ, ẋ = ṙ sin θ sin ϕ + r θ cos θ sin ϕ + r ϕ sin θ cos ϕ, ẋ 3 = ṙ cos θ r θ sin θ 3

4 Die kinetische Energie lautet T = m (ẋ 1 + ẋ + ẋ 3) = m [ ṙ + r ( θ ] + ϕ sin θ) Der Umformungsschritt besteht vor allem aus Fleissarbeit un mehrfacher Anwenung er Ientität sin x + cos x = 1, bereitet aber keine konzeptionellen Schwierigkeiten Man erkennt, ass keine gemischten Terme wie ṙ θ oer θ ϕ auftreten Die Lagrange-Gleichungen für r, θ un ϕ sin t (mṙ) mr( θ + ϕ sin θ) = V r, t (mr θ) mr ϕ sin θ cos θ = V θ, t (mr ϕ sin θ) = V ϕ b) Die Zwangsbeingung ist holonom un lautet f = θ θ 0 = 0 Glücklicherweise ist sie mit en Kugelkoorinaten verträglich Allerings gibt es nur noch zwei unabhängige Parameter: en Raius r un en Azimutwinkel ϕ Da θ nicht mehr zu en generalisierten Koorinaten gehört, sin einfach alle Terme θ aus er Lagrange- Funktion zu streichen, un θ ist urch ie Konstante θ 0 zu ersetzen Dies führt auf L = m (ṙ + r ϕ sin θ 0 ) V (r) Die Bewegungsgleichungen lauten emnach t (mṙ) mr( ϕ sin θ 0 ) = V r t (mr ϕ sin θ 0 ) = 0 un Der konjugierte Impuls p ϕ = mr ϕ sin θ 0 ist erhalten un kann verwenet weren, um ϕ aus er Bewegungsgleichung für r zu eliminieren: m r Wir schreiben iese Gleichung als p ϕ mr 3 sin θ 0 = V r mit em effektiven Potenzial m r = V eff r V eff = V (r) + p ϕ mr sin θ 0 4

5 c) Für ie Zwangsbeingung f = ϕ ϕ 0 = 0 un ie kräftefreie Bewegung ist ie Lagrange-Funktion L = T = m (ṙ + r θ ) Hier sin r un θ ie beien unabhängigen Koorinaten Entsprechen finet man schnell ie Bewegungsgleichungen t (mṙ) mr θ = 0, t (mr θ) = 0 Hier ist θ zyklisch un er konjugierte Impuls p θ = mr θ erhalten Die Raialgleichung vereinfacht sich zu m r = r p θ mr Nach Multiplikation mit ṙ = r/t lässt sich ies zu m ṙ = p θ mr + C aufintegrieren Wie iese Gleichung zu lösen ist, zeigt er Abschnitt 33 im Skript 13/T1/mechanikskriptpf un es ergibt sich θ θ 0 = arcsin p θ/r mc Hier ist θ 0, neben C, eine weitere Integrationskonstante allgemeine Lösung somit Leicht umgeformt lautet ie r cos(θ θ p ) = p θ mc, (5) wobei θ p er Winkel ist, bei em ie Punktmasse en kleinsten Abstan vom Ursprung besitzt Anhan von Abbilung (15) in 13/T1/mechanikskriptpf sieht man, ass (5) eine Gerae in Kugelkoorinaten beschreibt Sie liegt in er Ebene, ie urch ϕ = ϕ 0 festgelegt ist un läuft im Abstan p θ / mc am Ursprung vorbei Dass es sich um eine Gerae hanelt, liegt auf er Han: Die kräftefreie Bewegung einer Punktmasse in einer Ebene kann nur entlang einer Gerae erfolgen Übung 103: Penel mit variabler Faenlänge Stellen Sie sich zunächst eine sphärisches Penel vor (iese Art von Penel wir im Skript 13/T1/mechanikskriptpf ausführlich vorgestellt 5

