2 Selbstähnlichkeit, Selbstähnlichkeitsdimension

Transkript

1 9 2 Selbstähnlichkeit, Selbstähnlichkeitsdimension und Fraktale 2.1 Selbstähnlichkeit Bei den Betrachtungen zur Dimension in Kapitel 1 haben wir ähnliche (im geometrischen Sinn) Figuren miteinander verglichen. Dabei wird eine Figur durch eine zentrische Streckung mit einem Skalierungsfaktor k verkleinert oder vergrößert. In diesem Kapitel soll es nun darum gehen, dass die kleinere Figur in der großen wiederzufinden ist. Diese Eigenschaft nennt man Selbstähnlichkeit. Definition (Selbstähnlichkeit) Eine Struktur heißt selbstähnlich, wenn Teile von ihr verkleinerte Kopien des Ganzen sind. Eine Struktur heißt exakt selbstähnlich, wenn sie sich in einzelne, genaue Kopien des Ganzen zerlegen lässt. Jeder dieser Teile einer exakt selbstähnlichen Struktur ist eine genaue Kopie des Ganzen. 4 Genauer heißt das, dass es zu einer exakt selbstähnlichen Figur (Punktmenge) einen Skalierungsfaktor s < 1 und eine Zahl n gibt, so dass die Vereinigung von n mit s verkleinerten Kopien die Figur reproduziert. Beispiele: Jede Strecke kann in eine gewisse Anzahl von Strecken zerlegt werden. Da alle Strecken trivialerweise zueinander ähnlich sind, ist jede Strecke also selbstähnlich. Jeder Quader kann in 8, 27, 64,... gleichgroße Teilquader, die zum ursprünglichen Quader ähnlich sind, zerlegt werden. Jeder Quader ist also selbstähnlich. Nicht alle Figuren sind selbstähnlich. So lässt sich zum Beispiel ein Kreis nicht vollständig durch kleinere Kopien von sich selbst, also Kreisen, reproduzieren. Das gleiche gilt für ein Sechseck oder eine Pyramide. Abb. 2.1: Nicht-selbstähnliche Figuren 4 Fraktale, Selbstähnlichkeit, Chaosspiel, Dimension, Ein Arbeitsbuch, Peitgen u. a., Seite 1

2 Selbstähnlichkeitsdimension In Kapitel 1.4 haben wir bereits Einblicke in die Dimensionen erhalten, die wir nun auf selbstähnliche Figuren übertragen wollen. Dort hatten wir ein Ausgangsbild B 0 durch eine Skalierung mit einem Faktor k abgebildet auf ein Bild B 1. Wir nennen in den folgenden Betrachtungen den Skalierungsfaktor s. Bei der (exakten) Selbstähnlichkeit erzeugen wir Verkleinerungen B 1 mit dem Faktor s!0 < s <1, von denen wir n Kopien brauchen, um die Ausgangsfigur B 0 zu reproduzieren. Sind B 0 und B 1 von der Dimension d, dann gilt! B 1 = sd B 0. Gleichzeitig wissen wir, dass n verkleinerte Kopien B 1 wieder das Ausgangsbild B 0 ergeben, also n B = B. Setzt man beide Gleichungen zusammen,! 1 0 erhält man! n s d B 0 = B 0!!n s d = 1!!n = 1 s d. Beispiel Eine Strecke der Länge 5 wird mit dem Verkleinerungsfaktor! s = 1 5 verkleinert. n = 5 Kopien füllen die Originalstrecke aus. 5 = 1 ( 1 5 )1 Zerlegen wir ein Quadrat in kleinere Teilquadrate, die jeweils! 1 5 der Seitenlänge des Originalquadrates besitzen, passen 25 Teilquadrate in dieses große Quadrat. 25 = 1 ( 1 5 )2 Wie am Ende des Kapitels 1 machen wir auch hier wieder einen großen, verallgemeinernden Schritt zur Definition der Dimension d. Wird die Ausgangsfigur mit dem Skalierungsfaktor s verkleinert und ist n die Anzahl der Verkleinerungen, die das Original beinhaltet, so gilt: n = 1 s = 1 d 1 log n = log d = log n log( 1 s ) d d = d log 1 Liegt also eine exakt selbstähnliche Figur vor, die in n verkleinerte Kopien ihrer selbst zerfällt und ist der Verkleinerungsfaktor von der Ausgangsfigur zur verkleinerten Kopie s, dann kann man die Dimension der Figur über die obige Formel berechnen.

