Einführungsseminar S1 Elemente der Fehlerrechnung. Physikalisches Praktikum der Fakultät für Physik und Astronomie Ruhr-Universität Bochum

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1 Einführungsseminar S1 Elemente der Fehlerrechnung Physikalisches Praktikum der Fakultät für Physik und Astronomie Ruhr-Universität Bochum

2 Literatur Wolfgang Kamke Der Umgang mit experimentellen Daten, insbes. Fehleranalyse, im Physikalischen Anfänger- Praktikum John R. Taylor Fehleranalyse Eichler, Kronfeld, Sahm Das neue Physikalische Praktikum W. Walcher Praktikum der Physik

3 Einleitung Messungen sind niemals beliebig genau! Sie sind stets mit Unsicherheiten (= Fehlern) behaftet. Angabe der Messunsicherheit ist wichtig. Signifikanz eines Ergebnisses muss einschätzbar sein! Ein Ergebnis ist signifikant, wenn die Wahrscheinlichkeit für zufälliges Zustandekommen gering ist.

4 Beispiel: Messunsicherheit bei Längenmessung (z.b. mittels Lineal) Zentimeter (cm) Bestwert der Länge = 10,5 cm wahrscheinlicher Bereich 10,4 bis 10,6 cm

5 Beispiel: Messunsicherheit bei Zeigerinstrument (z.b. bei einem Voltmeter) Volt Bestwert der Spannung = 6,6 Volt wahrscheinlicher Bereich 6,5 bis 6,7 Volt

6 Beispiel: Messunsicherheit bei Zeigerinstrument (z.b. bei einem Voltmeter) Volt Die Schätzung von Zeigerstellungen zwischen Teilungsstrichen heißt Interpolation!

7 Warum ist eine vernünftige Einschätzung der Signifikanz wichtig? Beispiel: Lichtablenkung im Gravitationsfeld eines Sterns als Beleg für Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie?! klassische Theorie sagt voraus (0,9 ) Relativistische Theorie (1911) sagt voraus (1,8 ) Messung (1919) durch Dyson, Eddington und Davidson messen bei Sonnenfinsternis (2 ) Wahrscheinlicher Bereich zu 95% (1,7-2,3 )

8 Einleitung Wir unterscheiden Systematische Messfehler (Maßstab zu lang oder kurz, Uhr geht falsch, falsche Kalibrierung oder Eichung) Statistisch Fehler (rein zufällige Messunsicherheiten, siehe Luftkissenbahn)

9 Arithmetisches Mittel Der sog. lineare Mittelwert der Messwerte liefert den besten Schätzwert, wenn nur statistische Fehler vorliegen. Bei n Messwerten aus n Messungen 1 1 x x x x x n ( n) n n i 1 i

10 Varianz und Standardabweichung Der beste Schätzwert für Messunsicherheit wird durch die sog. Standardabweichung geliefert! Die Abweichung eines Messwerts zum Mittelwert ist Maß für Fehler: ( x x) Besser ist das Quadrat der Abweichung, die sogenannte Varianz: i n 2 ( xi x) i1 ( x1x) ( x2 x)... ( xn x) n1 n1

11 Standardabweichung Wir bezeichnen als die so genannte Standardabweichung: 1 n 2 2 ( xi x) n 1 i1

12 Lineare Regression Die lineare Regression ist eine wichtige Methode! Sie liefert die sog. Ausgleichsgerade. Wir beschaffen uns zunächst einen Satz von Messwerten Demo: Bestimmung von Durchschnittsgeschwindigkeiten an der geneigten Luftkissenbahn!

13 Lineare Regression Wir wählen dazu die folgende Anordnung: g g x0, t0 x1, t1 x2, t2 x3, t3 x4, t4 g g g cos wird durch Bahn kompensiert g gsin sorgt für konstante Beschleunigung

14 Lineare Regression Für die jeweiligen Weg-Intervalle können Durchschnittsgeschwindigkeiten aus den Messwerten bestimmt werden: Wir beschränken uns hier auf: j i ij j i x x v t t mit 1, 2,3, 4 j j j x x v j t t

15 Lineare Regression Was bedeutet das für unser Experiment? x0, t0 1, 1 x2, t2 x t x3, t x 3 4, t4 Position i = 0 ist sogenannter Fixpunkt

16 Lineare Regression Die Theorie liefert den Zusammenhang: 1 vij a( ti tj ) v 2 (Diesen Ausdruck im Protokoll bitte herleiten!) Dies ist ein linearer Zusammenhang! Wir überprüfen dies in einem linearen v(t)- Diagramm. Wir führen zunächst die Messung durch! 0

17 Lineare Regression Frage: Wie zieht man eine Ausgleichsgerade? Hier hilft die lineare Regression! Wir setzen für die Durchschnittsgeschwindigkeiten an: v0 j CBtj Aufgabe: Bestimme die Konstanten C und B derart, dass die Summe der Abweichungen zwischen Gerade und Messwerten minimal wird!

