Hauptseminar : IFS & Indra's Pearls P. Gafert & A. Aichert
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- Elke Albrecht
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 : P. Gafert & A. Aichert
2 : Indra's Pearls Stichpunktiste Kurze Einführung - Vokommen in der Natur - Adressen Möbius-Transformationen - Darstellung und DOF - Kreistreue - Stereographische Projektion - Fixpunkte Indra's Pearls - erste IFS - Schotty Kreise - Adressen II - Beispiele
3 Fraktale Vorkommen in der Natur Pflanzen - Barnsley Farn - Baum, Ast, Zweig... - Broccoli Landschaften - Küstenlinien - Flussläufe - Wolken Terragen
4 Fraktale Vorkommen in Körper und Physik Körper - Gefäßsystme (- Fellstruktur) Signale - (Video-) Rückkopplung - Reflexionen zb Indra's Pearls (links) Peitgen, Saupe, Fraktale, Bausteine des Chaos (rechts)
5 Wiederholung Adressierung Orientierung im Fraktal durch Adressen: - Identifizierung der Transformationen durch Zahlen - IFS-Fraktal: Menge der Punkte zu den Wörter über {1...n} - Vorsicht: nicht immer bijektiv
6 Konvexe Zahlen Kurze Erinnerung Komplexe Zahlen - 2 Darstellungen - Multiplikation und Division
7 Möbiustransformationen Möbiustransformationen Darstellung - Definition von Möbiustransformationen (MT) - Für c=0 : z az b - erhält Schnittwinkel - Und ist Kreistreu
8 Möbiustransformationen Möbiustransformationen Verkettung von Möbiustransformationen - Ist wieder eine Möbiustransformation - Lässt sich als Matrixmultiplikation schreiben - achtung:
9 Möbiustransformationen Möbiustransformationen (MT) Darstellung - Alternativ:
10 Möbiustransformationen Möbiustransformationen (MT) Darstellung - Alternativ: - 3 DOF aber 4 DOF - Wir betrachten jetzt MTs für Matrizen mit Determinante 1
11 Möbiustransformationen Möbiustransformationen (MT) Darstellung - Alternativ: Translation Drehstreckung Inversion - Translation und Drehstreckung sind Kreistreu - Inversion bleibt zu zeigen
12 Möbiustransformationen Riemannkugel und Zahlenebene Kompaktifizierung - Arithmetisch gutartig mit weiter zu rechnen ( zb. - Stereographische Projektion auf die Riemannkugel )
13 Möbiustransformationen Riemannkugel und Zahlenebene
14 Möbiustransformationen Kreise und Geraden Einheitliche Darstellung von Kreisen und Geraden - Darstellung von Kreisen und Geraden in einer Form - Der Kreis als - Die Gerade für
15 Möbiustransformationen Kreistreue <
16 Möbiustransformationen Fixpunkte MTs haben bis zu zwei Fixpunkte - quardatische Gleichung
17 Möbiustransformationen Fixpunkte MTs haben bis zu zwei Fixpunkte - quardatische Gleichung - Diskriminante - Determinante auf 1 festgelegt
18 Möbiustransformationen Klassifikation Man unterscheidet folgende Typen - Loxodromisch Spur - Spiralförmige Bahnen von Repellor zu Attraktor - Regelfall - Hyperbolisch Spur reell - Spezialfall von loxodromisch - Mit kreisförmigen Bahnen - Elliptisch Spur - Zwei neutrale Fixpunkte (zb. Drehung) - Parabolisch Spur =±2 - Nur ein Fixpunkt (zb. Translation)
19 IFS Möbiustransformationen... genug der Formeln - IFS aus Möbiustransformationen -> Beispiel Sierpinski-Dreieck Problem: mit den Parametern Spielen führt selten zum Erfolg
20 Indra's Pearls Schottky Gruppe Kreispaarung - a wirft auf das Äußere von - A,a,B,b loxodromische MTs -, b etc. analog - A,a,B,b Erzeuger einer Gruppe Da Db DA DB
