Luftverschmutzung bei Inversionswetterlage

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1 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite von 8 Wilfrie Rohm wilfrie.rohm@schule.at Luftverschmutzung bei Inversionswetterlage Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Lineares Differentialgleichungssystem, Differenzengleichung, Differenzengleichungssystem, Laplace-Transformation, Numerische Lösung von Diffferentialgleichungen Kurzzusammenfassung Das Beispiel "Luftverschmutzung bei Inversionswetterlagen" führt zu einem einfachen linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung wir auf 3 Arten urchgeführt: * Näherungsweise mit Hilfe eines Differenzengleichungssystems * Symbolisch mit Hilfe er Laplace-Transformation * Numerisch mit Hilfe er Möglichkeiten, welche Mathca liefert (Funktion rkfest) Die Lösung wir aus umweltpolitischer Sicht iskutiert. Diaktische Überlegungen / Zeitaufwan: Falls im Unterricht ie Laplace-Transformationen behanelt weren, wir hier eine interessante Möglichkeit erläutert, jenseits elektrotechnischer Fragestellungen ie Anwenung ieser Transformation zur Lösung von Differentialgleichungssystemen zu emonstrieren. Ebenso aus iaktischer sicht interessant sin ie Moellierung, ie lösung über ein Differenzengleichungssystem sowie ie Diskussion er Lösung. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstan / Abteilung / Jahrgang): Angewante Mathematik, 4./5.Jahrgang Mathca-Version: Mathca 5 Literaturangaben: H.Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, 3.Auflage (995), B.G. Teubner ) Die Problemstellung - Aufstellen er Differentialgleichungen Bei sogenannter Inversionswetterlage liegen (aners als sonst) warme Luftmassen auf kalten, was azu führt, ass er vertik Luftaustausch behinert wir. Kommt noch eine stabile Hochwetterlage mit wenig Win azu, so kommt es zu einer (unter Umstänen gefährlichen) Ansammlung von Schastoffen in er Atmosphäre. In Ballungsräumen entstehen ann ie bekann "Smogsituationen." Im vorliegenen (stark vereinfachten) Moell betrachten wir verschieene Schastoffe: H S (Schwefelwasserstoff) un SO (Schwefelioxi) un folgene Zusammenhänge: H S SO Sulfite un Sulfate k ε Wilfrie Rohm

2 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite von 8 Wir setzen nun voraus, ass kein Abzug von Schastoffen erfolgt (Inversionswetterlage!). m ( t) sei ie Menge an Schefelwasserstoff (H S) zum Zeitpunkt t m ( t) sei ie Menge an Schwefelioxi (SO ) zum Zeitpunkt t. Gemäß em obigen Schema oxiiert Schefelwasserstoff zum Teil zu Schwefelioxi, as wieerum zu Sulfiten un Sulfaten bzw. Schwefelsäure aufoxiiert weren kann un am sogenannten "Sauren Regen" mitbeteiligt ist.(siehe ie Anmerkungen zum Begriff "Saurer Regen" auf Seite 6 ieses Artikels) Anmerkungen: Sulfite sin Salze, welche ein SO Ion enthalten Sulfate sin Salze, welche ein SO Ion enthalten Schwefelige Säure hat ie Formel H SO 3 Schwefelsäure hat ie Formel H SO 4 Mit er Annahme es oben skizzierten Reaktionsschemas erhalten wir amit as folgene (gekoppelte) Differentialgleichungssystem t m ( t) m ( t) t m ( t) m ( t) k m ( t) ε, ε... Emissionsraten er beien Schastoffe k... Anteil an H S, er pro Zeiteinheit zu SO oxiiert (un amit zur Reuktion von H S beiträgt un gleichzeitig zur mehr SO führt)... Anteil an SO, er pro Zeiteinheit zu weiteren Stoffen (z.b. Sulfaten) umgewanelt wir Noch zu berücksichtigen sin ie Anfangsbeingungen - as sin ie Stoffmengen m () un m (). ) Lösung mit Hilfe von Differenzengleichungen Am einfachsten (un verstänlichsten) lässt sich as Differentialgleichungssystem urch Umschreiben in ein Differenzengleichungssystem näherungsweise lösen. Dieses Differenzengleichungssystem kann irekt (ähnlich wie in einer Tabellenkalkulation) ruch rekursive Definition mit Hilfe von Vektoren gelöst weren: t m( t) wir umgeschrieben zu: m un weiter zu: m n m t m( t) wir umgeschrieben zu: m un weiter zu: m n m t m ( t) m ( t) wir amit zu: m n m k m ε un schließlich zu: m n m ε k m t m ( t) m ( t) k m ( t) ε wir amit zu: m n m k m k m ε un schließlich zu: m n m k m k m ε Wilfrie Rohm

