Felder und Wellen WS 2017/2018 C = U = φ(2) φ(1)

Transkript

1 Feler un Wellen WS 017/018 Musterlösung zum 6. Tutorium 1. Aufgabe (**) Kapazität kann für jee beliebige Leiteranornung efiniert weren C = εe = f E s s }{{} φ() φ(1) Sin mehrere Leiter vorhanen, befinen sich ie Punkte 1 un auf en Leitern. Da Leiter Äquipotentialflächen sin (φ = const.), ist es egal welchen Punkt auf em Leiter man trifft. Ist nur ein Leiter vorhanen, wanert er Punkt ins nenliche (φ( ) = 0). Leiter = E s = φ(leiter) φ( ) = φ(leiter) }{{} =0 Die Laung auf er leitenen Kugel verteilt sich gleichmäßig auf er Oberfläche. Das Fel wir mit em Gaußschen Satz berechnet D f = r = Punktlaungsfel! π π 0 0 εe r (r)r sinϑϑϕ = }{{} 4π E r (r) = 4πεr = R 1 E r (r)r = [ ] R1 4πεr = 4πεR 1

2 Damit kann ie Kapazität als C = = 4πεR 1 efiniert weren. Beim Kugelkonensator verschwinet as Fel für r > R. R 1 [ ] R = E r (r)r = 4πεr R 1 R = ( 1 1 ) 4πε R 1 R C K = = 4πε 1 R 1 1 R = 4πε R 1 R (R R 1 ) Die Kapazität ist also um en Faktor alleine. Auerem gilt R (R R 1 ) lim C K = C R größer als bei einer Metallkugel. Aufgabe (**) a) Das Fel eines Plattenkonensators mit A wir als homogen angenommen. Sein Betrag folgt irekt aus en Ranbeingungen (hier zwischen iealem Leiter un Vakuum/Dielektrikum). D = D n e n D n = σ E t = 0 D t = 0 (normal zum Leiter) Befinet sich ie Laung auf er leitenen Platte ist σ = A D = A e n E = D ε 0 ε r = e n Das Integral es konstanten E-Feles von einer Platte zur aneren ergibt = E = C = =

3 b) Befinet sich ein Dielektrikum mit er Dicke im Konensator, änert sich as 3 D-Fel nicht Das E-Fel im Dielektrikum ist gleich Im luftgefüllten Bereich gilt weiterhin D = A e n E D = ε r e n = e n E L = e n = E D = E L 3 + E D 3 = E L E L 3 = 5 6 E L = 5 6 C = = 6 5 = Durch as Dielektrikum vergrößert sich ie Kapazität um 1 5. c) Befinet sich eine Metallplatte er Dicke 3 im Konensator, ist ie Anornung äquivalent zu einem Plattenkonensator mit em reuzierten Abstan 3. /3 - - C = 3

4 Anmerkung: Es spielt keine Rolle wo im Konensator sich ie Metallplatte befinet. Der Einfachheit halber wure sie auf er rechten Elektroe plaziert. Wäre sie in er Mitte zwischen en Platten, ergäbe sich folgenes Bil: / 3 / 3 / Dies ist eine Reihenschaltung von zwei Konensatoren mit em Plattenabstan 3 un er Kapazität C 1, = 3 1 C = C 1 C = = 3 C = 3 ) Mechanische Arbeit beim Entfernen er Metallplatte: W m Felenergie mit Metallplatte: W e Felenergie ohne Metallplatte: W e1 Für ie el. Felenergie im Konensator gilt W e = 1 C W m = W e1 W e = const. (aus Teil a) un c)) ohne Metallplatte : mit Metallplatte: C 1 = C = 3

5 W m = W e1 W e = 1 ( 1 C 1 1 C ) = 1 ( ) 3 = 1 3 Die Arbeit ist positiv em System wure Energie zugeführt. Es muß Kraft aufgewant weren, um ie Platte aus em Konensator zu ziehen. 3. Aufgabe (***) Die untere Kante es Dielektrikums befinet sich an er Stelle z = 0, wenn sich as Dielektrikum vollstänig im Konensator befinet. Die Kapazität es Konensators in Abhängigkeit von er Position es Dielektrikums kann urch eine Parallelschaltung von zwei Konensatoren berechnet weren: C(z) = ε rε 0 a(h z) + ε 0az = ε 0a [ε r(h z)+z] = ε 0a [ε rh z(ε r 1)] Die im Konensator gespeicherte Energie (elektische Felenergie un Gesamtenergie aller Dipole urch Polarisation) ist für z [0,h] gegeben urch W e = 1 C = 1 ε 0 a ε r h z(ε r 1). Für ε r = un z = 0 (Dielektrikum komplett im Konensator) ergibt sich somit W e = 1 4ε 0 ah un für z = h (kein Dielektrikum im Konensator) ergibt sich W e = 1 ε 0 ah. Die gespeicherte Energie ist also nur halb so groß, wenn sich as Dielektrikum komplett im Konensator befinet. Der Verlauf er Kraft, ie zum Herausziehen es Dielektrikums aufgewenet weren muss, ergibt sich aus F = graw e = W e z e z = ε r 1 ε 0 a(ε r h z(ε r 1)) e z

6 un somit für ε r = zu für z (0,h). F = ε 0 a(h z) e z Bemerkung: Warum wir as Dielektrikum in en Konensator gezogen? Der Grun hierfür sin ie bisher häufig vernachlässigten Raneffekte. Ist nur ein Teil es Dielektrikums im Konensator, so existiert ein elektrisches Fel innerhalb es Dielektrikums in Bereichen außerhalb es Konensators. Dieses bewirkt eine Kraft (Zusammenhang F = q E) auf ie Dipole, welche resultieren in z-richtung wirkt (innerhalb es Konensators wirkt iese Kraft leiglich in x-richtung un hebt sich für Dipole gegenseitig auf). Deshalb muss eine Kraft aufgewenet un eine Arbeit verrichtet weren, um as Dielektrikum aus em Konensator zu ziehen. Analytisch ist iese Kraft nur urch ie hier urchgeführte Betrachtung er Gesamtenergie es Systems berechenbar. Anhang: Allgemeines zur Zusammenschaltung von Konensatoren Parallelschaltung von Konensatoren C = Trennen er Platten in er Mitte un Verbinen urch Drähte änert nichts an en Felern. Bei er Parallelschaltung von Konensatoren mit aber nichts hat sich geänert. C 1, = / = 1 C C ges = C 1 +C

7 Reihenschaltung von Konensatoren C = Einfügen einer ünnen ieal leitenen Platte änert nichts an en Felern. Bei einer Reihenschaltung von Konensatoren mit aber nichts hat sich geänert. C 1, = / = C 1 C ges = 1 C C Schwierigkeit er Aufgaben von einfach lösbar(*) bis hin zu anspruchsvoll (***).