Fehlerbetrachtung. 1. Fehlerarten

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1 Eine physikalische Messung liefert nie den wahren Wert x w einer Messgröße X. Der als Ergebnis der Messung gewonnene Messwert besitzt stets Messabweichungen. Die Ermittlung der Messunsicherheiten für die im Rahmen eines Experimentes erhaltenen Ergebnisse ist ein wichtiger Bestandteil der Versuchsauswertung. Erst eine Fehlerbetrachtung sagt etwas über die Güte des gewonnenen Ergebnisses aus. Ausführliche Darstellungen dazu finden sich in der Literatur, z. B. in [1]. Im Folgenden werden nur die für das Physik-Praktikum wesentlichen Grundlagen betrachtet. 1. Fehlerarten Grobe Fehler, die z. B. durch die Verwechslung von Skalen auf einem Messgerät entstehen können, lassen sich prinzipiell vermeiden und werden im Folgenden nicht betrachtet. Zufällige Messabweichungen gehorchen den Gesetzen der Statistik und sind prinzipiell unvermeidbar. Ihre Ursachen liegen im Beobachter selbst (Ablesefehler), in der begrenzten Einstell- und Ablesegenauigkeit von Messgeräten und veränderlichen äußeren Einflüssen (z.b. wechselnder Luftdruck) oder im statistischen Charakter der Messgröße (z. B. Umwandlungsraten bei radioaktiven Präparaten). Für systematische Messabweichungen ist charakteristisch, dass sie bei Wiederholung der Messung unter gleichen Bedingungen konstant bleiben. Die Ursachen der systematischen Fehler sind vor allem in den Messgeräten zu suchen (z. B. fehlerhafte oder ungenaue Kalibrierung, unkorrekte Nullpunkteinstellung, systematische Beeinflussung durch äußere Faktoren). Weitere systematische Abweichungen können bei der Anwendung von formelmäßigen Beziehungen zur Auswertung von Messungen auftreten, wenn die Voraussetzungen für ihre Gültigkeit nur ungenügend erfüllt sind (z. B. fehlende Berücksichtigung von Wärmeverlusten bei kalorimetrischen Versuchen). Ferner kann die zu messende Größe durch das Messgerät oder den Messvorgang systematisch verfälscht werden (z. B. Einfluss des Eingangswiderstandes elektrischer Messgeräte). Bekannte, d.h. nach Richtung und Betrag erfassbare systematische Abweichungen werden grundsätzlich durch Berichtigung der Messwerte eliminiert. Die Größe unbekannter systematischer Abweichungen X kann man Geräteunterlagen oder Normblättern entnehmen. Einige Angaben zu unbekannten systematischen Fehlern sind in Anlage 1 zu finden. Prinzipiell ist die Ermittlung jeder systematischen Abweichung möglich, meist aber mit erheblichem Aufwand verbunden. Unter Praktikumsbedingungen ist eine gründliche

