Statistik Übungsblatt 5

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1 Statistik Übungsblatt 5 1. Gaussverteilung Die Verteilung der Messwerte einer Grösse sei durch eine Gaussverteilung mit Mittelwert µ = 7.2 und σ = 1.2 gegeben. (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert zwischen 5 und 8 zu messen? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert zwischen 4 und 7 zu messen? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert grösser als 8.5 zu erhalten? : (a) p ( )+( ) exakt p = (b) p ( )+( ) und (c) p , exakt p = Eier In einer Hühner Farm legen die Hühner Eier mit einem Durchschnittsgewicht von 52g und mit einer Varianz von 25g 2. (a) Während einer Woche legen die Hühner 2000 Eier. Wieviele der Eier sollten dann im Durchschnitt pro Woche eine grössere Masse als 65g besitzen? (b) Wieviele Eier kann er im Schnitt in jeder Woche verkaufen, falls er nur Eier mit der Masse zwischen 45g und 55g verkaufen darf? (c) Er macht eine 12er Packung mit Eiern. Welchen Mittelwert der Masse der Eier erwartet man, falls er alle Eier verwendet? Und welche empirische Varianz erwartet man, falls er alle Eier verwendet? (a) ( )2000 = 9.4 (b) (( )+( )) 2000 = 1290 (c) Mittelwert 624g, Standardabweichung s x = Ein Sportfischerverein veranstaltet ein Wettangeln, bei dem derjenige gewinnt, dessen erste zehn gefangenen Fische das höchste Gesamtgewicht erbringen. Aus Erfahrung weiss man, dass das Gewicht der in diesem See gefangenen Fische normalverteilt mit Erwartungswert µ = 400g und Varianz σ 2 = g 2 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gesamtgewicht der von einem Angler gefangenen Fische grösser als 5.5 kg? : (a) Für 10 Fische µ = 4kg, σ = 1kg, p = =

2 4. Nehme an, dass du die Beschränkung der Anzahl Personen für einen Lift definieren sollst. Der Lift besitze eine maximale Traglast von 600kg, das Durchschnittsgewicht eines Menschen betrage µ 1 = 70kg und die Standardabweichung dieser Grundgesamtheit betrage σ 1 = 15kg. Wieviele Personen dürfen den Lift benutzen, falls die Wahrscheinlichkeit, dass die transportierte Masse grösser als 600kg ist, kleiner als 1% sein soll. Für n Personen gilt, dass der Erwartungswert der Masse µ = n µ 1 ist. Zusätzlich gilt, dass die Varianz dieser Summe dann nσ 2 1 ist. 99% Quantile der Standardnormalverteilung ist durch z = Damit muss nµ 1 + z nσ kg sein. Man muss also die Gleichung 70n+z σ 1 n = 600kg lösen. Dies ergibt n = 7.23 also 7 Personen. 5. Man hat die folgenden Anzahl Punkte einer Klasse aus einer Prüfung. (Datensatz auf Moodle Verfügbar) Datensatz 1: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Datensatz 2: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Stammen diese Punktzahlen einer Klasse aus einer Grundgesamtheit mit einer Gaussverteilung? Die Daten aus dem Datensatz 1 sind eher nicht gaussverteilt (siehe QQ- Plot Abbildung 1). Die Daten aus dem Datensatz 2 (siehe Abbildung 2)sind gaussverteilt. Eine Berechnung mithilfe dem Shapiro-Wilkes Test ergibt einen p-wert von (KS-Test 0.904) für Datensatz 1 und einen p-wert von (KS-Test ) für Datensatz 2. Datensatz 1: Mit x = 1.86 und s x = ergeben sich die standardisierten Daten: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Die Quantilen der Normalverteilung sind gegeben durch: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Datensatz 2: 2

