Fehlerrechnung. Allgemeines Version: 27. Juli 2004

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1 Allgemeines Version: 27. Juli 2004 Fehlerrechnung Aufgabe einer physikalischen Messung ist es, en Zahlenwert einer physikalischen Größe festzustellen. Weil aber einerseits ie Schärfe er menschlichen Sinneswahrnehmungen begrenzt ist, anererseits jee Messung zahlreichen, nicht immer kontrollierbaren Einflüssen er Umgebung ausgesetzt ist, weicht jees Messergebnis x von em fehlerfreien grunsätzlich unbekannten Ergebnis, em wahren Wert X ieser Größe, ab. Diese Abweichung X = x X wir als wahrer Fehler einer Messung bezeichnet. Es ist ie Aufgabe er Fehlerrechnung, aus einer Reihe von Messwerten en zuverlässigsten Wert zu bestimmen un Fehlergrenzen anzugeben, innerhalb erer er wahre Wert am wahrscheinlichsten liegt. Jee Auswertung einer physikalischen Messung, ie nicht zugleich mit em Ergebnis auch eine Angabe seiner Genauigkeit enthält, ist wertlos. Man unterscheiet grunsätzlich zwei Arten von Fehlern, systematische un zufällige: Systematische Fehler Systematische Fehler haben ihre Ursachen im Mess-System. Sie sin reprouzierbar un treten bei Wieerholung in gleicher Richtung un Größe auf. Beispiele afür sin falsch geeichte Skalen, verschobene Null-Stellungen an Messinstrumenten oer Längenänerungen von Skalen urch ie Temperatur er Umgebung. Diese Art er Fehler kann urch Kontrolle un Verbesserung er Apparatur beseitigt bzw. verkleinert weren. Zufällige Fehler Zufällige Fehler lassen sich im Gegensatz azu grunsätzlich nicht vermeien. Innerhalb einer Messreihe unterscheien sie sich nach Größe un Betrag. Sie können urch Wieerholung er Messung auf ein vernünftiges Maß gebracht un, was hier besoners wichtig ist, mathematisch oer urch Abschätzen bestimmt weren. Mittelwert x Aus einer Reihe von n verschieenen Messungen einer Messreihe wir er Bestwert als er arithmetische Mittelwert x berechnet. x = 1 n n x i (- 1) i=1 10

2 Version: 27. Juli 2004 Mittlerer Fehler es Einzelwertes s (Stanarabweichung) Der mittlere Fehler er Einzelmessung, auch Stanarabweichung, ist ein Maß für ie Abweichung es Einzelmesswertes x i vom Mittelwert x s = n i=1 (x i x) 2 n 1 (- 2) In Worten: Bei einer Messreihe mit genügen vielen (n 10) Einzelmessungen bestimme man ie Differenz er Einzelmessungen x i zum Mittelwert x, quariere sie, bile ann ie Summe über ie Quarate, teile urch (n 1) un ziehe ie Wurzel aus em Ergebnis. Der Nenner (n 1) anstelle von n zeigt an, ass erst ie zweite Messung als Vergleichsmessung anzusehen ist. Mittlerer Fehler es Mittelwertes x (Stanarabweichung es Mittelwertes) Der mittlere Fehler es Mittelwertes x istumenfaktor1/ n kleiner als ie Stanarabweichung s. x = s (- 3) n oer x = n i=1 (x i x) 2 n(n 1) (- 4) x ist wichtig bei er Angabe es Fehlers einer Messreihe. Über Normal- oer Gauß- Verteilung un statistische Sicherheit lese man in er angegebenen Literatur nach. 11

3 Allgemeines Version: 27. Juli 2004 Beispiel Eine Länge l were 10 mal gemessen: i l i [mm] (l i l) [10 1 mm] (l i l) 2 [10 1 mm 2 ] 1 7,5 4,8 2, ,2 2,2 0, ,5 4,8 2, ,6 6,2 3, ,6 6,2 3, ,7 7,2 5, ,4 5,8 3, ,2 2,2 0, ,3 6,8 4, ,8 1,8 0,324 Σ 79,8 0 26,760 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i ; l = 79, 8mm 10 =7, 98 mm Mittlerer Fehler er Einzelmessung: s = n i=1 (l i l) 2 n 1 s = 2, 676 mm 2 9 =0, 55 mm 0, 6mm Mittlerer Fehler es Mittelwertes: l = s n = 0, 6mm 10 0, 2mm Ergebnis : l =(8, 0 ± 0, 2) mm 12

