Leibnizschule Hannover

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1 Leibnizschule Hannover - Seminararbeit - Schleppkurven J D Schuljahr: 2011 Fach: Mathematik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Die Schleppkurve un ihre Anwenung 2 2 Erarbeitung eines Verfahrens zur Berechnung 3 21 Herleitung 3 22 Schleppkurve einer Parameterkurve 4 3 Beispiele von Schleppkurven 6 31 Durchfahren einer Kurve mit einem zweiachsigen Fahrzeug 6 32 Durchfahren einer Kurve mit einem mehrgelenkigen Fahrzeug 7 33 Durchfahren eines Kreises 8 4 Schleppkurven un Flächenberechnung Weitere Überlegungen Lastzug Die Maße Die überstrichene Fläche im Stabmoell 11 5 Anhang Literaturverzeichnis 14

3 1 Einleitung: Die Schleppkurve un ihre Anwenung Bei einer Schleppkurve hanelt es sich um eine Kurve, ie as Verhalten eines Punktes S zu einem Punkt F beschreibt Dabei bewegt sich er Punkt F auf einer vorefinierten Kurve, er Punkt S liegt auf er Tangente im Punkt F im konstanten Abstan zu F Die Menge er Punkte S liefert ie Schleppkurve y voref Funktion F Schleppkurve S Ein Anwenungsgebiet von Schleppkurven ist ie Berechnung er vom Fahrzeug überstrichenen Fläche beim Durchfahren einer Kurve bzw im Verlauf eines beliebigen Fahrweges Ausschlaggeben für ie Größe ieser Fläche sin unter anerem ie Anzahl er Gelenke (zb Anhängerkupplung bei einem Pkw mit Anhänger) un eren Abstäne zueinaner, sowie ie Breite es Fahrzeuges In ieser Seminararbeit behanle ich ie Anwenung von Schleppkurven bei er Planung von Straßenführungen zur Ermittlung er von einem mehrgelenkigen Fahrzeug überstrichenen Fläche beim Durchfahren gekrümmter Fahrwege x 2

4 2 Erarbeitung eines Verfahrens zur Berechnung von Schleppkurven Es hanelt sich bei einer Schleppkurve um eine Menge von Punkten, eren x- un y- Koorinaten sich aus einer vorefinierten Kurve f(x f ) errechnen lassen Dabei besteht ie Möglichkeit, ass einer x-koorinate zwei oer mehrere y-koorinaten zuzuornen sin Daher verwene ich für ie Schleppkurve eine parametrische Darstellung: Die Koorinaten es Punktes S auf er Schleppkurveweren urch ie Funktionen S x (x f ) un S y (x f ) beschrieben 21 Herleitung Ein Verfahren zur Berechnung einer Schleppkurve zu einer vorefinierten Kurve (Leitkurve) soll entwickelt weren Gegeben ist ie Funktion f(x f ), auf er er Punkt F verläuft, sowie er Abstan es Punktes F zu em Punkt S, er ie Schleppkurve beschreibt y f(x f ) F y S x Aus er Zeichnung erkennt man, in welcher Relation er Punkt S zum Punkt F steht: F(x f f(x f )) S(x f + x f(x f )+ y) Da ie Strecke ie Steigung er Kurve f(x f ) am Punkt F besitzt, ergibt sich so er Zusammenhang von x un y: Mit Hilfe es Satzes es Pythagoras ergibt sich: x f (x f ) = y x 2 = ( x) 2 +( y) 2 un araus folgt: y = 2 ( x) 2 Dieser Ausruck für y wir in ie Gleichung für ie Steigung er Leitkurve eingesetzt un iese ann nach x umgeformt: 3

