Fehlerrechnung. Bei physikalisch-technischen Messungen können systematische und zufällige Fehler auftreten.

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1 Seite 1 / 6 H.C. iehuus Fehlerrechnung Bei physikalisch-technischen Messungen können systematische und zufällige Fehler auftreten. Systematische Fehler erzeugen systematische Effekte. Falsch kalibrierte Meßinstrumente oder die ichtberücksichtigung von ebenumständen (z.b. Temperaturerhöhung während der Messung) führen zu systematischen Fehlern, die durch Überlegungen erkannt und durch physikalisch- technische Maßnahmen so gering wie möglich gehalten werden müssen. Sie sind nicht Gegenstand der Fehlerrechnung. Zufällige Fehler erzeugen zufällige Effekte. Sie werden durch viele, im einzelnen nicht erfaßbare Ursachen hervorgerufen. Sie sind Gegenstand der Fehlerrechnung, da sie mit den Methoden der mathematischen Statistik erfaßbar und bewertbar sind. Wird an einem bestimmten Objekt eine physikalische Größe mehrmals gemessen, so weichen die Meßwerte x in charakteristischer Weise von dem "wahren Wert", dem sogenannten Erwartungswert, ab. Die Häufigkeitsverteilung h(x) der Abweichungen (x-) wird durch die Gausssche ormalverteilung beschrieben: Auf der Abszisse ist die Abweichung in Vielfachen der x Standardabweichung angegeben, d.h. die Größe. Die Standardabweichung charakterisiert die Genauigkeit des Meßverfahrens. Wie sie zu ermitteln ist, wird weiter unten beschrieben. Die Ordinate gibt die Häufigkeitsdichte des Auftretens einer Abweichung an. Der Flächeninhalt (Integral) unter der Kurve zwischen zwei Abweichungswerten gibt die Wahrscheinlichkeit P an, mit der bei

2 Seite / 6 einer Messung eine Abweichung zwischen diesen beiden Werten erhalten wird. So gilt speziell P(-1,00 < (x- ) < 1,00) = 0,68 P(-1,96 < (x- ) < 1,96) = 0,95 P(-,58 < (x- ) <,58) = 0,99 Gleichung bedeutet z.b.: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß (x- ) zwischen -1,96 und 1,96 liegt, ist 0,95 (95%). Das heißt also, daß bei einer Messung der Meßwert x mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht mehr als 1, 96 nach oben oder unten von dem Erwartungswert abweicht. Diese Wahrscheinlichkeit nennt man auch statistische Sicherheit. Ziel einer Messung ist es, eine Aussage über die Größe eines unbekannten Erwartungswertes zu erhalten. Dazu muß man nur die Ungleichungskette nach auflösen. Man erhält P(x - 1,00 < < x + 1,00 ) = 0,68 P(x - 1,96 < < x + 1,96 ) = 0,95 P(x -,58 < < x +,58 ) = 0,99 Aus der zweiten Gleichung erhält man z.b. die Aussage, daß der Erwartungswert mit der statistischen Sicherheit 95% innerhalb von x 1, 96 liegt. Solch einen Bereich nennt man Vertrauensbereich für den Erwartungswert. Er wird als das Ergebnis der Messung angegeben. Die Standardabweichung eines Meßverfahrens wird bei einigen Meßgeräten von dem Hersteller angegeben. Zum Beispiel wird bei analoganzeigenden elektrischen Strom - und Spannungsmessern die Güteklasse g g angegeben. Für sie gilt =a (mit a: gewählter Meßbereich). 100 Ist die Standardabweichung des Meßverfahrens nicht bekannt, so muß sie aus einer Vielfachmessung der gleichen Größe abgeschätzt werden. Als Schätzwert ermittelt man die Standardabweichung s: 1 s n 1 (x x 1 i m ) n 1 x i 1 n x i (mit n: Anzahl der Messungen, x i : i-ter Meßwert, : Summenzeichen und x m = 1 x n i : arithmetischer Mittelwert der Messungen). s ist also die Wurzel aus der durch (n-1) dividierten Summe der Abweichungsquadrate der einzelnen Meßwerte von ihrem Mittelwert. s konvergiert für großes n gegen s. Der Mittelwert x m

