Iteriertes Funktionensystem. Martin Aigner Rainer Brodinger Martin Rieger

Transkript

1 Iteriertes Funktionensystem Martin Aigner Rainer Brodinger Martin Rieger

2 Agenda Einleitendes Beispiel Definition und Beschreibung Einsatzgebiete / Anwendungen weitere Beispiele

3 Sierpinski-Dreieck "Das Sierpinski-Dreieck entsteht aus einem gleichseitigen Dreieck, aus dem das Mittendreieck entfernt wird. Dadurch zerfällt das Dreieck in 3 weitere Teildreiecke, aus denen wiederum die Mittendreiecke entfernt werden. Der Grenzwert des Verfahrens liefert das gesuchte Dreieck."

4 Sierpinski-Dreieck

5 Sierpinski-Dreieck n=1

6 Sierpinski-Dreieck n=2

7 Sierpinski-Dreieck n=3

8 Sierpinski-Dreieck n=6

9 Fläche des Sierpinski- Dreiecks A 0... Ausgangsfläche,a 0...Seitenlänge A 0 = 3 4 a 2 0;a 1 = 1 2 a 0 A 1 =3 3 4 a 2 1= a = 3 4 A 0 A 2 = 3 = 4 A 1 A A 0 A n = 3 4n A 0 A S. D. =lim n A n =lim n 3 4n A 0 =0

10 Umfang des Sierpinski- Dreiecks U 0...U. Ausgangsdreieck,a 0...Seitenlänge U 0 =3 a 0 ;a 1 = 1 2 a 0 U 1 =33 a 1 = a 0 = a 0 =3 2 U 0 U n = 3 2n U 0 U S. D. =lim n U n =lim n 3 2nU 0 =

11 Rückkopplungsmaschine

12 Mehrfach-Verkleinerungs- Kopiermaschine (MVKM)

13 Sierpinski-Dreieck {R 2 ; f 1, f 2, f 3 }mit f 1 x, y= x 2, y 2 ; f 2 x, y= x 2 1 2, y 2 ; f 3 x, y= x 2 1 4,y 2 1 2

14 Mathematik eines IFS Was ist ein Fraktal? Definition eines IFS Eigenschaften Erzeugung eines IFS

15 Was ist ein Fraktal lat. fractus: gebrochen bezeichnet natürliche, künstliche Gebilde oder geometrische Muster meist durch rekursive Vorschrift gebildet gekennzeichnet durch Selbstähnlichkeit Objekt besteht aus verkleinerten Kopien seiner selbst

16 Definition Eine Menge Ғ von Funktionen f i,i Nheißt iteriertes Funktionensystem wenngilt : f i : M M igleicher Def. / Bildbereich und Ғ Ғ Ғ d.h. f i, f j Ғ : f i f j Ғ

17 Eigenschaften I Das IFS Ғ muss endlicherzeugt sein d.h. Ғ besteht aus endlichvielen Funktionen aus denen Weiteredurch Iterationwiederholte Komposition gebildet werden.

18 Eigenschaften II Die Menge M ist ein vollständig metrischer Raummit Metrik d d.h. je2 Elementen x, y M kanneine positivereelle Zahl zugeordnet werden welche alsderen Abstandinterpretiert werdenkann. d: MxM R +

19 Eigenschaften III f Ғ : f ist kontraktiv M,dist metrischer Raum. Eine Abbildung f :M Mheißt kontraktiv auf Mwenngilt : 1: x, y M: d f x,f y d x,y

20 Folgerung Unter diesenumständengibt es eine invariante,sebstähnliche Menge X M

21 Invarianz von X DieTeilmenge X Mist invariant wenn sie von jeder Funktiondes IFS wieder in sich abgebildet wird.

22 Selbstähnlichkeit von X DieTeilmenge X Mist selbstähnlich wenn jedes x X in der Bildmenge FXeiner Funktion f Ғ ist.

23 Erzeugung eines IFS Ғ 1 := { f 1,..., f r : M M } Vorauss.: f Ғ : f kontraktiv 1 Fortsetzung durch Iteration Ғ := Ғ Ғ := n1 1 n { f g : f Ғ 1, g Ғ n } es ergibt sich Ғ =U Ғ n n=1

24 Veranschaulichung

25 Anwendungen Fraktale Kompression Grafisches Werkzeug

26 Fraktale Kompression Natur: Viele Strukturen mit starker Selbstähnlichkeit Umfamgreiche Gebilde durch kleine Erzeugersysteme Mitte der 80 Jahre: > Idee der fraktalen Kompression Erste Implementierung: 1992

27 Fraktale Kompression Prinzip: 1. Bild in Domainblöcke partitionieren

28 Fraktale Kompression Prinzip: 2. Zu jedem Domain Block wird ein Rangeblock gesucht [ unter einer affinen Abbildung (Drehung, Skalierung, Translation) möglichst nahe am Domain Block ]

29 Fraktale Kompression Hauptaufgabe: Finden der richtigen Range Blöcke Vereinfachung: Feste Anzahl von Transformationen (affinen Abbildungen) Feste Rangeblockgrößen (Eckpunkte eines 2 dim. Gitternetzes)

30 Fraktale Kompression Bsp: Fraktale Kompression vs. JPEG

31 Fraktale Kompression Vorteile: hohe Kompressionsraten Auflösungsunabhängigkeit > Beliebiges Hineinzoomen Nachteil: Komprimieraufwand deutlich höher als z.b. bei GIF oder JPEG

32 Fraktale Kompression Formate: FIF ( Fractal Image Format) von Iterated Systems Trotz Vorteile gescheitert (keine Browser Implementierung) FCI ( Fractal Compressed Image) Verfahren schneller als bei FIF Aber nicht ganz so gute Kompressionsraten Auch nicht durchgesetzt

33 Grafisches Werkzeug Als praktisches Werkzeug für Bilder der Natur Beispiel: Wolken, Landschaften, Pflanzen Vereinzelte Versuche in Video Nachbearbeitungen

34 Weitere Beispiele Sierpinski Teppich

35 Weitere Beispiele Koch Kurve

36 Weitere Beispiele Farn

37 Literaturquellen Hermann Dietmar, Algorithmen für Chaos und Fraktale, Addison-Wesley, dissertationen/diss_kiefner.pdf M. Oberguggenberger, A. Ostermann, Analysis für Informatiker, Springer, 2005

38 Bildquellen Applet Das Sierpinski-Dreieck