3 11 Diese Methode führt zur Selbstähnlickeitsdimension. Um Verwechslungen mit anderen Dimensionsbegriffen zu vermeiden, bezeichnen wir sie mit d s,. 2.3 Fraktale Was sind Fraktale Es gibt bis jetzt noch keine umfassende Definition von Fraktalen. Um einen Arbeitsbegriff zur Verfügung zu haben, werden wir einige typische Eigenschaften nennen, die als hinreichende Bedingungen für ein Fraktal gelten. Das bedeutet, wenn eine dieser Eigenschaften auftritt, sprechen wir von einem Fraktal, wissend, dass es möglicherweise auch Fraktale ohne diese Eigenschaft gibt. Der von B. Mandelbrot geprägte Begriff Fraktal leitet sich von dem lateinischen Wort frangere bzw. fractum ab (deutsch: brechen, bzw. gebrochen) und bezieht sich auf die oft nicht ganzzahlige Dimension von Fraktalen. Eine nicht ganzzahlige Dimension ist ein hinreichendes Erkennungsmerkmal von Fraktalen. 5 Wir haben im letzten Kapitel den Begriff der Selbstähnlichkeit eingeführt und gezeigt, dass manche wohlvertraute Figur exakt selbstähnlich ist. Eine weitere Methode wurde von Mandelbrot selbst beschrieben: durch mehrfaches Anwenden einer Verkleinerungs- und Vervielfältigungsvorschrift, angewendet auf eine Ausgangsfigur, wird eine geometrische Figur erzeugt. Führt man diese Vorschrift unendlich oft durch, erhalten wir als Grenzbild dieses Prozesses eine exakt selbstähnliche Figur, bei der in jedem geeigneten Teil der Figur stets die Struktur des Ganzen erkennbar ist. Diese Selbstähnlichkeit ist eine weitere typische Eigenschaft für ein Fraktal. Bei den so erzeugten Figuren kann man die Selbstähnlichkeitsdimension sehr leicht bestimmen und es zeigt sich, dass die so ermittelte Dimension in den meisten Fällen nicht ganzzahlig ist. Es gibt aber auch Fraktale, die nicht selbstähnlich oder nur eingeschränkt selbstähnlich sind. Für solche Fraktale kann man die Dimension nicht über die Selbstähnlichkeit bestimmen. Diese Problematik wird im dritten Kapitel durch einen weiteren Dimensionsbegriff, die Boxdimension, gelöst Konstruktion von selbstähnlichen Fraktalen Es gibt verschiedene Wege, Fraktale zu erzeugen. Allen Verfahren gemein ist ein rekursives Vorgehen. Wir beschränken uns auf das Erstellen von selbstähnlichen Fraktalen durch einen rekursiven Prozess, der in jeder Stufe die drei Komponenten Verkleinern, 5 Einige besondere Fraktale mit ganzzahliger Dimension sind z.b. der Sierpinski- Tetraeder, die Peano-Kurve und die Hilbert-Kurve. Alle drei Fraktale haben die Dimension 2.

4 12 mehrfaches Kopieren und anschließendes Zusammensetzen der Kopien beinhaltet. 1. Beispiel Nehmen wir als Grundelement (Initiator) eine einfache Strecke. Wir verkleinern die Strecke mit dem Skalierungsfaktor s = 1 3 und erstellen von diesem Element 4 Kopien. Diese setzen wir nun so zusammen, wie in Stufe 1 bei Abb. 2.2 gezeigt. (Generator) Die gewonnene Figur wird wiederum mit s = 1 3 verkleinert, kopiert und mit den Kopien zusammengefügt, usw. (Stufe 2, Stufe 3,...). Stufe 0 Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Abb. 2.2: Entstehung der Koch-Kurve Das beschriebene Verfahren zum Erstellen von Fraktalen wird oft auch unter Verwendung eines Initiators und eines Generators dargestellt. Der Vorteil dabei ist, dass die Art des Zusammenfügens der Kopien im Allgemeinen im Generator ablesbar ist. Das Grundelement, der Initiator, ist in unserem Fall die Ausgangsstrecke. Der Generator ist eine Figur, durch welche der Initiator ersetzt werden soll. Er besteht aus einer bestimmten Anzahl von entsprechend verkleinerten

5 13 Initiatorelementen. In Abb. 2.2 entspricht Stufe 1 dem Generator. In jeder weiteren Stufe wird nun jedes Initiatorelement durch eine entsprechend verkleinerte Kopie des Generators ersetzt. Dieses wird unendlich oft fortgesetzt. 2. Beispiel Abb. 2.3: Konstruktion mit Initiator und Generator Hier werden 3 Kopien des mit s =! 1 verkleinerten Initiators (Quadrat) 2 zum Generator zusammengesetzt. Wählt man nun denselben Initiator und ergänzt im Generator verschiedene Drehvorschriften, ergeben sich eine Vielzahl an Fraktalen, die gebildet werden können. Um die Drehvorschrift im Generator ablesen zu können, ist eine Ecke des Initiators markiert. Abb. 2.4: Drehungen im Generator