5 f (x f ) = 2 x 2 x f (x f ) 2 = 2 x 2 x 2 f (x f ) 2 = 2 x 2 1 f (x f ) 2 +1 = 2 x 2 x 2 (f (x f ) 2 +1) = 2 2 x 2 = f (x f ) 2 +1 x = ± f (x f ) 2 +1 Nun lässt sich y urch en gefunenen Ausruck von x errechnen f (x f ) = y x f y (x f ) = ± f (x f ) 2 +1 y = ± f (x f ) f (x f ) 2 +1 Damit sin x un y in Abhängigkeit es Abstanes un er Steigung er Leitkurve f (x f ) ausgerückt Hieraus folgen ie Koorinatengleichungen für en zugehörigen Punkt S er Schleppkurve: S x (x f ) = x f ± f (x) 2 +1 S y (x f ) = f(x f )± f (x f ) f (x) 2 +1 Das Vorzeichen berücksichtigt hierbei ie Tatsache, ass ie Schleppkurve in zwei Richtungen vom Tangentenpunkt aus gebilet weren kann Wir as x-vorzeichen positiv gewählt, so muss as y-vorzeichen auch positiv sein 22 Schleppkurve einer Parameterkurve Aus er Herleitung sin uns nun folgene Formeln zur Berechnung er Schleppkurve bekannt: S x (x f ) = x f ± f (x) 2 +1 S y (x f ) = f(x f )± f (x f ) f (x)

6 Habe ich als Leitkurve aber nicht eine Funktion f(x f ), sonern eine Parameterkurve (P x (t) P y (t)) gegeben, so müssen ie Gleichungen für ie Schleppkurve angepasst weren Aus x f wir abei P x, aus f(x f ) wir P y, ie Ableitung er Parameterkurve ergibt sich aus: Zusammengefasst erhält man: P = y x = P y(t) t t P x (t) = P y (t) P x(t) S x (t) = P x (t)± ( P y (t) P x (t))2 +1 P y(t) S y (t) = P y (t)± P x(t) ( P y(t) P x(t) )2 +1 5

7 3 Beispiele von Schleppkurven 31 Durchfahren einer Kurve mit einem zweiachsigen Fahrzeug Bei ieser Berechnung weren ie Breite es Fahrzeuges, sowie Überstäne bei Vorer- un Hinterachse nicht berücksichtigt Außerem hat as Fahrzeug keine Gelenke Als Leitkurve nehme ich einen parabelförmigen Verlauf an: f(x f ) = 0,3(x+4) 2 +4 y y 1 1 f(x f ) S(x f ) =5 1 x 1 f(x f ) S(x f ) =10 x Der Parameter gibt en Abstan er Vorerachse zur Hinterachse an Die Hinterachse fährt abei auf er Leitkurve, währen sich ie Vorerräer auf er Schleppkurve bewegen 1 Der Winkel, enietangente mit erschleppkurvebilet, ist gleich emeinschlagswinkel er Vorerräer Aus en Diagrammen erkennt man, ass ein größeres ebenfalls eine verhältnismäßig weitere Schleppkurve zur Folge hat 1 Zuerst war mir ieser Umstan nicht bewusst, och mir fiel beim Autofahren auf, ass ie Hinterräer eine engere Kurve beschreiben als ie Vorerräer Dies ließ mich arauf schließen, ass ie Vorerräer auf er Schleppkurve fahren, währen sie ie Hinterräer so hinter sich schleppen, ass iese ie Leitkurve beschreiben 6

8 32 Durchfahren einer Kurve mit einem mehrgelenkigen Fahrzeug Mehrere Gelenke beeuten, ass eine Verkettung von Schleppkurven stattfinet Die Schleppkurve von einer Schleppkurve wir gebilet Man stelle sich hierbei einen Gelenkbus vor, essen Hinterräer auf er Leitkurve (f) fahren Die Vorerräer es Busses fahren auf er Schleppkurve (S 2 ) zur Kurve es Gelenkes (S 1 ), welche ie Schleppkurve er Leitkurve ist Auch in ieser Berechnung wuren Überstäne un Fahrzeugbreiten nicht berücksichtigt Als Leitkurve nehme ich wieer einen parabelförmigen Verlauf an: f(x f ) = 0,3(x+4) 2 +4 y 1 1 S 1 (f) 1 =5 f(x f ) S 2 (S 1 ) 2 =5 S(f) =10 Vergleicht man nun ie Schleppkurve es gelenklosen Fahrzeuges (gemeint ist S(f) =10 ) mit er äußeren Schleppkurve es Gelenkbusses (S 2 (S 1 ) 2 =5), bemerkt man, ass ie Kurve es Gelenkbusses enger ist, h ass ie Fläche, welche as Fahrzeug überstreicht, wesentlich geringer ist Allgemein lässt sich sagen, je mehr Gelenke ein Fahrzeug besitzt, esto kleiner ist ie beim Durchqueren einer Kurve überstrichene Fläche x 7