3 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite 3 von 8 Nun ie Umsetzung in Mathca: ORIGIN : : h Festlegung er Konstanten ε : kg h k :.4h ε : kg h k :.3h m : kg Die Anfangswerte weren in ein Fel als.element geschrieben m : kg n :.. m n m ε k m : m n m k m k m ε ( ) Über iesen Vektor weren ie aneren Felelemente rekursiv berechnet m kg m kg Tabellarische Darstellung Grafische Darstellung: n : m n 6 m n n Wilfrie Rohm

4 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite 4 von 8 3 ) Symbolische Lösung es Differentialgleichungssystem mit Laplacetransformation Mit Hilfe er Laplace-Transformation können wir ein System von Differentialgleichungen in ein System von algebraischen Gleichungen umformen, as symbolisch wesentlich einfacher lösbar als im Zeitbereich ist. Anmerkung: Die hier verwenete Mathca-Version erlaubt nicht ie Laplace-Transformation einer ganzen Gleichung - aher müssen ie Gleichungen hänisch oer getrennt transformiert weren: Die Überführung in en Laplace-Bilbereich kann irekt erfolgen: t m ( t) m ( t) wir transferiert zu: s M( s) m M( s) s t m ( t) m ( t) k m ( t) ε wir transferiert zu: s M( s) m M( s) k M( s) ε s Wir erhalten also ein algebraisches Gleichungssystem im Bilbereich (Laplace-Bereich), as auch gleich (im Bilbereich!) gelö wir Vorgabe s M m M s m, m... Anfangsbeingungen Menge an en Schastoffen HS bzw. SO zum Zeitpunkt s M m M k M ε s M M( s), M M( s) MM : MM Suchen( M, M) m s s s m s ε s ε m s m s s k s s 3 k s MM(s) un MM(s) sin ie Lösungen im Bilbereich. Diese Lösungen weren nun (wieerum) als Funktion von s angeschrieben, um ie Rücktransformation urchführen zu könn Zusätzlich weren er größeren Flexibilität wegen ie Funktionen auch noch in Abhängigkeit von en konstanten Gfrößen efiniert. : MM M s,, ε,, k, m, m : MM M s,, ε,, k, m, m m s s s m s ε s ε m s m s s k s s 3 k s Rücktransformation in en Zeitbereich: : M( s,, ε,, k, m, m ) m t,, ε,, k, m, m invlaplace, s, t sammeln, exp( t) m e k t : M( s,, ε,, k, m, m ) invlaplace s m t,, ε,, k, m, m,, t ε k k t e m k Wilfrie Rohm

5 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite 5 von 8 Da ie Lösung oben über en rechten Ran hinausgeschrieben wir, wir sie hier nochmals übersichtlich angeschrieben: m ( t) m ( t) m ε k e k t e k t m k e k t k m ε k ε k m k m k k k Der besseren Übersicht wegen kann man iese Ausrücke noch vereinfachen, inem man ie Konstanten in en flüchtigen Anteilen (as sin jene mit en e-potenzen!) zu en "neuen" Konstanten A,B un C zusammengefasst; m ( t) A e t m ( t) ε B e t C e k t k Die Konstanten A,B un C ergeben sicch aus em Vergleich mit er ermittelten symbolischen Lösung: A m Aus er.gleichung (nach hänischem Vereinfachen) m B Aus er.gleichung k C k m ε k ε k m k m k k k Hinweis : Da in en verschieenen Mathca-Versionen beim symbolischen Rechnen unterschieliche Vereinfachungen erfolgen, ist zu erwarten, ass ie konkrete Darstellung er Konstanten A,B un C versionsabhängig ist! Grafische Darstellung er Lösung: m : kg m : kg Anfangsmengen zum Zeitpunkt : kg ε : kg Emissionsraten von HS un SO h h :.4h k :.3h Welcher Anteil pro Zeiteinheit reagiert weiter? Die "Enniveaus" bzw. Sättigungswerte ergeben sich aus er oben angeführten symbolischen Lösung : Die flüchtigen Anteile (as sin jene mit en e-potenzen) gehen wegen em negativen Exponenten gegen für t gegen Unenlich! Daher erhält man ie foilgenen "Sättigungswerte" für m(t) un m(t): N m : k N ε m : k Wilfrie Rohm

