3 Boxdimension. 3.1 Wozu denn noch ein Dimensionsbegriff?

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1 26 3 imension 3.1 Wozu enn noch ein Dimensionsbegriff? Im letzten Kapitel haben wir Fraktale betrachtet, ie exakt selbstähnlich sin. Die Selbstähnlichkeitsimension eignete sich in hervorragener Weise, iese Fraktale auszumessen. Wenn ein Fraktal aber nicht exakt selbstähnlich ist, stoßen wir an ie Grenzen er Selbstähnlichkeitsimension. Das liegt aran, ass iese Fraktale nicht mehr sinnvoll mit vererten Kopien ihrer selbst ausgemessen weren können. Abb. 3.1: Der Pythagorasbaum Der Pythagorasbaum ist nicht exakt selbstähnlich. Zum einen kann man as erst, größte Quarat un Dreieck nicht mit vererten Kopien er Gesamtfigur überecken. Zum aneren ist er Vererungsfaktor über er einen Kathete aners als über er aneren Kathete. Es gibt also keinen einheitlichen Skalierungsfaktor s. Solche Figuren kommen nicht nur in er Mathematik sonern auch in er Natur vor. Hier wir zusätzlich er Begriff ähnlich nicht in seiner geometrisch exakten Beeutung verwenet. Die Berechnung er Dimension für solche gebile in er Natur ist heute in en Naturwissenschaften, z.b. in er Meizin oer Biologie ein wichtiger Bestanteil.

2 27 Abb. 3.2: Bil einer Leber als Ergebnis einer Gefäßmoellierung auf Basis globaler konstruktiver Optimierung. 8 Wir benötigen also eine Messmethoe, welche nicht auf exakt selbstähnliche Fraktale beschränkt ist. Hier eignet sich ie imension. 3.2 Was ist ie imension? Wenn as Objekt selbst nicht zum Ausmessen herangezogen weren kann, liegt es nahe, ein stanarisiertes Element zum Messen zu verwenen. Bei er imension für Objekte in einer Ebene weren azu Quarate er Kantenlänge a genutzt. Diese sin zu einem regelmäßigen Gitter, wie auf einem Karoblatt, angeornet. Dieses Gitter wir auf ie auszumessene Figur gelegt. Dann wir ausgezählt, wie viele Kästchen n einen Teil er Figur enthalten. Man verert nun ie Kästchengröße a mit em Skalierungsfaktor s zu einer neuen Größe a un zählt erneut ie entsprechenen Kästchen, welche Anteile er Figur enthalten. Die Anzahl er en Kästchen n steht abei zur Anzahl er en Kästchen n in einem gewissen Verhältnis, welches sich urch folgene Gleichung ausrücken lässt: 8 Diese Abbilung wure von Horst Hahn, Fraunhofer MEVIS, Bremen zur Verfügung gestellt.

3 28 n = n s Der Exponent wir ie imension es untersuchten Objektes genannt. Der Skalierungsfaktor s kann urch ie verschieenen Rasterkantenlängen a un a ausgerückt weren: s a = a Wir ersetzen nun s: n a = n a Diese Gleichung können wir verwenen, um ie imensin zu bestimmen. Dazu lösen wir ie Gleichung nach box auf. n log n log n log n = = a log a log a log a Wir können ie Hanhabbarkeit er Formel für unsere Zwecke noch etwas verbessern, inem wir ie Rasterkantenlängen a un a als Bruchteil er Ausehnung es zu untersuchenen Objektes angeben. Wenn wir ie Ausehnung ann noch Normieren,.h. ihr ie Länge 1 zuornen un als Rasterlängen nur ganzzahlige Teilungsverhältnisse zulassen, erhalten wir für a un a jeweils einen Stammbruch, z.b. a = 1! 8 un! a = 1 16 oer allgemein! a = 1. Wir sin aurch b unabhängig von er tatsächlichen Kantenlänge bzw. er Größe er Abbilung es zu untersuchenen Objekts. Für en Nenner unserer Dimensionsgleichung ergibt sich ann: 1 1 log a log a = log log b b = log1 logb log1 log Un für ie imension : = 0 logb 0 log = log b logb ( b ) ( b )