3 Abbildung 1: QQ-Plot von Datensatz 1 Die Daten sind gegeben durch: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Man erhält aus einer Stichprobe einer Klasse einer Prüfung für die Anzahl der erreichten Punkte. Punkte Häufigkeit (a) Bestimmen sie die mittlere Anzahl Punkte und ein 95% Vertrauensintervall für den Mittelwert. (b) Es wurde nun eine kleinere Stichprobe von Prüfungen aus der obigen Prüfung genommen. Man fand 1,2,5,2,3. Bestimme sie die mittlere Anzahl Punkte und ein 95% Vertrauensintervall für diesen Mittelwert. (c) Stammen die beiden oberen Stichproben aus der einer Grundgesamtheit mit gleichem Mittelwert? (Signifikanz 95%) 3

4 Abbildung 2: QQ-Plot von Datensatz 2 (a) Mittlere Anzahl Punkte x = Die empirische Standardabweichung ist gegeben durch s x = 1.2. Aus der Tabelle oder aus dem Excel (Funktion Tinv(1-0.95,Freiheitsgrade)) erhält man einen Faktor von ± = 3.3±0.5 (b) 2.6± = 2.6±2 (c) Man erhält ein s t = 0.8 und damit einen t-wert vont = = 0.9. Da Anzahl Freiheitsgrade= kann man statt der Studentverteilung die Gaussverteilung nehmen (t T = 1.96). Dies ergibt, dass die beiden Stichproben zu 95% aus der gleichen Stichprobe stammen. 7. Telefonieren Ein Stichprobe ergab für die Anzahl der täglich mit Telefonieren verbrachten Stunden. 0.7,1,1.3,1.4,0.8,2.2,0.9,1.5,1.2,1.3 (a) Geben sie das 95% Vertrauensintervall für den Mittelwert an. (b) Können sie anhand der Daten die Hypothese (Signifikanz 90%) verwerfen, dass die mittlere tägliche Telefonierzeit höchstens eine Stunde betrage? 4

5 (c) Können sie die Hypothese stützen (Signifikanz 95%) stützen, dass der Mittelwert 1.1 h beträgt? (a) 1.23± = 1.23±0.31, s x = 0.432, Studentvert (b) t = t T = 1.38 aus Tabelle, damit wird die Nullhypothese verworfen. (c) t = t T = 1.83 aus Tabelle, damit wird die Nullhypothese, dass der Mittelwert 1.1 nicht verworfen. 8. Sie messen die Konzentration eines Wirkstoffes in einer Tablette mittels einer Stichprobe. Sie erhalten einen Mittelwert (n=15) von x = 101mg und eine emp. Standardabweichung von s x = 3.2. Anschliessend messen sie von einer anderen Stichprobe (n=5) einen Mittelwert von 102mg und eine empirische Standardabweichung von s x = 2.7mg Stammen die beiden Stichproben(Signifikanz 95%) aus der gleichen Grundgesamtheit? t = 0.63, daher stammen sie wahrscheinlich aus der gleichen Stichprobe (t T = zweiseitig) 9. Ausreissertest nach Grubbs Betrachtet einmal die folgenden Daten. Datensatz: 4.732, 0.207, 3.479, 2.547, 5.804, 2.120, 9.194, 0.758, 3.808, Kann die Annahme verworfen werden, dass dieser Datensatz einen Ausreisser enthält (Signifikanz 90%)? Die Annahme kann verworfen werden. Es müsste eigentlich ein Test auf Normalverteilung durchgeführt werden, dieser lassen wir hier weg. 10. Ausreissertest nach Grubbs Die Zellvitalität wurde hier an der ZHAW gemessen, man erhielt die folgenden Zahlen. 2529, , , , , , , , , , , , , , , , , 5