2 Analyse systematischer Abweichungen kaum möglich. Ziel ist es daher, die systematischen Abweichungen möglichst klein zu halten, so dass sie gegenüber den zufälligen Abweichungen vernachlässigbar sind. Bei Verwendung hinreichend genauer Messgeräte und Einhaltung der entsprechenden Messbedingungen ist dies realisierbar. Bei den Fehlerbetrachtungen im Rahmen des Praktikums werden die systematischen Abweichungen in der Regel nicht berücksichtigt.. Größtfehlerabschätzung 1).1 Größtfehler Jede Fehlerbetrachtung sollte mit einer Abschätzung der Größtfehler (Größtfehlerabschätzung) beginnen. Unter dem Größtfehler (Maximalfehler) versteht man die größtmögliche, d.h. unter ungünstigsten Umständen auftretende Abweichung einer Messgröße oder eines Ergebnisses vom wahren Wert. Mit der Abschätzung des Größtfehlers kann man die Grenzen der mit einem bestimmten Messverfahren erreichbaren Genauigkeit überschlagsmäßig bestimmen. Hat man dabei die Schwachstellen der Messung erkannt, lassen sich entsprechende Veränderungen bei der Wahl der Messgeräte oder des Messverfahrens vornehmen. Der Größtfehler X einer physikalischen Größe X setzt sich additiv aus dem zufälligen Größtfehler z X und dem unbekannten systematischen Fehler s X zusammen ) : X = z X + s X (1) Alle Fehlergrößen werden im Folgenden stets als positiv definit betrachtet. Die zufälligen Größtfehler werden bei nur einmaliger Messung der betreffenden Größe - basierend auf der Erfahrung des Experimentierenden und unter Berücksichtigung der Anzeige- und Ablesegenauigkeit des benutzten Messgerätes sowie anderer zufälliger Fehlerquellen - abgeschätzt. Diese Schätzung ist mit einer gewissen Willkür verbunden. Besteht die Möglichkeit einer mehrfachen Messung, so empfiehlt sich die Aufnahme einer kurzen Messreihe (ca. 10 Messungen). Der arithmetische Mittelwert x gilt als Schätzwert für den Erwartungswert μ (der Erwartungswert μ unterscheidet sich vom wahren Wert x w 1) Im Normblatt DIN 1319 wird die in Physik-Praktika übliche Größtfehlerabschätzung nicht genannt. Zur deutlichen Unterscheidung wird im Folgenden bei der Darstellung der Größtfehlerabschätzung von Fehlern (und nicht von den strenger gefassten Messabweichungen) gesprochen. ) Anstelle von X, z X, s X u.ä. werden auch die Symbole u X, u z (X), u s X (nach DIN 1319) verwendet.

3 durch den systematischen Fehler): x = 1 n n x i i=0 () mit den Messwerten x i zur Größe X. Als zufälligen Größtfehler kann man die dreifache Standardabweichung des Mittelwertes s x verwenden (eine Begründung für diese Vereinbarung wird im Abschnitt 3. Gegeben): z X = 3s x. (3) Zur Abschätzung des zufälligen Größtfehlers eines Mittelwertes aus ca. 10 Messwerten kann in Ausnahmefällen auch die halbe Spannweite benutzt werden. Die Spannweite r ist die größte Differenz zwischen den Messwerten einer Messreihe, es gilt dann z X = 0,5r = 0,5 x max x min (4) Zu den unbekannten systematischen Fehlern sind in Anlage 1 einige Angaben zu finden. Zur Angabe des vollständigen Messergebnisses s. Abschnitt 4.. Fehlerfortpflanzung (Größtfehlergleichung) Der Größtfehler einer aus mehreren Messgrößen X 1, X,... hervorgehenden Ergebnisgröße Y nach Y = f X 1, X, (5) ergibt sich - unter der Voraussetzung, dass die Größtfehler X 1, X,... klein gegenüber den Messgrößen X 1, X... sind - auf Grund der Taylorschen Reihenentwicklung aus der Beziehung Y = Y X 1 X 1 + Y X X +. (6) Dabei sind die Y X 1, Y X,... die partiellen Ableitungen von Y X 1, X, nach den Größen X 1, X,.... Die Betragsstriche bewirken, dass eine eventuelle Kompensation von einzelnen Termen in (6) vermieden wird. So erhält man stets den größtmöglichen Fehler. Die Bildung der partiellen Ableitungen kann man sich häufig sparen, da sich die Größtfehlergleichung (6) für einige oft vorkommende Fälle sofort angeben lässt. 3