4 Version: 27. Juli 2004 Hinweis Der Fehler sollte mit einer oer zwei gültigen Ziffern angegeben weren, wobei grunsätzlich aufgerunet wir. Der Mittelwert wir bis zur gleichen Nachkommastelle wie er Fehler angegeben. Fehlerfortpflanzung (Fehler eines zusammengesetzten Ergebnisses) Eine physikalische Messung liefert nicht immer irekt as Energebnis, z.b. kann man zur Bestimmung er Schallgeschwinigkeit c ie Wellenlänge λ un ie Frequenz ν messen un c aus em Proukt von λ un ν berechnen. Wie genau ist c? Man kennt ie Fehler λ un ν sowie en Zusammenhang c = c (λ, ν) un kann nach em Fehlerfortpflanzungsgesetz c berechnen. Allgemein gilt bei gegebener Funktion y = f(x 1,...,x n )für en absoluten Grösstfehler es Ergebnisses y y = n f(x 1,...,x n ) x i x i (- 5) i=1 In Worten: Zunächst leitet man f(x 1,...,x n ) nach jeem er x i ab, ie Ableitung nach x i multipliziert man mit em Fehler x i un aiert ie Beträge er Proukte über alle i. Für as Beispiel c = ν λ wir er absolute Fehler c = (ν λ) ν ν + (ν λ) λ λ (- 6) c = λ ν + ν λ (- 7) c un c = ν ν + λ λ (relativer Fehler). (- 8) Man setzt für λ un ν ie Mittelwerte ein un für ν un λ ie mittleren Fehler er Einzelwerte. Bei einer einmaligen Messung muss man abschätzen, wie genau er Wert sein kann (z.b. Ablesegenauigkeit). 13

5 Allgemeines Version: 27. Juli 2004 Beispiele a) Zwei Messgrößen x 1 un x 2 hängen zusammen über ie Formel y = x 1 x 2.Gesuchtist er Fehler von y. Messergebnisse: x 1 =6, 2cm x 1 =0, 1cm x 2 =3, 1sec x 2 =0, 1sec y = 6,2cm =2, 0cm/s 3,1sec y = 1 y x x 2, x 2 = x 1 x y = 1 x1 x 2 + x 1 x 2 y = 0,1 cm + 6,2 0,1 cm sec 0, 1cm/s 3,1 sec (3,1) 2 sec 2 Ergebnis: y =(2, 0 ± 0, 1) cm/s b) Die Erbeschleunigung soll aus er Schwingungsauer T un er Länge l eines mathematischen Penels bei kleinen Auslenkungen es Penels bestimmt weren. Welche er beien Größen l un T muss mit grösserer Sorgfalt gemessen weren? Die Erbeschleunigung ist g =4π 2 l/t 2. Damit folgt für en relativen Größtfehler ḡ von ḡ nach (- 5): ( ḡ ḡ = 2 T T x 2 2 ) + l l (- 9) Daraus folgt, ass ie Messung er Schwingungsauer T besoners sorgfältig erfolgen muss, a er Fehler er Zeitmessung oppelt so stark in en Größtfehler ḡ von ḡ eingeht wie er er Längenmessung. 14 Logarithmisches Differenzieren Man erreicht fast immer leicht eine Darstellung es relativen Fehlers, wenn man ln f in eine Taylor-Reihe entwickelt un nach em 1. Glie abbricht. (Der absolute Fehler es ln einer Größe ist gleich em relativen Fehler ieser Größe selbst.) (ln f) (ln f) = f = f ( x f f = F x, y ). (- 10) y F ( x/x, y/y) soll beeuten, ass sich er relative Fehler es Ergebnisses f/f (in %) als eine Funktion er relativen Fehler er Einzelmessung x/x un y/y (in %) angeben lässt.

6 Version: 27. Juli 2004 Ist zur Bestimmung von f nur je eine Messung von x un y gemacht woren, so setzt man für x/x un y/y ie geschätzte Messgenauigkeit er Einzelmessungen ein. Beispiele zu c) 1) Zur Bestimmung er elektrischen Leistung [Watt] ist eine Strom- un eine Spannungsmessung gemacht woren. Auf em Ampere- un Voltmeter ist ie Messgenauigkeit mit 1% angegeben. P = U I ; lnp =lnu +lni P P = U U + I I =1%+1%=2% 2) Die Dichte eines Minerals sei urch eine Wägung (auf 1 g genau) un eine Volumenmessung urch Wasserverrängung in einem Messzyliner (auf 0, 5cm 3 genau) gemessen woren. Das Mineral habe eine Masse von 70 g un ein Volumen von 20 cm 3. V V = 0, 5 20 =2, 5% m m = 1 70 =1, 4% ρ = m V ln ρ =lnm ln V ρ ρ = m m + V V =2, 5% + 1, 4% 4%. Ausgleich eines linearen Zusammenhangs Man führt Messungen urch, wenn man ie Richtigkeit einer Theorie überprüfen will. Die Überprüfung ist sehr leicht, wenn er theoretische Zusammenhang zwischen Messgrößen linear ist. Über ie mathematische Behanlung es Problems er Ausgleichsgeraen informiere sich er interessierte Praktikant in er einschlägigen Literatur. 15

