Fraktale Terrainerzeugung. Fraktale. Ziel der Ausarbeitung. fbm) Fractional Brownian Motion (fbm( Eigenschaften von fbm

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1 Ziel der Ausarbeitung Fraktale Terrainerzeugung Jürgen Platzer,, Mario Ruthmair,, Institute of Computer Graphics and Algorithms 2/ 34 Fraktale Warum Fraktale? Effiziente Erzeugung von Details Simulation von Objekten aus d. Natur Intuitive Definition (K. Musgrave) geometrisch komplexes Objekt, dessen Komplexität durch die Wiederholung einer gegebenen Form in verschiedenen Größen entsteht. Fractional Brownian Motion (fbm( fbm) Brownsche Molekularbewegung (R. Brown) Ähnelt Höhenprofil fbm (Mandelbrot / Ness) Familie v. stochastischen Prozessen Einstellen von beliebigen Dimensionen Erweiterung auf 2D Terrain 3/ 34 4/ 34 Eigenschaften von fbm Varianz proportional zu Zeitschritt H steuert fraktale Dimension (0 < H < 1) Formal: D = E H Algorithmen zur Terrainerzeugung Repräsentation eines Terrains mit Höhenfeld (= 2D Array) Algorithmen erzeugen fbm Erweiterung der Algorithmen auf 2D: Zerteilungs-Algorithmus Spektralsynthese Midpoint Displacement 5/ 34 6/ 34

2 Zerteilungs-Algorithmus (2D) Zerteilungs-Algorithmus (2D) Ausgangssituation: Höhenfeld mit (gleichen) Höhenwerten Iterationsschritt: Zufällige Linie durch das Höhenfeld Höhenwerte der einen Hälfte erhöhen Iterationsschritt beliebig oft wiederholen 1. Iteration 7/ 34 8/ 34 Zerteilungs-Algorithmus (2D) Zerteilungs-Algorithmus (2D) 2. Iteration Nach 500 Iteration 9/ / 34 Spektralsynthese Spektralsynthese Zufällige Wahl von Schwingungen im Frequenzraum Wenige hochfrequente Schwingungen niedrige fraktale Dimension Rücktransformation in Ortsraum mit inverser Fourier-Transformation fbm-kurve entspricht der Summe von gewichteten Schwingungsfunktionen 11 / / 34

3 Spektralsynthese Spektralsynthese 13 / / 34 (Initialisierung) Höhenfeld mit Seitenlänge 2 n + 1 Vorgegebene Höhenwerte an den Kanten (1. Iteration) Mittelwert der Höhenwerte d. Ecken + Setzen der Höhe im Zentrum 15 / / 34 (2. Iteration) Mittelwert der angrenzenden Höhenwerte + Setzen der Höhen in der Mitte der Kanten (3. Iteration) Mittelwert der angrenzenden Höhenwerte + Setzen der Zentren der kleinen Quadrate 17 / / 34

4 (4. Iteration) Mittelwert der angrenzenden Höhenwerte + Setzen der Zentren der Karos Vorteile Jeder Höhenwert wird einmal ermittelt Simple Berechnung Nachteil Artefakte können entstehen Anwendungsbeispiel Star Trek 2 Triangle - Subdivision 19 / / 34 Multifraktale Erosion Natürliche Objekte Besitzen verschiedene Dimensionen Beispiel Erde: komplexe Gelände, Wellen, Multifraktale Heterogene Fraktale (mit unterschiedlichen Dimensionen) 21 / / 34 Was bedeutet Erosion? Abtragung der Erdoberfläche durch natürliche Einflüsse 2 Arten: Hydraulische Erosion durch Wassereinwirkung Temperaturbedingte Witterung Hydraulische Erosion Sediment wird im Wasser mitgeschwemmt In jedem Vertex werden Zusatzinformationen gespeichert: Wasseranteil Materialeigenschaften Sedimentanteil im Wasser Höhendifferenz entscheidet über die Materialbewegung 23 / / 34

5 Hydraulische Erosion Hydraulische Erosion 25 / / 34 Temperaturbedingte Witterung Temperaturbedingte Witterung Materialaustausch mit 8 Nachbarn pro Vertex: Nachbar liegt höher keine Veränderung Nachbar liegt um eine Mindestdifferenz niedriger Materialanteil wird verschoben Mindestdifferenz und Materialanteil definieren Materialeigenschaften 27 / / 34 Datenstrukturen Verschiedene Materialschichten Verschiedene Materialien in verschiedenen Höhen Zusätzliches Array pro Vertex im Höhenfeld Speichern von Informationen über Gesteinsschichten 29 / / 34

6 Parallelverarbeitung Parallelverarbeitung Streifeneinteilung des Terrains z.b. 1 Streifen pro Recheneinheit Synchronisation an den Grenzen der Streifen 31 / / 34 Zeitraffer-Simulationen Referenzen Mandelbrot B.B., Die fraktale Geometrie der Natur,, Birkhäuser, 1991 Peitgen H.-O., Saupe D., The science of fractal images,, Springer, 1988 Pfeiffer R., Scholl O., Natur als fraktale Grafik,, Markt und Technik, 1991 Kolb C., Mace R., Musgrave K., The Synthesis and Rendering of Eroded Fractal Terrains,, ACM Computer Graphics: Proceedings SIGGRAPH, Volume 23, Number 3, pp.41-50, / / 34