6 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite 6 von 8 t : h,.h.. h 4 Nm (, ) m t, ε, ε, k, k, m, m m t, ε, ε, k, k, m m 5 Nm Schwefelwasserstoff Schwefelioxi t h Diskussion es Ergebnisses aus umweltpolitischer Sicht: Für grosses t (t-> unenlich) stabilisiert sich (bei Inversionswetterlage!) er Gehalt an m (t) un m (t) auf einem bestimmten Niveau, wenn keine externen Veränerungen (Fahrverbote...) vorgenommen weren. Dieses Niveau kann aber unter Umstänen (in Abhängigkeit von en Konstanten un en biologischen Gegebenheiten) gesunheitsschälich sein! Daher zeigt ieses Berechnung auf, ass urch legistische Maßnahmen (z.b. Geschwinigkeitsbeschränkungen oer temporäre Fahrverbote etc.) eingegriffen weren muss, um ie Konstanten (Sättigungswerte) Nm un Nm auf ein erträgliches Maß zu senken! Dies geschieht auch tatsächlich in er Praxis (beispielsweise zeitabhängige Geschwinigkeitsbeschränkungen an bestimmten Autobahnabschnitten in Tirol un Salzburg) Noch eine Anmerkung zum Begriff "Saurer Regen": Regen ist uuch en Gehalt an säurebilenen Oxien in er Luft (zum Beispiel CO ) von Natur aus leicht sauer, unter "Sauren Regen" versteht man aber ie zusätzliche Versauerung es Regens urch en Menschen (unterhalb eines ph-wertes von 5,6). Diese wir in erster Linie urch Schwefelioxi un Stickoxie verursacht, welche urch ie Verbrennung fossiler Rohstoffe in ie Luft gelangen. Dort können iese Oxie zu schwefeliger Säure, Schwefelsäure sowie Salpetersäure weiterreagieren un zur Versauerung es Regens führen. Dieses Problem war in en 7-iger un 8-iger Jahren es vorigen Jahrhunerts in Europa un Noramerika von großer Beeutung, verschieene technische Maßnahmen haben as Problem es "Sauren Regens" zuminest in Europa inzwischen eutlich reuziert. Allerings ist aktuell er Saure Regen (un nebenbei gesagt auch vorallem er "Saure Nebel") in Gegenen mit steigenen Verbrauch fossiler Rohstoffe (zum Beispiel in China!) ein großes Problem! 4) Numerische Lösung es Differentialgleichungssystems (mit er Funktion rkfest) Ausgangspunkt ist wieerum unser Differentialgleichungssystem: Wilfrie Rohm

7 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite 7 von 8 t m ( t) m ( t) t m ( t) m ( t) k m ( t) ε Die Funktion rkfest verwenet as Runge-Kutta-Verfahren vierter Ornung mit fester Schrittweite. ORIGIN : Unter Angabe er Oxiationsraten, er Emissionsraten un er Startwerte für ie Mengen läßt sich as System mit em Befehl rkfest wie folgt lösen..4 k : ε : m :.3 Inex entspricht Schwefelwasserstoff, Inex entspricht Schwefelioxi. Zur engültigen Lösung wir an ieser Stelle noch ie Matrix er ersten Ableitungen eingeführt. D( t, m) k m : k m k m ε t : Anfangszeitpunkt t : Enzeitpunkt N : Schritte f : rkfest( m, t, t, N, D) f Schwefelwasserstoff Schwefelioxi Wilfrie Rohm

8 HTL Saalfelen Luftverschmutzung Seite 8 von 8 e k t k m ε k ε k m k m k k k Wilfrie Rohm