6 Enthalten die Messdaten einen Ausreisser (Signifikanz 95%)? Die Daten scheinen einigermassen Normalverteilt zu sein. Man hat 19 Messwerte und bekommt einen Testwert von Dies besagt, dass man einen Ausreisser besitzt. 11. Kanone Ihr baut eine Kanone, bei der die Kugel im Winkel α 0, mit der Geschwindigkeit v 0 davon fliegt. Ihr kennt den Winkel auf ein Grad und die Geschwindigkeit auf 0.1m/s genau. Gebt den Ort, wo die Kugel landet mit der Ungenauigkeit an. (a) Der Winkel sei α 0 = 25 Grad und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 10m/s. (b) Bei welchem Winkel ist der Fehler Maximal resp. Minimal für unsere Anfangsbedingungen(α natuerlich nicht konstant)? x = v2 0 sin(2α0) g und ( x) 2 = Mit den Werten ergibt sich (g=10). ( ) 2 ( 2v0 sin(2α 0) v 2 2. g v + 0 cos(2α0)2 g α) x = 7.66m und ( x) 2 = 0.07m Extremas für α = n π 4. Maximas für α = 0 und π 2 und Minimas für α = π 4 und α = 3π 4 ( 1 ρ ) fl ρ Fk 12. Ihr messt Mittels der Fallgeschwindigkeit v einer Kugel die Viskosität der Flüssigkeit. Dazu benutzt ihr die asymptotische Geschwindigkeit v (Geschwindigkeit für t ). Diese ist gegeben durch η = mg 6πrv. Die Kugel hat einen Radius r von 0.5mm ± 0.1mm, eine Dichte von ρ Fk = 8000kg/m 3 ±100kg/m 3. Die Flüssigkeit habe eine Dichte von ρ fl = 1000kg/m 3 ±100kg/m 3. Die Fallgeschwindigkeit beträgt 3.9m/s±0.1m/s. Berechne die Viskosität und den Fehler dieses Wertes. Welcher Faktor trägt am meisten zu dem Fehler bei (g=10 und exakt bekannt)?. η = 0.001Ns/m 2. ( ) 2 ( η η = g g ) 2 + ( 2 r r ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 + v ρfk ρfl v + (ρ fk ρ fl ) + (ρ fk ρ fl ) ( ) 2 Dies ergibt η η = r ρ 2 fk ρ 2 fl v 2 = Der grösste Fehler liegt also bei der Ungenauigkeit des Radiuses. 6

7 13. Van der Waals-Gleichung Ihr möchtet den Druck p = nrt (V nb) an2 V 2 von Sauerstoff berrechnen. Dazu messt ihr das Volumen (V = 0.02± m 3 ), die Temperatur T = 300±1K und ihr habt die Teilchenzahl n = 1± Mol bestummen. Für Sauerstoff gilt a = und b = (R = 8.315). Gebe den Druck p und p an. p = ±439Pa 14. Regression Im folgenden sind Daten eines Versuches, bei welchem der Ausfluss von Wasser aus einem Gefäss untersucht wurde. Dabei wurde die Höhe der Waasersäule und die Zeit gemessen. Höhe [cm] Zeit [s] Macht eine Regressionsanalyse unter der Annahme, dass (a) der Zusammenhang linear, (b) der Zusammenhang h = at 2 +bt+c, (c) ein Zusammenhang h = a t+ b t besteht. Bei der Aufgabe (a) und (b) soll man noch die Fehler der Koeffizienten berechnen. Bei Aufgabe (a) soll man zusätzlich noch den Fehler des y Wertes an der Stelle t = 10s angeben (95% Vertrauensinterval). Achtung die Inverse Matrix aus Aufgabe (b) gebe ich euch an = (a) h = at+b Mit A = und B = erhält man (AT A) 1 = 7

8 ( ) Damit berechnet sich die Funktion zu h = t. Die Residuen betragen r = { , , , , }. Die Fehler der Koeffizienten sind ±t α 2, und 0.169±tα 2, Man erhält für den y-wert bei t = 10s, ± = ± (b) h = at 2 +bt+c MatrizeA = unddamit ergibtsicheinefunk- tion h = t t Die Residuen sind durch { , , , , } gegeben. Man erhält damit eine Unsicherheit der Koeffizienten von 21.1± tα, , 0.187±tα, und ±tα, (c) h = a t+ b t ( ) Die inverse Matrix ist durch gegeben Damit berechnet sich die Approximation zu h = 2.8 t t. 8