4 29 log n = log b log n logb Die so gewonnene Gleichung kann man als einen Differenzenquotienten betrachten. Die Dimension kann also auch als Steigung in einem Diagramm interpretiert weren, in em log n gegen log b aufgetragen ist. Dieses weren wir weiter unten nutzen. In er Praxis müssen wir bei er Interpretation es so gewonnenen Wertes berücksichtigen, ass wir in vielen Fällen nur einen Näherungswert für ie imension erhalten können, a ie Genauigkeit von er Feinheit un er Ausrichtung es Gitters abhängt un ieses realistisch gesehen nicht unenlich verfeinert weren kann. Außerem ürfen wir nicht vergessen, ass wir auf iese Weise keine Grenzbiler von Fraktalen untersuchen können, a wir immer nur eine bestimmte Stufe eines Fraktals abbilen können. Das Verfahren macht also nur Sinn, wenn as Gitter noch größer als ie sten Elemente er abgebileten Stufe es Fraktals ist. Wir weren im nächsten Kapitel urch Verwenung von mehr als zwei Zählungen einen Weg finen, ie imension etwas genauer zu approximieren. 3.3 Bestimmung er imension in er Praxis Um ein Gefühl für en Umgang mit er gerae entwickelten Gleichung un em beschriebenen Verfahren zu bekommen, wollen wir ie imension eines Objektes bestimmen. Nehmen wir eine einfache Strecke. In Abbilung 3.3 wuren 6 verschieenmaschige Gitter auf ie Strecke gelegt. Abb. 3.3: Verschieen grobe Gitter weren auf ie Strecke gelegt.

5 30 Zählt man jeweils ie getroffenen Maschen aus, erhält man ie in er folgenen Tabelle angegebenen Daten. Stufe b = 1/Gitterweite n = Anzahl Berechnen wir nun ie imension unter Verwenung er Daten er ersten un zweiten Stufe. log 5 log 2 0,699 0,301 = 1,32 log 4 log 2 0, 602 0,301 Das scheint merkwürig zu sein, wissen wir och, ass eine Strecke einimensional ist. Führen wir probeweise ie Berechnungen mit en Werten er 5. un 6. Stufe urch, erhalten wir Folgenes: log 24 log 20 1,38 1,301 = 0,45 log 24 log16 1,38 1, 204 Wie kommt es zu iesen enormen, sich wiersprechenen Abweichungen? Schauen wir uns noch einmal ie Gitternetze in Abbilung 3.3 an. Die Strecke verläuft nicht parallel zu en Gitternetzlinien. Daurch weren an manchen Stellen zwei untereinaner liegene Maschen getroffen. Wenn man jeoch ie Strecke an ie Gitterausrichtung angliche, ist leicht einzusehen, ass ie Anzahl er getroffenen Gittermaschen jeweils mit em Wert b übereinstimmte. Dann kämen wir mit Werten er ersten beien Stufen - un jeer aneren Stufe auch - zu folgenem Ergebnis: log 4 log 2 = = 1 log 4 log 2 Die Lage es Objektes im Gitter bzw. ie Ausrichtung es Gitters auf em Objekt ist also von nicht zu unterschätzener Beeutung. Bei einem so wenig komplexen Objekt wie einer Strecke können wir arauf leicht Rücksicht nehmen. Was ist aber mit einem komplexen Fraktal? Hier weren wir sicherlich nicht immer eine geschickte Lösung finen. Um trotzem ein genaueres Ergebnis zu erhalten, nutzen wir en Effekt, ass sich iese Fehler bei Heranziehung mehrerer Messungen etwas relativieren lassen. Bei er praktischen Anwenung er imension trägt man ie gemessenen Werte in ein oppelt logarithmisches Koorinatensystem ein. Im Iealfall liegen ie Messpunkte auf einer Geraen, im Normalfall ist as nur näherungsweise er Fall. Daher ermittelt man zu en Messpunkten eine Ausgleichsgerae, eren Steigung ann ie imension ist. Die nachfolgene Tabelle greift noch einmal as Beispiel zur Strecke auf.