4 Bei einer Summe (oder Differenz) von Messgrößen Y = ax 1 + bx + cx 3 ± (7) errechnet sich der absolute Größtfehler der indirekt ermittelbaren Größe Y nach Y = a X 1 + b X + c X 3 +. (8) Bei einem Potenzprodukt von Messgrößen entsprechend Y = X 1 a X b X 3 c (9) ergibt sich der relative Größtfehler mit (6) aus der Summe der Beträge der mit dem jeweiligen Exponenten (auch negativ oder gebrochen) multiplizierten relativen Größtfehler der Messgrößen Y Y = a X 1 X 1 + b X X + c X 3 X 3 +. (10) Messgrößen, die mit höherer Potenz in die Funktion Y eingehen, sind daher besonders sorgfältig zu messen. Bei Messreihen sind für die Berechnung der Größtfehler nach (8) bzw. (10) jeweils die Mittelwerte der Größen X 1, X, zu verwenden. Beispiel: Der Druck durch eine Kraft F auf eine Kreisfläche A mit dem Radius r errechnet sich nach p = F A = F πr, (11) der relative Größtfehler aus p p = F F + r r. (1) 3. Statistische Fehlertheorie (Statistische Fehlerrechnung, Gaußsche Fehlerrechnung) 3.1 Voraussetzungen, Definitionen Zwei wesentliche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die statistische Fehlertheorie angewandt werden darf: - Die unbekannten systematischen Abweichungen müssen gegenüber den zufälligen Abweichungen vernachlässigbar klein sein, d.h. es muss gelten s X z X, 4

5 - und es muss eine sehr große Anzahl n (Stichprobenumfang) von Messwerten vorliegen, die unter gleichen Bedingungen gewonnen wurden und statistisch (genauer: normal-) verteilt sind (Gaußverteilung). Der Mittelwert x einer Messreihe nach () ist nicht identisch mit dem Erwartungswert μ, nähert sich diesem aber mit wachsender Zahl n der Messungen. Die empirische Standardabweichung einer Einzelmessung s X ergibt sich aus den quadrierten Abweichungen der Messwerte x i von ihrem Mittelwert x nach s X = n i=0 x i x. n 1 (13) Für n fallen 68% aller Messwerte in den Bereich x ± s X (Abb. 1). Das Quadrat der Standardabweichung s X nennt man auch Varianz oder Streuung. Abb. 1: Darstellung zufallsverteilter Messwerte x i zur Größe X s X x μ 0 X s X Für die Beurteilung der Genauigkeit des Mittelwertes x ist die (empirische) Standardabweichung des Mittelwertes nützlich: s X = n i=0 x i x. n n 1 (14) Der Erwartungswert μ fällt für n mit einer Wahrscheinlichkeit von P = 68% in den Bereich x ± s X. Bei einer endlichen Zahl von Messwerten muss man s X mit einem Faktor t multiplizieren, um eine statistisch gesicherte Aussage zu erhalten. Der Faktor t ist eine Funktion der gewünschten statistischen Sicherheit P (Vertrauensniveau) und des Stichprobenumfanges n (siehe Anlage ); im Physik-Praktikum wird er meist für eine statistische Sicherheit von 99% gewählt. Das Intervall x ts X X x + ts X nennt man Vertrauensbereich (Konfidenz-Intervall), die Größe ts X (= X) bezeichnet man als Messunsicherheit und die Werte x ± ts X heißen Vertrauensgrenzen. 5

6 Beispiel: Zu einer Größe G liegen 10 Messwerte G 1, G,...G 10 vor. Es wird die Angabe von Vertrauensgrenzen für eine statistische Sicherheit von 99% erwartet. Demzufolge ist die Standardabweichung des Mittelwertes s G mit einem Wert t = 3,5 zu multiplizieren. Auf dieser Grundlage basiert auch die in (3) getroffene Vereinbarung, zur Ermittlung des zufälligen Größtfehlers z X die Standardabweichung s X mit dem Faktor 3 zu multiplizieren. 3. Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Die Standardabweichung einer nach (5) aus den Größen X 1, X,... berechneten Ergebnisgröße Y ergibt sich mit Gauß zu s Y = Y s X X1 1 + Y X s X +. (15) Voraussetzung für die Nutzung dieser Beziehung ist, dass alle verwendeten Messgrößen X 1, X,... mit dem gleichen Stichprobenumfang n ermittelt werden. Ein Vertrauensbereich lässt sich dann wieder mit dem Faktor t entsprechend Anlage angeben. Die Bildung der partiellen Ableitungen kann man wie bei der Abschätzung der maximalen Messunsicherheiten in vielen Fällen abkürzen. Für eine Summe oder Differenz von Messgrößen entsprechend (7) ergibt sich als Standardabweichung s Y = as X1 + bsx + csx3 +. (16) Im Falle eines Potenzproduktes nach (9) erhält man s Y Y = a s X 1 X 1 + b s X X + c s X 3 X 3 +. (17) Beispiel: Berechnung des Druckes p, der durch eine Kraft F auf eine Kreisfläche A mit dem Radius r ausgeübt wird (siehe (11)); relative Standardabweichung des Mittelwertes: s p p = s F F + s r r. (18) 6