6 Variationsrechnung eren noch eine wichtige Rolle 3 e äche ugeloberfläche mit Raius R oorinaten einer Punktmasse O R in ϑsin ϕ, x3 = Rcos ϑ (69), ϕ), un ie beien unabhänf G = mg e3 1 = ϑ [0, π) un q = ϕ Offensichtlich weren q1 un ngung beeinflusst Sie eignen Abbilung 6 Das sphärische Penel sich als einevorstellen, PunktDas spha rische Penel kann man sich alskann eineman Punktmasse ie zu oorinaten für as Problem masse vorstellen, ie zu einem Aufhängepunkt (Ursprung O) en koneinem (Ursprung O) en konstanten Abstan R besitzt Das Aufha ngepunkt stanten Abstan R besitzt Das Penel kann unter em Einfluss er Penel kann unter em Einfluss er Schwerkraft schwingen Schwerkraft schwingen n verallgemeinerten Nun seikoorinaie Faenla nge nicht mehr konstant (wie in er Abbilung argestellt), sonern sie ist e Koorinaten beschränkt sein Da Zwangsbeingungen allen Zeiten gelten, erfüllen ie urch ie Funktion R ie = R(t) vorgegeben unzusomit zeitabha ngig q j beispielsweise um Winkel SieAnfangsbeingungen a) Bestimmen ie Lagrange-Funktion in Kugelkoorinaten Nutzen Sie azu ie Ergebie generalisierten nisse Koorinaten aus er vorangegangenen Aufgabe x0 R = 0, x0 v0 = 0, (61) menfassen Es wir stattessen b) Geben Sie ie Bewegungsgleichungen an Was ist beim Aufstellen er Bewegungsgleichunierten Koorinaten als skalare wobei v = x ie ist Wirer wissen, ass ie Bewegen zu beachten (enken SieGeschwinigkeit abei an ie Anzahl Freiheitsgrae)? gung einer freien Punktmasse urch rei Differenzialgleichungen zweiter Ornung beschrieben wir, eren vollstänige Integration sechs Parameter (z B in Form von AnfangsbeingunLo sung von U bung 103 gen) benötigt Wegen (61) bleiben avon allerings nur vier unabhängige übrig Es kann zuna chst irekt ie Lagrange-Funktion in Kugelkoorinaten aufgeschrieben weren: lässt sich ie Problematik er m? ϕ sin θ)] mgr cos θ kräfte sowie eines Lösungsver- L = T V = [r + r (θ + eim sphärischen Penel hanelt Überlegen Sie sich anhan von (61), ass ie Anfangsgev0 tangential zur verläuft Aufstellung er Bewegungsgleichung istkugeloberfläche zu beachten, ass nur θ un ϕ Freiheitsgrae ie sich unterbei emer Einfluss er schwinigkeit auf er Oberfläche Kugel sin einer Es gibt aher nur zwei Lagrange-Gleichungen Obwohl er Raius un seine Zeitableitung lung 6) Man kannlagrange-funktion sich beiin er auftritt, hanelt es sich abei um eine vorgegebene Funktion ohne Offensichtlich steht ie Zwangsbeingung (610) im WierPunktmasse an einem masselofreiheit Die Bewegungsgleichungen lauten spruch zur Lösung er Newton schen Bewegungsgleichung einer ist Der Ursprung O liege im Punktmasse im Schwerefel, mr θ + mrr θ = mr ϕ sin θ cos θ + mgr sin θ utet ie holonome Zwangsbe1 x(t) = gt + v0 t + x0 (613) un ) R = 0 (610) Wir ϕ müssen Z r einführen, sin θ +aher mr eine ϕ θ sinzwangskraft θ cos θ + mr ϕ sin θ =um 0 ie ie Bahnkurve x(t) eine Funk- mr ängigkeit nur implizit über ie Bewegungsgleichung mit er Zwangsbeingung kompatibel zu, hanelt es sich um eine skle- machen; wir schreiben rheonome Zwangsbeingung m x = mg + Z (614) Kugelraius selbst eine Funk(t) Dies wir in Aufgabe 64 Diese Zwangskraft kann nur von em Faen auf ie Punktmasse ausgeübt weren un muss entlang es Faens wirken Da wir allerings noch nicht wissen, welchen Betrag ie Zwangskraft Zeitabhängigkeiten nicht mehr hat, notieren wir tableitungen er ZwangsbeinZ = λx (615) 6 Man nennt en Proportionalitätsfaktor λ einen Lagrange- = x + x x = 0 (611) Multiplikator Der Grun für en zusätzlichen Faktor wir Theoretische Physik