6 31 Stufe log(b) 0,301 0,602 0,903 1,079 1,204 1,380 log(n) 0,301 0,699 1,000 1,079 1,301 1,380 In Abbilung 3.4 sin ie entsprechenen Wertepaare als Punkte in einem Koorinatensystem argestellt. 2,5 log(n) 2 y = 1,0x + 0,1 1,5 1 0,5 0-0,5 0 0,5 1 1,5 2-0,5 log(b) Abb. 3.4: Doppelt logarithmische Diagramm für eine Strecke. Wir zeichnen nun per Augenmaß eine Ausgleichsgerae ein. Alternativ können wir auch etwas eleganter un genauer nach er Methoe er sten Quarate ie Ausgleichsgerae bestimmen. Dieses erleigen aber auch Computerprogramme für uns. 9 Die Steigung ieser Ausgleichsgeraen liefert nun einen etwas genaueren Wert für ie imension. In unserem Fall kann man sich avon urch ie in Abbilung 3.4 angegebene Geraengleichung überzeugen. Wir erkennen an iesem Beispiel eutlich ie Grenzen er imension: Praktische Messungen haben stets nur eine gewisse Genauigkeit, ie allerings urch ie Anzahl er Messpunkte gesteigert weren kann. 3.4 Die imension einer Küstenlinie Vorüberlegungen Ist es sinnvoll, ie imension einer Küstenlinie zu bestimmen? Steckt in em Wort Küstenlinie nicht schon ie Antwort? Nämlich ass ie Dimension 1 ist? Wir haben aber auch gesehen, ass ie Dimension von Liniengebilen, wie z.b. er Kochkurve zwischen 1 un 2 liegen kann. Bei em Entstehungsprozess für ie Kochkurve haben wir mit einer Strecke begonnen (eren Länge wir zu 1 normiert 9 Dieses kann zum Beispiel in Excel mit er Option Trenlinie urchgeführt weren.

