Experimentalphysik E1!

Transkript

1 Experimentalphysik E1! Prof. Joachim Rädler! Paul Koza (Vorlesungsbetreuung)! Alle Informationen zur Vorlesung unter :! Fehlerrechnung! Der freie Fall! V02 19.Okt 2012!

2 Ursprüngliche Definition:! 1s 1/( )! 1/86400 eines mittleren! Sonnentages! Einheit der Zeit! Heute gültige Definition : Sekunde [s]! 1 Sekunde ist das Zeitinterval, während dessen die Cäsiumuhr! ,0 Schwingungen macht.! > Relative Messunsicherheit : 10-14! Atomuhren gehen auf 20 Millionen Jahre 1 s falsch.!

3 bis 100 GHz mit elektronischen Zählern!

4

5 Frequency! Comb!

6 Zeitenskalen! sec! 10 15!Alter des Universums! 10 12!Alter der Erde! 10 9!Erste Menschen / alter der Pyramiden! 10 6!1 Jahr 3, s, 1 Tag 8, s! 10 3!Zeit die Licht von der Sonne zur Erde benötigt! 1!Abstand zwischen Herzschlägen! 10-3!Periode einer Schallwelle! 10-6!Periode einer Radiowelle! 10-9!Licht legt 30cm zurück! 10-12!Periode einer Molekülschwingung! 10-15!Periode einer Atomschwingung! 10-18!Licht legt Atomdurchmesser zurück! 10-21!Periode einer Kernschwingung! 10-24!Licht legt Kerndurchmesser zurück!!

7 Die 7 Basisgrößen und SI-Basiseinheiten der Physik Basisgrösse (Symbol) SI-Einheit Symbol Länge (l) Meter [m] Zeit (t) Sekunde [s] Masse (m) Kilogramm [kg] El. Stromstärke (I) Ampère [A] Temperatur (T) Kelvin [K] Lichtstärke (I) Candela [cd] Stoffmenge (n) Mol [mol] Zur Unterscheidung der Abkürzungen, d.h. der Symbole, für die Einheiten von anderen Abkürzungen setzen wir in dieser Vorlesung die Symbole für die Einheiten in eckige Klammern

8 Messgenauigkeit und Messfehler! 1. systematische Fehler : z.b. durch Messapparatur bedingt! 2. statistische Fehler! Messreihe! Arithmetisches Mittel! Mittleres Schwankungsquadrat! der Einzelmessung! (Varianz)! x σ 2! Messung ! t i [s] !!! 1 N N i 1 x i 1 N N 1 i 1 ( ) 2 x i x Mittler Fehler des! arithmetischen Mittels! σ M N 1 ( N 1) N i 1 ( ) 2 x x i

9 Messreihe :! i ! x i ! arithmetischer! 1 5 Mittelwert! x ( ) 14, 2 Standardabweichung der Einzelmessung! σ x {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ,2 + 4, , , ,6 + 4, 5 Standardabweichung (Fehler) des Mittelwerts! σ M σ x N 4,5 5 2,25 x 14,2 ± 2,25

10 Grafische Darstellung der Messreihe! x ± σ M 20 x i ±σ

11 Verteilungsfunktion! Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte! n j /n! F n i /n! f(x)! x 1 n mit k k i1 i1 Δn i x i Δn i n x! x j! Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k >oo! für x i!0 geht n i! 0, aber! n i n i / x i bleibt endlich!! x j! ( ) 1 n f x Verteilungsfunktion! ( )lim Δn i Δx i ( ) dn dx 1 n ( ) f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden!

12 Eigenschaften der Verteilungsfunktion! Die Verteilungsfunktion ist normiert:! weil k Δx i n i n f x i1 ( )dx lim 1 n [( ) n i Δx ] i 1 Varianz! + ( ) 2 σ 2 e 2 x w x f ( x)dx Wenn nur statistische Fehler auftreten! Normalverteilung! (Gausssche Glockenkurve)! f ( x) 1 2πσ 2 e ( x xw ) 2 2σ 2

13 Normalverteilung! f ( x) 1 2πσ 2 e ( x xw ) 2 2σ 2 f(x)! σ 1/4! σ 1/2! σ 1! Hat man aus n Messungen σ bestimmt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer Messwert innerhalb der Standartabweichung liegt! ( ) f x P x w x i σ x w +σ x w σ ( )dx -1! 0! x - x w! Anmerkung : Bei gequantelten statistischen Vorgängen z.b. Photonenzählen geht die $ Gauss- in die Poissonverteilung über! f ( x) x x x! e x 1! x ganzzahlig Einsetzen und Integrieren ergibt:! P( e i σ) 0,683 (68% Vertrauensbereich) P( e i 2σ ) 0,954 (95% Vertrauensbereich) P( e i 3σ ) 0,997 (99% Vertrauensbereich)

14 Zentraler Grenzwertsatz! Sind x i unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert x w und!! n 1 Varianz σ 2, so ist die Summe x i im Grenzwert n->!! n i1 normalverteilt mit Mittelwert x w und Varianz σ 2 /n.!

15 Wer misst misst Mist!! n j! Systematisch Fehler! Kalibrierfehler! Hintergrundsignale! Statistische Fehler! x! x j! x j! Thermische Fluktuationen! Schrotrauschen! 1/f Rauschen!

16 Zur Natur der Messfehler! Wie nah sind wir dem "wahren" Wert?! Quelle : Demtröder, 2003!

17 Geschwindigkeit! Geschwindigkeit v ist das Verhältnis des zurückgelegten Weges! Δs zur dazu benötigten Zeit, Δt.! s[m]! s[m]! Δt! Δs! t[s]! t[s]! v Δs Δt 10 2 m s 5 m s v lim Δ t 0 Δs Δt ds dt Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit!

18 Die Beschleunigung! Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit nennt man! Beschleunigung.! v[m/s]! Auch die Beschleunigung ist ein Vektor.! Δv a lim t 0 Δt d v $ m' dt % & s 2 ( ) a dv dt und! v ds dt a d 2 s dt t[s]!

19 a[ m] s 2 Die gleichförmig beschleunigte Bewegung! a! a(t) a v [ m] s v 0! s[ m] s 0! t[ s] t[ s] t[ s] v( t) t a dt 0 v ( t) a t + v t a s ( t) t + v0 t s0 0 ( a t ) s( t) + v 0 0 dt

20 g9,36±0.22 m/s 2! Erste Messung von g im Jahre 1651! Asinelli Turm in Bologna! Aus: Physics Today, Sept. 2012!