18 Lineare Regression Als Maß für den Fehler nehmen wir die Varianz : v 2 0 j CBtj Wir bilden die Fehlersumme : j j j1 S v C B t Fehlersumme soll Minimum annehmen, also: S C S 0 und 0 B

19 Lineare Regression Man erhält schließlich: C 4 v t t t v j1 2 0 j j j j 0 j 4 t 2 j t j 2 B 4 4 t v t v j1 j 0 j j 0 j 4 t 2 j t j 2

20 Aufgabenstellung zur Auswertung des Demo-Versuchs Berechnen Sie aus den Messwerten zunächst die 2 Sätze von Durchschnittsgeschwindigkeiten <v 0j > und <v i4 > Zeichnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeiten und die Ausgleichsgraden (lineare Regression!) in ein lineares Koordinatensystem. Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeiten am Anfang und am Ende der Messstrecke durch Extrapolation. Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse im Hinblick auf Erfolge, Fehler und Unzulänglichkeiten.

21 Fehlerangabe bei Messergebnissen Aufgabe der Fehlerrechnung ist die Bestimmung des Fehlers: xx x system. streu. Ergebnis einer Messung: x x Man erwartet den wahren Wert x w im Bereich: x x bis x x

22 Fehlerangabe bei Messergebnissen xheißtabsoluter Fehler von x x/x heißt relativer Fehler Endangabe von Messergebnissen: x x x und x x x 100% x

23 Fehlerangabe bei Messergebnissen Zurück zur Standardabweichung: n 1 ( xi x) n 1 i1 2 charakterisiert die Genauigkeit einer einzelnen Messung und liefert die Genauigkeit des Messverfahrens! xneu

24 Fehlerangabe bei Messergebnissen Je mehr Einzelmessungen, desto genauer ist der Mittelwert: x streu. n Dies ist die sog. Standardabweichung des Mittelwertes!

25 Fehlerangabe bei Messergebnissen Wenn nur statistische Fehler vorliegen, liegt der wahre Wert x w mit einer Wahrscheinlichkeit P S 68% im Intervall: x x streu. Dies führt zur Definition des sog. Vertrauensbereichs: x xw x n n

26 Fehlerfortpflanzung Ergebnis hängt oft von mehreren Messgrößen ab: z f( a, b, c,...) Direkt gemessene Größen sind stets mit Fehler behaftet. Wir definieren den Bestwert in diesem Fall als: z f( a, b, c,...)

27 Fehlerfortpflanzung Fehler des Ergebnisses z hängt von Fehlern der einzelnen Messgrößen (a, b, ) ab: z 2 z z a b... a b Der sog. Größtfehler lautet: z z zg a b... a b

28 Fehlerfortpflanzung 1. Beispiel: z f( a, b) Kab f f K und 1 a b z K a b z Kab g

29 Fehlerfortpflanzung 2. Beispiel: m z f( a, b) Ka b n f m1 n z Kma b =m und a a f m 1 ( n z Ka n) b ( n) b b mz nz zg a b a b zg a b m n z a b

30 Fehlerfortpflanzung Anwendung: Dehnung l F 2 E R g l R E l R F 2 E l R F g g g

31 Signifikante Stellen Sei x Schätzwert für Unsicherheit. x darf nicht mit zu hoher Genauigkeit angeben werden. z.b. bei Messung der Erdbeschleunigung g mess = (9,82 0,03385) m/s 2 Dies macht offensichtlich keinen Sinn!

32 Signifikante Stellen 1. Regel: Im Praktikum sollten Messunsicherheiten auf eine signifikante Stelle gerundet werden. Für unser Beispiel folgt damit g mess = (9,82 0,03) m/s 2

33 Signifikante Stellen Ausnahme von Regel 1: Wenn an führender Stelle der Messunsicherheit eine 1 oder 2 steht, sollten 2 signifikante Stellen angegeben werden. Beispiel: x = 0,14 0,1 Dies entspricht einer Änderung von bereits 40%!

34 Signifikante Stellen 2. Regel: Bei Angabe von Messergebnissen sollte die letzte signifikante Stelle des Bestwerts dieselbe Größenordnung haben (= an der gleichen Dezimalstelle stehen) wie die Messunsicherheit. Beispiele: x best = 92,81 mit x = 0,3 x = 92,8 0,3 mit x = 3 x = 93 3 mit x = 30 x = 90 30

35 Literatur Eichler, Kronfeld, Sahm Das neue Physikalische Praktikum (Kapitel 1)

36 Was bleibt noch übrig?! Viel Spaß im Physikalischen Praktikum!