9 33 Durchfahren eines Kreises Sei ie Leitkurve urch P x (t) = r cos(t) P y (t) = r sin(t) gegeben Bei er Schleppkurve eines Kreises hanelt es sich um einen Spezialfall Denn sobal ein Fahrzeug auerhaft ie Vorerräer eingeschlagen hat un auf er Kreisbahn fährt, bewegen sich ie restlichen Räer ebenfalls auf einer Kreisbahn, er einzige Unterschie besteht arin, ass sich ie Raien er Kreisbahnen unterscheien Dieser Umstan lässt sich rechnerisch beweisen: S x (t) = cos(t) r± ( cos(t) sin(t) )2 +1 S x (t) = cos(t) r± S x (t) = cos(t) r± sin(t) 1 cot(t) 2 +1 cos(t) S y (t) = sin(t) r± sin(t) ( cos(t) sin(t) )2 +1 S y (t) = sin(t) r± cot(t) S y (t) = sin(t) r cot(t) sin(t) S y (t) = sin(t) r cos(t) 1 cot(t) 2 +1 Geometrisch lässt sich ie Rechnung auch belegen: y P y F sin(α) α P r sin(α) r r S α cos(α) r P x cos(α) x Aus em Diagramm ergibt sich für P x un P y : P x = cos(α) r+sin(α) P y = sin(α) r cos(α) Das Diagramm liefert neben en oben genannten Zusammenhängen eine Möglichkeit, en Raius er Kreisschleppkurve zu berechnen: r s = r

10 x y 9

11 4 Schleppkurven un Flächenberechnung 41 Weitere Überlegungen Die von einem Lastzug überstrichene Fläche beim Durchqueren einer Kurve soll berechnet weren Um ein realitätsnahes Beispiel zu nutzen, nehme ich hier als Automoell ein 60- t-lastzug, wie er in Unterlagen er Bunesanstalt für Strassenwesen erwähnt wir 1 Nun soll berechnet weren, wie breit ie Fahrbahn sein muss, amit er Lastzug ie Kurve urchfahren kann Zuerst verwene ich hierfür ein sogenanntes Stabmoell 2 Hierbei wir angenommen, ass as Fahrzeug ie Breite b = 0 besitzt Hat man nun auf iese Art un Weise ie Schleppkurven berechnet, baut man auf ieses Stabmoell as Fahrzeug symmetrisch auf, um auf ie angegebene Breite b zu kommen Da as Fahrzeug ie Kurve in beien Richtungen urchfährt, muss ies bei er Berechnung er Fläche berücksichtigt weren 42 Lastzug 421 Die Maße 3 Aus er Grafik lässt sich ein Stabmoell ableiten Anzumerken ist, ass mehrere Achsen (gemeint sin hier ie Achsen, an enen sich ie Räer befinen) zu einer verrechnet weren können So ergibt sich aus en hinteren 3 Achsen eine resultierene Achse, berechnet aus em Mittelpunkt er 3 Achsen Um ie Berechnung ein wenig zu vereinfachen, habe ich ie beweglichen Achsen jeweils an as Ene es Lastwagen bzw an en Anfang es Anhängers gesetzt rweber/herr%20winter/cad II Skripte /CAD 2 06 Schleppkurve pf 3 s 1 10