7 3.3 Lineare Regression (Ermittlung der Ausgleichsgeraden) Bei vielen Versuchen werden Messreihen für zwei Größen x und y aufgenommen, zwischen denen eine lineare Abhängigkeit in der Form y = a + bx besteht (z.b. lineare Abhängigkeit zwischen dem Spannungsabfall U und der Stromstärke I beim Ohmschen Widerstand). Durch eine lineare Regression wird die optimale Ausgleichsgerade für die Messpunkte nach dem Prinzip der kleinsten Fehlerquadratsumme ermittelt. Ein entsprechendes Rechenprogramm liefert dabei den Anstieg b und das Absolutglied a sowie deren Standardabweichungen s b und s a. Als Maß für die Güte der Anpassung dient der Korrelationskoeffizient r xy, der möglichst nahe bei +1 oder -1 liegen sollte. Die mathematischen Zusammenhänge sind der Literatur zu entnehmen (z.b. [1]). Vielfach kann man davon Gebrauch machen, dass sich bestimmte nichtlineare Zusammenhänge durch geschickte mathematische Operationen linearisieren lassen und dann auch einer linearen Regression zugängig sind. Beispiel: Bei der radioaktiven Umwandlung ändert sich die Aktivität A mit der Zeit t entsprechend dem Umwandlungsgesetz A t = A 0 e λt mit A 0 = A t = 0 ; (19) dabei ist λ die Umwandlungskonstante. Nach Division durch die Einheit der Aktivität (Bq) und Logarithmieren beider Seiten von (19) folgt 3) A t ln Bq = ln A 0 Bq λt. (0) Diese Darstellung ergibt eine Gerade vom Typ y = a + bx mit y = ln A Bq, a = ln A 0 Bq, b = λ und x = t. Die lineare Regression liefert Mittelwerte für a und b. Mit ihnen erhält man unmittelbar A 0 Bq = e a und λ = b. Zur Ermittlung der Standardabweichungen von A 0 Bq = e a und λ = b wendet man (15) auf diese Größen an und erhält s λ = s b sowie s A0 Bq = ea s a. 3) Die Division durch die Einheit Bq ist erforderlich, da man den Logarithmus nur von dimensionslosen Größen bilden kann. Arbeitet man nur mit Zahlenwerten, entfällt diese Division. 7