7 Allgemeines Version: 27. Juli 2004 Graphisches Verfahren Es bestehe ein linearer Zusammenhang y = a 0 + a 1 x zwischen en Messgrößen x un y, gesucht sin a 0 un a 1. Die gemessenen Wertepaare weren in ein Diagramm eingetragen un bei bekanntem Fehler mit Fehlerbalken versehen. Durch ie streuenen Messpunkte legt man mit Hilfe eines urchsichtigen Lineals nach Augenmaß eine Ausgleichsgerae. Aus er Steigung er Geraen bestimmt man a 1, aus em Schnittpunkt mit er Orinate (x = 0) erhält man a 0.Für ie Berechnung er Steigung wähle man zwei Punkte in möglichst großem Abstan auf er Ausgleichsgeraen (keine Messpunkte verwenen!). Der Fehler er Steigung folgt in grober Abschätzung aus en mit en Messpunkten zu vereinbarenen extremen Geraensteigungen. Beispiel Bewegung mit konstanter Geschwinigkeit v. x= x 0 + v t, x 0 =(6± 1) m x = Ortskoorinate, t = Zeit-Koorinate v = x 1 x 0 47, 5 6, 5 m = =0, 51 m/s t 1 t sec 51 6, 5 m v max = =0, 61 m/s 80 7 sec 42, 5 10, 2 m v min = =0, 40 m/s 80 0 sec v =(0, 5 ± 0, 1) m/s Nichtlineare Gesetze Durch Einführen von Hilfsgrößen versucht man, nichtlineare Gesetze auf lineare Gesetze zurückzuführen. 16

8 Version: 27. Juli 2004 x m 50 P 2 (x 1 / t 1 ) P 1 (x 0 / t 0 ) t s Abb. - 1: Bewegung mit konstanter Geschwinigkeit Beispiel 1 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: y = b 2 t2.imy-t-diagramm ist iese Beziehung eine Parabel. Führt man ie Hilfsgröße x = t 2 ein, lässt sich as Gesetz im y-x-diagramm als Gerae arstellen. Beispiel 2 Liegt eine Exponentialfunktion er Form y = a e bx vor, so entsteht urch Logarithmieren eine lineare Beziehung zwischen x un log y: log y =loga + x b log e Steigung: m = b log e Der Zahlenwert von a ist gleich em Orinatenwert für x = 0. Seine Einheit ist gleich er Einheit von y. b erhält man aus er Steigung er Geraen: m = log y 2 log y 1 x 2 x 1 = log y 2/y 1 x 2 x 1 Die Wertepaare (x 1 /y 1 ) un (x 2 /y 2 ) sin zwei Punkte auf er Ausgleichsgeraen. Bei er Röhrenioe liefert ie Richarson-Gleichung en Zusammenhang zwischen em Sättigungsstrom I S, er Austrittsarbeit er Kathoe e 0 ϕ A un er Temperatur T : I S = AT 2 e e 0 ϕ A kt A: Konstante, k: Boltzmann-Konstante = 8, ev K 1 Messgrößen sin I S un T (inirekt), gesucht ist e 0 ϕ A. 17

9 Allgemeines Version: 27. Juli Is / T 2 [ma / K 2 ] y=log 30 5 x= / T [10 4 / K] Abb. - 2: Richarson-Gleichung: I S /T 2 als Funktion er reziproken Temperatur für ie RöhrenioeK81A Durch Logarithmierung er Richarson-Gleichung erhält man folgenen linearen Zusammenhang: log I S T 2 }{{} y = loga e 0 ϕ A log e }{{}} k {{} a m (y = a + m x) Steigung m : m = lg y 2 lg y 1 x 2 x 1 1 T }{{} x m = lg (6, 95 6, 35) K = 1, K (Der Logarithmus ist imensionslos.) e 0 ϕ A = k m ; lge = lg e 8, e 0 ϕ A = ( 1, ) ev K 1 K 0, 4343 e 0 ϕ A = 2, 58 ev. 18

10 Version: 27. Juli 2004 Die Fehlerrechnung muss im Zusammenhang mit em Versuch urchgeführt weren. Beispiel 3 Doppelt-logarithmische Auftragung Logarithmiert man y = a x b, so erhält man log y = b log x +loga, also eine lineare Beziehung zwischen log x un log y. Steigung:b = log y 2 log y 1 log x 2 log x 1 Achsenabschnitt a: Schnittpunkt er Geraen mit er y-achse. Die y-achse ist ie Senkrechte urch x/[x] = 1, (log 1 = 0). Literatur zur Fehlerrechnung Taylor: c) Fehleranalyse Verlag Chemie, Weinheim Lichten: Skriptum Fehlerrechnung Springer, Berlin Walcher: Praktikum er Physik Teubner, Stuttgart v. Sanen: Praktische Mathematik Teubner, Stuttgart Hänsel: Grunzüge zur Fehlerrechnung Deutscher Verlag er Wissenschaften, Berlin Zurmühl: Praktische Mathematik Baule: Die Mathematik es Naturforschers un Ingenieurs B. II 19