3 Seite 3 / 6 konvergiert für großes n gegen. Auch die Abweichungen des Mittelwertes von gehorchen der Gaussschen ormalverteilung. Seine Standardabweichung m ist jedoch von n abhängig: m bzw, s s m n n Für die Ermittlung des Vertrauensbereiches für gelten also die Gleichungen: P(xm- 1,00 n < < x m +1,00 n ) = 0,68 P(xm- 1,96 n < < x m +1,96 n ) = 0,95 P(xm-,58 n < < x m +,58 n ) = 0,99 Die Abhängigkeit der Standardabweichung des Mittelwertes von n hat zur Folge, daß der Vertrauensbereich für beliebig klein gemacht werden kann, wenn man nur genügend viele Messungen durchführt. Ist nicht bekannt, so muß man s als äherungswert benutzen. Für die Angabe des Vertrauensbereiches für eine statistische Sicherheit von 95% bzw. 99% gelten dann aber nicht mehr die Faktoren 1,96 bzw.,58, sondern die von n abhängigen Faktoren t 95%, t 99% bzw. t 99,9% der folgenden Tabelle: Vertrauensfaktoren t n t=(95%) t=(99%) t(99,9%) n t=(95%) t=(99%) t(99,9%) 1 1,706 63, ,619 10,8 3,169 4,587 4,303 9,95 31,598 15,131,947 4, ,18 5,841 1,94 0,086,845 3,89 4,776 4,604 8,61 5,06,787 3,75 5,571 4,03 6,869 30,04,75 3,646 6,447 3,707 5,956 40,01,704 3,551 7,365 3,499 5,408 50,01,678 3,496 8,306 3,355 5,041 1,96,576 3,91 9,6 3,5 4,781 Beispiele: 1. Mit einem analoganzeigenden Spannungsmesser der Güteklasse 1,5 wurde im Meßbereich 300V die Spannung 15V gemessen. Mit der Standardabweichung = 300 1,5 100 V=4,5V ergibt sich der Vertrauensbereich für den Erwartungswert der Spannung mit einer statistischen Sicherheit von 95 %: U = (15 9)V oder in anderer Schreibweise: 116V < U < 134V. Die Abweichung U = 1,96 = 8,8V wird als Meßfehler bezeichnet und hier sinnvollerweise nur einziffrig angegeben.. Eine physikalische Größe wurde 6-mal gemessen. Ergebnis: 5,1 5,5 5,1 5, 5, 5,3. Für den Mittelwert ergibt sich x m =5,3 und für die Standardabweichung des