8 4. Ergebnisangaben (vollständiges Messergebnis) Als vollständiges Messergebnis sollen im Rahmen des Praktikums stets der Messwert (bzw. der Mittelwert bei einer Messreihe) oder die Ergebnisgröße und der zugehörige Fehler bzw. die Messunsicherheit angegeben werden. Die Fehler werden mit höchstens zwei zählenden Ziffern geschrieben. Die Stellenzahl des Ergebnisses wird auf die des Fehlers abgestimmt. Es hat keinen Sinn, Stellen zu nennen, die völlig unsicher sind. Die letzte Stelle des Fehlers muss auf die letzte angegebene Ziffer des Ergebnisses wirken. Zusätzlich sollte beim Ergebnis stets erwähnt werden, auf welcher Basis die Fehlergröße ermittelt wurde (Abschätzung des Größtfehlers, statistische Fehlertheorie). Wird der Größtfehler abgeschätzt, so schreibt man bei einer Einzelmessung X = x ± X bzw. bei einer Messreihe X = x ± X. Beispiel 1: Messung einer Länge mit dem Stahllineal: Die einmalige Messung ergibt l = 73,7 mm, l = 0,3 mm. Vollständiges Messergebnis l = (37,7 ± 0,3)mm (Fehlerangabe: Größtfehler) Beispiel : Ermittlung des Temperaturkoeffizienten eines elektrischen Widerstandes: Die Berechnungen ergeben β = 0,00438 K -1, β = 0,00018 K -1. Vollständiges Messergebnis β = (4, ± 0,) 10-3 K -1. (Fehlerangabe: Größtfehler) Die Schreibung mit Zehnerpotenzen gestaltet das Ergebnis übersichtlicher und erspart das Schreiben vieler Nullen. Ist es wegen der Kleinheit der systematischen Abweichungen möglich, die statistische Fehlertheorie zu benutzen, sind die Vertrauensgrenzen für ein Vertrauensniveau P anzugeben: Y = y ± ts y. Beispiel 3: Bestimmung einer Dichte: Die Berechnungen liefern ρ = 6,45897 g/cm 3, ts ρ = 0,38 g/cm 3. Vollständiges Messergebnis ρ = (6,46 ± 0,38) g/cm 3 oder hier günstiger ρ = (6,5 ± 0,4) g/cm 3. (Fehlerangabe: Vertrauensgrenzen für P = 95%) 8

9 Werden Ergebnisse ohne Angabe von Fehlern/Unsicherheiten mitgeteilt, so muss man auch dann die Größenordnung der zu erwartenden Unsicherheit erkennen können. Daher werden nur so viele Stellen angegeben, dass nur die letzte Ziffer unsicher ist. Beispiel 4: Angabe der Fallbeschleunigung: g = 9,81 m/s bedeutet eine Unsicherheit von etwa 1, g = 9,8 m/s bedeutet eine Unsicherheit von etwa 1%, g = 10 m/s bedeutet eine Unsicherheit von etwa 10%. Wird keine gründliche Fehlerbetrachtung durchgeführt, muss abgeschätzt werden und an der gewählten Stellenzahl des Ergebnisses erkennbar sein, ob die Unsicherheit in der Größenordnung von 1, 1% oder 10% liegt. Beispiel 5: Massenangabe bei einer geschätzten Messunsicherheit von 1%: erhaltenes Resultat m = 1348 g, Ergebnisangabe m = 1, g = 1,35 kg [1] D. Geschke (Herausgeber), Physikalisches Praktikum, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart-Leipzig, ab 9. Auflage. 9

10 Anlage 1: Unbekannte systematische Fehler/Messabweichungen s X einiger Messmittel Längenmessgeräte, die im Praktikum verwendet werden: Stahlbandmaß Analog-Messschieber Analog-Messschraube Digital-Messchraube Digital-Messuhr Quarzstoppuhr s l = 0,05 + 5l/mm 10 5 mm s l = 0,05 + l/mm 10 4 mm s l = 0,005 + l/mm s l 0,00 mm s l 0,0 mm s t 10 5 t 10 5 mm Laborthermometer bis +60 C: s θ Skalenteilung in K, θ= Celsius-Temperatur Elektrische Messgeräte: Zeigerinstrumente: Die Angabe der Güteklasse (relative Abweichung in Prozent des Messbereichsendwertes) findet man auf dem Skalenträger. Digitalmultimeter: s X = Güteklasse v. M. + n Digits (v.m.-vom Messbereich, n 1) Oszilloskop: 3% vom Messwert in x- und y-richtung Anlage : t-werte (Student-Verteilung) für unterschiedliche statistische Sicher- heiten P und verschiedenen Stichprobenumfang n P n 70 % 80 % 90 % 95 % 99 % 99,9 % ,39 1,19 1,10 1,08 1,04 1,89 1,53 1,38 1,35 1,8,9,13 1,83 1,76 1,65 4,30,78,6,15 1,96 9,93 4,61 3,5,98,58 31,6 8,58 4,78 4,14 3,9 10