12 Stabmoell: Lastwagen L = 10,2m Anhänger A = 13,6m D = 1,45m AH = 9,6m AU = 4m V Vorbau B L B A bew Achsen L Leitkurvenpunkt H Heck 422 Die überstrichene Fläche im Stabmoell In 421 habe ich ie Maße es Lastzuges bestimmt Als nächsten Schritt braucht man eine Leitkurve, auf er sich er Leitkurvenpunkt bewegt f(x) = 0,0024x 3 +0,016x 2 0,2x Die Koeffizienten habe ich so gewählt, ass ie Kurve in Anbetracht er Dimensionierung es Lastzuges sinnvoll erscheint Zur Berechnung er einzelnen Schleppkurven habe ich Maple 13 verwenet Um ie Schleppkurve es Hecks H zu bestimmen, habe ich eine Schleppkurve er Leitkurve gebilet mit er Länge AU = 4m H(x AU f (x) 2 +1 f(x) A U f (x) f (x) 2 +1 ) Der Punkt B A bewegt sich ebenfalls auf einer Schleppkurve, ie von er Kurve es Leitkurvenpunktes L ausgeht im Abstan Ah, allerings in ie anere Richtung (Vorzeichenwechsel s21) B A (x+ AH f (x) 2 +1 f(x)+ A H f (x) f (x) 2 +1 ) B L verläuft auf er Schleppkurve von er Kurve auf er sich er Punkt B A bewegt Mit (B A ) ist ie Steigung er Schleppkurve, ie urch B A verläuft im Punkt B A gemeint B L (B Ax + D (BA ) 2 +1 B Ay + D (B A ) (BA ) 2 +1 ) Die Schleppkurve auf er sich er Vorbau V bewegt, basiert auf er Schleppkurve zur Kurve von B A Das azugehörige Mapleskript befinet sich im igitalen Anhang 4 4 In ausgeruckter Form übersteigt es ie 1000-Seiten-Marke, im igitalen Anhang befinet sich eine übersichtlichere Fassung 11

13 Eine weitere Einschränkung bilet hier außerem ie Tatsache, ass er Laster iese Kurve leiglich aus einer Richtung urchfährt Um as Kurvenverhalten es Lastwagens zu moellieren, wenn er aus er entgegengesetzten Richtung kommt, müssen bei er Berechnung ie Vorzeichen geänert weren: S(x f + x f(x)+ y) S(x f x f(x) y) Legt man nun beie Graphen übereinaner, ergibt sich ie von einem Lastzug mit er Breite b = 0 überstrichene Fläche beim Durchfahren ieser Kurve in beien Richtungen, 12

14 zur Vereinfachung gehe ich von einer Fahrbahn aus, ie in beien Richtungen befahren wir, allerings nur einen Fahrstreifen zu bieten hat Die Breite es Lastzuges war Null Um ie von einem Lastzug mit er Breite b = 2,4 überstrichene Fläche zu errechnen, wir as Stabmoell zu Hilfe genommen Nehme man einmal an, ass ie bisher ermittelten Kurven ie Schleppkurven er Fahrzeugmitte arstellen, so bilet man nun von iesen Kurven Parallelkurven für beie Richtungen mit em Abstan b 2 Insgesamt ergibt as also 18 Kurven Aufgrun er Komplexität er Berechnungen er Parallelkurven konnte ich iese nicht berechnen 5 Hat man nun ie Parallelkurven gebilet, müssen leiglich ie äußeren Kurven zu Hüllkurven zusammengeschlossen weren, so ergibt ie Fläche zwischen iesen beien Kurven ie vom Fahrzeug überstrichene Fläche 5 In Maple brach ie Berechnung aufgrun eines Arbeitsplatzspeicherefizits ab 13

15 5 Anhang 51 Literaturverzeichnis (1) Angaben un Kopien vom Fachlehrer (besoners -tour-schleppkurve/) (2) susanne/verfolgung/schleppmenuehtml (besoners abei susanne/verfolgung/glieerzughtml) (3) rweber/herr%20winter/cad II Skripte /CAD 2 06 Schleppkurve pf (4) 14

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