Fehlerfortpflanzung. M. Schlup. 27. Mai 2011

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1 Fehlerfortpflanzung M. Schlup 7. Mai 0 Wird eine nicht direkt messbare physikalische Grösse durch das Messen anderer Grössen ermittelt, so stellt sich die Frage, wie die Unsicherheitsschranke dieser nicht-messbaren Grösse aus den Unsicherheiten der Teilgrössen bestimmt werden kann. Für die hier gemachten Überlegungen sollen die folgenden Annahmen und Festlegungen gelten: Für die aus n Teilgrössen x,..., x n zusammengesetzte Grösse y wird die folgende Funktion als bekannt vorausgesetzt: y f(x, x,..., x n ) () Der indirekt ermittelte Messwert m y von y wird aus den Messwerten m x,..., m xn der Teilgrössen x,..., x n nach derselben Funktion bestimmt: m y f(m x, m x,..., m xn ) () Es wird angenommen, dass die Messwerte m x,..., m xn voneinander unabhängig sind, d. h. ihre zufälligen Werte nicht voneinander abhängen und dass ihre Messunsicherheiten s x,..., s xn als geschätzte Standardabweichungen oder Streuungen 3 gegeben sind. Dabei spielt es keine Rolle welche Dichtefunktionen die Teilgrössen aufweisen, z. B. ob diese gleich- oder normalverteilt sind. Um die Messunsicherheit eines Ergebnisses zu bestimmen, welches aus mehreren fehlerbehafteten Grössen berechnet wird, muss die Empfindlichkeit des Ergebnisses auf die einzelnen Komponenten ermittelt werden. Diese kann bei nicht allzu grossen Fehlertermen durch Linearisierung, d. h. bilden der partiellen Ableitung 4 bestimmt werden. Die geschätzte Streuung Der Messwert einer Teilgrösse wird im Allgemeinen durch den (linearen) Mittelwert der Ergebnisse von mehreren Messungen geschätzt. Dies bedeutet auch, dass die Grössen x,..., x n ebenfalls voneinander unabhängig sein müssen. 3 Die Standardabweichung oder Streuung σ k einer stochastischen Grösse ist ein statistisches Mass für die Unsicherheit dieser Grösse. Im (üblichen) Fall einer Normalverteilung (Gauß-Verteilung) der Zufallsgrösse, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Zufallsgrösse im Bereich ±σ um deren Mittelwert befindet, ca. 68% (so genannter 68%-Vertrauensbereich). 4 Partiell bedeutet teilweise. Bei einer Funktion von mehreren (unabhängigen) Variablen kann die Ableitung nach jeder dieser Variablen einzeln gebildet werden. Dabei werden die anderen Variablen (nach welchen gerade nicht abgeleitet wird) als konstant angenommen. Die Differentiale werden um dies hervorzuheben mit einem runden geschrieben, anstelle des gewöhnlichen d, wie bei Funktionen mit nur einer Variablen.

2 s y der Unsicherheit der Grösse y berechnet sich aus den Unsicherheiten s x,..., s xn der unabhängigen Grössen x k wie folgt: s y ( x ( ) ( ) s x + s x x + + s x x n (3) n In der folgenden Tabelle sind Empfindlichkeiten für häufig auftretende Funktionen zu finden: Tabelle : Empfindlichkeiten Tabelle der Ableitungen für die gebräuchlichsten Verknüpfungen Funktion y f(x, x, ) x x x 3 Funktionen einer Variablen: y ax a y ax + bx + c ax + b y a 3 x 3 + a x + a x + a 0 3a 3 x + a x + a y a x a x y a x a x Funktionen zweier Variablen: y ax + bx a b y ax + bx x + cx + d ax + bx bx + cx y a x x a x a x x y x x x x x x y x x x +x ( x x +x ( x x +x Funktionen dreier Variablen: y x x x 3 x 3 x 3 x x x 3

3 Beispiel Spannungssumme (Maschensatz) U f(u, U, U 3 ) U + U U 3 s U 3 s U + s U + ( s U 3 s U + s U + s U 3 (4) Das Ergebnis der Gleichung (4) lässt sich als vereinfachte Fehlerfortpflanzungsregel verallgemeinern: Im Fall von Summen oder Differenzen von unabhängigen Grössen, lässt sich die Unsicherheit des Ergebnisses durch das Quadratische Mittel der Unsicherheiten dieser Grössen berechnen. Anders ausgedrückt: Die Varianz 5 des Ergebnisses entspricht der Summe der Varianzen der Bestandteile. Beispiel Leistung (aus Spannungs- und Strommessung) P f(u, I) UI P I m I P I U m U s P m I s U + m U s I (5) Das Ergebnis der Gleichung (5) lässt sich durch Division mit der Leistung m P m I und Quadrieren (optisch) vereinfachen: ( sp ( su ( si + bzw. m P m U m I ( ( su si s P m P + m I (6) Das Ergebnis der Gleichung (6) lässt sich ebenfalls als vereinfachte Fehlerfortpflanzungsregel verallgemeinern: 5 Als Varianz bezeichnet man das Quadrat der Streuung. 3

4 Im Fall von Produkte oder Quotienten von unabhängigen Grössen, lässt sich die relative Unsicherheit des Ergebnisses durch das Quadratische Mittel der relativen Unsicherheiten dieser Grössen berechnen. Anders ausgedrückt: Die relative Varianz des Ergebnisses entspricht der Summe der relativen Varianzen der Bestandteile. Beispiel 3 Umrechnung Widerstand in Leitwert Dieser Fall ist so überrachend wie einfach. Beispiel 4 G f(r) R G R R G R m G s G m G s R m R s R m R m R Kapazität (z. B. bei messtechnischer Bestimmung mit KO) C f(u c,, R m, f) I c ωu c πfr m U c C m C m πfr m U c m Um c πfr m Uc C m C U c m Uc R m πfrmu C m C c R m πf C R m U c f m C s C m C ( s Um m Um m Rm m f ( ( ) ( suc srm sf m Uc m Rm m f Das Ergebnis entspricht hier der selben Fehlerfortpflanznugsregel gemäss dem Beispiel entsprechend der Gleichung (6). Beispiel 5 Blindleistung (kapazitiv, berechnet aus Schein- und Wirkleistung) Q f(s, P ) S P Q S S S P S Q m S Q P P S P P Q m P 4

5 s Q ( ms ( s S + mp s P Hier kann kann offensichtlich keine vereinfachte Regel für die Fehlerfortpflanzung angewendet werden, da die Formel für Q weder aus reinen Produkten und Quotienten noch aus reinen Summen und Differenzen besteht. Beispiel 6 Ersatzwiderstand (Parallelschaltung) R f(r, R ) R R R + R R R ( ) (R + R ) R R ( ) R R ( mr R (R + R R + R R m R R R ( ) (R + R ) R R ( ) R R ( mr R (R + R R + R R m R s R ( mr m R ) 4 ( ) 4 s mr R + s R m R Hier kann kann ebenfalls keine vereinfachte Regel für die Fehlerfortpflanzung angewendet werden. 5