7 32 hatten). Im weiteren Konstruktionsprozess wuchs aber ie Länge von 4 Stufe zu Stufe um en Faktor, so ass im Grenzwert galt:! 3 n 4 lim = n 3 Die (einimensionale) Länge er Grenzfigur ist nicht bestimmbar. Die Selbstähnlichkeitsimension war größer als 1. Was hat as nun mit einer Küstenlinie zu tun? Den Zusammenhang erkennen wir, wenn wir einmal kritisch hinterfragen, was eigentlich genau ie Küstenlinie ist. 10 Beschränkt man sich abstrakt auf Karten, so ist ie Küstenlinie um so genauer argestellt, je feiner er Maßstab ist. Auf solchen Karten kommen Buchten vor, ie bei einem gröberen Maßstab weggelassen weren (müssen). Geht man also zu feineren Karten, so wächst ie Linie er Küste nicht nur urch en aneren Maßstab, sonern ie Länge wächst überproportional, a nun ie Feinheiten zusätzlich eine Verlängerung verursachen. Nimmt man nun keine Karten, sonern misst an er realen Küste, so wir as Problem noch komplizierter. Wie soll man sich an er Küste bewegen? Fliegt man mit einem Flugzeug an er Küste entlang? Fährt man mit einem Fahrzeug oer geht man zu Fuß un zählt ie Schritte? Bei en beien letzteren Verfahren kommt bei einer Küste mit Ebbe un Flut ie Frage auf, wo enn eigentlich ie Küstenlinie verläuft. Auch hier müssen wir feststellen, ass ie Küstenlinie um so länger wir, je genauer wir hinschauen. Genau as ist bei er Konstruktion er Kochkurve auch passiert: von Stufe zu Stufe sin weitere Feinheiten azugekommen, ie ie Linie verlängert haben. In so fern ist es also berechtigt, einen Küstenlinie wie ein Fraktal auszumessen. Warum sollte man ie ()Dimension einer Küste ermitteln? Welche Information kann man aurch gewinnen? Vergleichen wir zwei verschieene Küstenlinien, so weren beie beim genaueren Ausmessen überproportional länger. Allerings kann er Verlängerungsfaktor, er bei gleicher Vorgehensweise von Stufe zu Stufe bzw. von Maßstab zu Maßstab auftritt, unterschielich sein. Dieser Verlängerungsfaktor ist abhängig von er Komplexität er Küste. Je zerklüfteter ie Küste, esto mehr Details weren in einer jeweils höheren Stufe Berücksichtigung finen. Wie wir schon in en vorangegangenen Kapiteln gesehen haben, ist ie fraktale Dimension ein geeignetes Maß, en Gra er Komplexität anzugeben. Die Komplexität steht im Zusammenhang mit er Geschwinigkeit, mit welcher ie Linienlänge von Stufe zu Stufe wächst. Beispiele von imensionen von Küsten auf Grun von Satellitenbilern: Australien: 1,13 Großbritannien: 1,25 Norwegen: 1,52 10 How long ist he coast of Britain? Mit ieser 1967 veröffentlichten Abhanlung hat er Mathematiker Benoit Manelbrot ie Untersuchung von Fraktalen angestoßen.

8 Bestimmung er imension von Rügens Küstenlinie Wir arbeiten hier mit einem Kartenbil un erzeugen as genauer Hinschauen wie schon beschrieben urch immer feinere Quaratgitter. Die Breite es verweneten Kartenausschnitts wure auf 1 normiert. Gitterweite 1/4 Gitterweite 1/8 Gitterweite 1/12 Gitterweite 1/16 Gitterweite 1/24 Gitterweite 1/32 Abb. 3.5: Rügen unter verschieen groben Gittern. 3,5 log(n) 3 y = 1,41x + 0,41 2,5 2 1,5 1 0, ,5 1 1,5 2 2,5 log(b) Abb. 3.6: Bestimmung er imension von Rügens Küstenlinie

9 34 Mit etwas Zeit un Geul kann man ie in Abbilung 3.5 argestellten Rasterungen auszählen un auf schon bekannte Art un Weise in ein oppelt logarithmisches Koorinatensystem eintragen. Dann erzeugt man wieer eine Ausgleichsgerae un ermittelt eren Steigung. Rügens Küstenlinie hat emnach ie imension 1,41. Sie ist so betrachtet sogar komplexer als ie Kochkurve, ie mit log 4 s = 1, 26 log3 eine nierigere Selbstähnlichkeitsimension besitzt. 3.5 Sin imension un Selbstähnlichkeitsimension gleich? Für viele Fraktale gelangt man mit er imension - zuminest näherungsweise zum gleichen Wert wie mit er Selbstähnlichkeitsimension. Es gibt aber Ausnahmen. Wenn ein Fraktal konstruktionsbeingt Überlappungen in sich birgt, weren iese von er imension nur einfach berücksichtigt, a sie ja nicht nebeneinaner, sonern übereinaner liegen. Die Selbstähnlichkeitsimension berücksichtigt hingegen iese Überlappungen, enn ie Selbstähnlichkeit berechnet sich wie wir gesehen haben aus em Skalierungsfaktor s un er Anzahl er um s vererten Kopien, mit enen ie Figur ausgelegt weren kann. 11 Beie Dimensionsbegriffe können aher nur mit Vorsicht zueinaner in Beziehung gesetzt weren. 11 Vgl. Peitgen / Jürgens / Saupe 1992, S. 258 f.