4 Seite 4 / 6 0, 151 Mittelwertes s m = 6 = 0,061. Der Erwartungswert der physikalischen Größe liegt mit einer statistischen Sicherheit von 95 % im Bereich 5,0 < < 5,4 oder = 5, + 0,. Der Meßfehler x =,57 s m = 0, 158 und der Mittelwert wurden nur mit einer Dezimalen angegeben, da das Meßinstrument keine Schwankungen kleiner als 0,1 anzeigt. Eine Fehlerabschätzung muß durchgeführt werden, wenn die Meßwertschwankungen unterhalb der Ablesegenauigkeit des Meßinstrumentes liegen. Dann kann man nur die Ablesegenauigkeit selbst als Größtfehler angeben. Eine statistische Aussage über den Vertrauensbereich ist dann natürlich nicht mehr möglich. Ein ähnliches Problem tritt auf, wenn eine einmalige Messung mit einem Instrument mit unbekanntem gemacht wird. Auch in diesem Fall muß ein Größtfehler geschätzt werden. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gauss) erlaubt die Berechnung des Meßfehlers bzw. des Vertrauensbereiches einer Größe z, die aus Größen u, v, w,... berechnet wird, wenn deren Vertrauensbereiche u, v, w,... für eine bestimmte statistische Sicherheit bekannt sind. Die Berechnungsvorschrift sei z f( u, v, w,...). Dann gilt für z mit der gleichen statistischen Sicherheit z= (f u u ) ( fvv ) ( fww )... Hierin bedeuten f u,f v,f w,... die Ableitungen der Funktion z nach u, v, w... bei festgehaltenen Werten der anderen Größen (die sog. partiellen Ableitungen). f u u stellt dann den Beitrag des Meßfehlers von u an dem Fehler von z dar. Wenn in der Funktion die Meßgrößen multiplikativ verknüpft sind, d.h. wenn p q r z = u v w... gilt, ergibt sich nach den Regeln der Differentialrechnung aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz die einfachere Bestimmungsgleichung z z = p u q v r w... u v w z heißt relativer Fehler von z. z Sind die Vertrauensbereiche der Meßgrößen u, v, w... nicht bekannt, sondern nur ihre Größtfehler du, dv, dw,..., so berechnet man den Größtfehler dz von z vereinfacht nach dz = f udu + fvdv f wdw... Beispiele: bzw. dz z = p du u + q dv r dw v w...

5 Seite 5 / 6 1. Der elektrische Widerstand soll aus einer Strom- und Spannungsmessung berechnet werden: R= U. Es wurden mit I einer statistischen Sicherheit von 95% U = (195 ± 3)V und I = (0, ,001) A bestimmt. dr Daraus folgt R = 3 0,001 0,0367. Für den 195 0,030 Vertrauensbereich des Widerstandes ergibt sich R = ( ).. Zwei Temperaturen wurden mit ihren Größtfehlern gemessen: T 1 = (87 + 0,5)K und T = (85 + 0,5)K. Für die Temperaturdifferenz erhält man damit T l - T = ( 1)K. Lineare Regression: Eine Menge von Meßwertpaaren (x i, y i ) soll mit möglichst kleinem Fehler durch die lineare Funktion y=m x+b beschrieben werden. Die Bestimmung der Konstanten m und b wird nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate von Gauss durchgeführt, d.h. m und b werden so bestimmt, daß die Fehlerqadratsumme E= (yi -(m x i +b)) ein Minimum wird. Die Regeln der Analysis fordern, daß die partiellen Ableitungen von E nach m und nach b jeweils ull sein müssen. Die Auflösung der sich ergebenden Gleichungen liefert die Bestimmungsgleichungen n (x )- x m= i yi i yi x b i y i x i ( x i y i ) n x i x i Die Vertrauensbereiche der Regressionskoeffizienten für eine stat. Sicherheit von 95% berechnen sich aus m t95% sy b t95% sy s y (y i y) n n x i = y 1 i n y i m n n (x i y i ) x i y i n Die t 95% - Werte sind in der Tabelle bei (n-1) nachzulesen!

6 Seite 6 / 6 Beispiel: x i 5,19 5,49 6,88 7,41 y i 0,3 0,46 1,05 1,0 1,5 1 y 0,5 0 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 x yi Linear (yi ) Man erhält n 4, m = 0,430, b = -1,95, sy 0, 0638, m 4, 30, 034, b =4,30, und die Vertrauensbereiche m 043, 015,, b = -1,95 0,95. Häufig ist der Zusammenhang zwischen x und y nicht linear. Dann hilft manchmal eine linearisiernde Transformation der Meßwerte: Beispiel: 1. Exponentialfunktionen: y Ke mx Logarithmieren der Gleichung ergibt ln y mx ln K. Mit den Bezeichnungen ln y z und lnk=b erhält man den linearen Zusammenhang z mx b.. Potenzfunktionen: y K x m. Logarithmieren der Gleichung ergibt ln y ln K m ln x. Mit den Bezeichnungen ln y z, lnx = v und lnk= b erhält man den linearen Zusammenhang z mv b.