21 Indra's Pearls Schottky Gruppe Betrachte Hintereinanderschaltung von A,a,B,b - Wörter über dem Alphabet der Erzeuger als Adressen: w Interpretation von AbaBBa als Abbildung von unter der Verkettung von A, b, B, A und B - Aa=aA=id=Bb=bB (zb. Reduktion vaaw=vw ) - Dieser Kreis liegt in D A D Ab... D_a
22 Indra's Pearls Schottky Gruppe Betrachte Hintereinanderschaltung von A,a,B,b - Wörter über dem Alphabet der Erzeuger als Adressen: w Interpretation von AbaBBa als Abbildung von unter der Verkettung von A, b, B, A und B - Aa=aA=id=Bb=bB (zb. Reduktion vaaw=vw ) - Dieser Kreis liegt in D A D Ab... Wörter und Grenzpunkte - Endliche Wörter entsprechen Abbildungen - Zusammenhang: Länge des Präfix und Abstand - Unendliche Wörter aber Grenzpunkten D_a - Periodizität: AbAbAb entspricht Attraktor von Ab - Präfix: XYAbAbAb... entspricht AbAbAb... mit XY transformiert
23 Indra's Pearls Schottky Gruppe AbaBBa: Abb. von in D A D Ab... Fixpunkt von a liegt in Sein Bild unter B BAAA liegt in BA D_a
24 Indra's Pearls Adressbaum
25 Indra's Pearls Rendering Der Chaos-Spiel Algorithmus im Baum: - Zufällige Wahl der nächsten Transformation: r - v wird zu rv, also Vllt. anderer Teilbaum ab Ebene 1 Eine Ebene tiefer oder höher - Problem: schlechte Darstellung an manchen Stellen D_a
26 Indra's Pearls BFS Breitensuche im Baum - Entspricht dem Aufzählen aller Wörter über - bis zu einer Ebene N - Anzahl der im Speicher befindlichen Wörter nimmt potenziell zu - Brauchbar für Kreisdarstellungen - Unbrauchbbar für Fixpunktmengendarstellung D_a
27 Indra's Pearls DFS Tiefensuche im Baum - Finde ein Blatt (Vorsicht Unendlichkeit: Fixpunkt) - Finde Wege (geschickte Transformation) in den ganzen Baum - Weg kann der bestimmten Art der Trafos angepasst werden - Vorteil: Es kann adaptiv iteriert werden Beispiel: Finde neuen Punkt mit bestimmtem maximalen Abstand D_a
28 Indra's Pearls Küssende Schottky Kreise Sonderfall der Konfiguration - Jeder Kreis berührt wenigstens zwei der Anderen - Ziel: Grenzpunktmenge wird zum Quasikreis - Quasikreis = Topologischer Kreis = Geschlossene Kurve Zusätzlich nötige Forderung - abab(p)=(p) - abab ist parabolisch - Tr(abAB) = -2
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31 Wiederholung Fraktale Dimension Mandelbrots Zirkeldimension : Wie lang ist die Küste Großbritanniens? Kleinere Zirkelweite heißt nicht genauere Messung! (
32 Wiederholung Fraktale Dimension Ähnlichkeitsdimension 4 Kopien der Größe 1/3 ohne Überschneidung!
33 Wiederholung Fraktale Dimension Ähnlichkeitsdimension für die Kochkurve:
34 Möbiustransformationen Stereographische Projektion Kompaktifizierung - Für haben wir den Fall - Jedoch arithmetisch gutartig mit weiter zu rechnen Projektion auf die Kugel - Für - Nach der Formel (falls es jemand wissen will...) - Projektionen von Kreisen sind planar
35 Indra's Pearls Besondere Konfigurationen Küssende Schottky-Kreise - Grandfather s trace formula? ich nicht mehr - ma gucken eine Menge Cindy: Necklace Glowing Gasket, Einzigartig Appolonische Kreise, kreispackungen D_a
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kommt zur Kreisinversion eine Spiegelung des Punktes an der reellen Achse dazu. Die folgenden vier Eigenschaften gelten auch für diese Abbildung
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