Komplexe Zahlen und Möbius Transformationen

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1 Komplexe Zahlen und Möbius Transformationen Dieter Küntzel, 03

2 Inhaltsverzeichnis. Einleitung und Definition Weitere Definitionen und Rechenregeln Konjugiert komplexe Zahl, Betrag, Eulersche Relation Umrechnung kartesischer Koordinaten- und Polarkoordinaten Darstellung....3 Rechenregeln Multiplikation / Division von komplexen Zahlen in Polarkoordinaten Die erweiterte komplexe Ebene Geraden und Kreise in der komplexen Ebene Lineare komplexe Funktionen Definition linearer komplexer Funktionen Struktur der Menge der linearen komplexen Funktionen Abbildungseigenschaften der linearen komplexen Funktionen Komposition aus einfachen Funktionen Kreisverwandtschaft Streckenverhältnis / Streckenteilungsverhältnis Möbius - Transformation Definition der Möbius - Transformation Struktur der Menge der Möbius - Transformationen Abbildungseigenschaften der Möbius - Transformation Komposition aus einfachen Funktionen Kreisverwandtschaft Doppelverhältnis Spiegelung / Inversion am Kreis Beispiele von Möbius Transformationen Ausblick Literaturverzeichnis... 5

3 . Einleitung und Definition In dieser Arbeit wollen wir eine Zahlenmenge untersuchen, die entsteht, wenn wir ausgehend von der Menge der natürlichen Zahlen, inklusive der 0, 0 0,,, 3,... diese schrittweise erweitern: Die Aufgabe die Gleichung x + a = 0 mit a {0,,, 3, 4,...} zu lösen führt auf die ganzen Zahlen { 4, 3,,, 0,,, 3, 4,...}. Die Gleichung a x + b = 0 mit a, b und a 0 kann im allgemeinen nur p in der Menge der rationalen Zahlen p, q und q 0 gelöst werden. q Schließlich führt die Lösung der Gleichung a x b 0 mit a, b und a 0, 0 auf die reellen Zahlen. a Die nächste Erweiterung erwächst aus der Lösung der vollständigen quadratischen Gleichungen im Bereich der reellen Zahlen: b ax bx c 0 mit a,b,c und a 0 Die Gleichung hat die Lösungen x, b b ac. Die Formel macht in a a nur Sinn, falls für den Ausdruck unter der Wurzel b ac 0 gilt. Grund dafür ist, dass in das Quadrat jeder Zahl 0 ist, d.h. das Quadrieren ist eine Funktion {0}. Die Umkehroperation, das Wurzelziehen, ist also nur definiert für Zahlen, die nicht negativ sind. ac b b Gilt nun b ac 0, könnte man formal schreiben x,, aber der Ausdruck macht erst mal keinen Sinn (siehe oben). Um das Problem zu lösen definiert man eine neue Zahlenmenge, die die geforderte Eigenschaft hat, nämlich die Menge der komplexen Zahlen. Zur Definition der komplexen Zahlen führt man die Menge von Zahlenpaaren von reellen Zahlen ein ähnlich wie bei der Einführung von Vektoren in der Ebene - für die dann Rechenregeln definiert werden. Definition: Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als die Menge : {(a,a )I a,a } auf der folgende Rechenregeln definiert sind: seien a (a,a ), b (b,b ), c gegeben, dann gelte 0. a b genau dann wenn a b und a b. a b (a,a ) (b,b ) (a b,a b ) 3. c b c (b,b ) (c b, c b ) a 4. a b (a,a ) (b,b ) (a b a b,a b a b ) a 3

4 Anders als im als Vektorraum wird hier in eine andere Multiplikation definiert. Es ist weder das Skalarprodukt, das ja eine reelle Zahl liefert: a b (a,a ) (b,b ) a b a b noch das Kreuzprodukt, da dieses ja den 3 erfordert. Warum genau diese Definitionen der Multiplikation, gewählt wurden, wird nicht hinterfragt. Später wird deutlich, dass die Definition zur gewünschten Struktur führt. Weiter definiert man: 5. die komplexe Null ist gegeben durch ( 0,0), weil a (0,0) (a,a ) (0,0) (a 0,a 0) (a,a ) a 6. die komplexe Eins ist gegeben durch (,0) weil a (,0) (a,a ) (,0) (a a 0, a 0 a ) (a,a ) a Man kann nun nachrechnen, dass die gewohnten Rechenregeln hinsichtlich Vertauschen von Summanden / Faktoren, Klammersetzung und Kombination von Addition und Multiplikation gelten, z.b. a (a,a ), b (b,b ) a b (a,a ) (b,b ) (a b, a b ) (b a, b a ) weil in die Summanden vertauscht werden können (b,b ) (a,a ) b a a b (a,a ) (b,b ) (a b a b, a b a b ) (b a b a, b a b a ) weil in die Faktoren vertauscht werden können (b a b a, b a b a ) weil in die Summanden vertauscht werden können ba Darüber hinaus sind die Gleichungen a + x = b a * x = b, a 0 für alle a, b - im Falle der Multiplikation a 0 - eindeutig lösbar. Zeigen wir das für die Multiplikation: 4

5 Sei a x b mit a 0 (a,a ) (x,x ) (b,b ) (a x a x, a x a x ) (b,b ). Fall: a 0 : b a x a x b x einsetzen von x a a x b a x a x a x b a x a b a x a b a x a b a a b a b (a a ) x a b a b x, da a 0 a a x b a a b a b a a (a a ) a a b (a a ) a (a b a b ) b a b a a a b a b b a a a b b a a b a (a a ) a (a a ) a a und damit gilt : a b a b a b a b x (x,x ), a a a a. Fall: a 0 und damit zwingend a 0, da a 0 : a x b x b und analog : x b b x (x,x ) b, a a a a Daraus folgt, dass das neutrale Element der Multiplikation, die komplexe Eins, n (, 0 ) ist. (dazu setze in obiger Gleichung: a n a) x und das inverse Element von x (x,x ) 0 ist die Zahl. x x (, ) hinsichtlich der Multiplikation ist x x x x x (dazu setze in obiger Gleichung: x n x ) x Analog dazu erhält man das neutrale Element der Addition, die komplexe Null, n (0, 0 ) und das inverse Element von x (x,x ) hinsichtlich der Addition ist die Zahl x ( x, x ) x Weiter gilt, dass die neutralen Elemente für Addition und Multiplikation verschieden sind : n (0, 0) (, 0) n weil 0 in gilt. x 5

6 Bleibt aber zu zeigen, dass das Wurzelziehen in nun uneingeschränkt möglich ist. Für gegebenes a (a,a ) ist ein x (x,x ) gesucht mit : a x xx (x,x ) (x,x ) (x x x x,x x x x ) (x x, x x ) und somit ergeben sich die beiden Gleichungen a x x (*) a x x (**) a a (x x ) 4 x x x x x x 4 x x 4 4 x x x x 4 4 (x x ) x x a a (nur positive Wurzel, da Summe zweier Quadrate) (*) x x a Addition liefert : x ( a a a ) x ( a a a ) Subtraktion liefert : x ( a a a ) x ( a a a ) Damit hat man scheinbar 4 verschiedene Lösungen (x., x.), (x., x. ), (x., x.), (x., x. ). Allerdings gilt folgendes:. a > 0: aus (**) folgt, dass x, x das gleiche Vorzeichen haben müssen (+, +) oder (-, -). a < 0: aus (**) folgt, dass x, x unterschiedliche Vorzeichen haben müssen (+, -) oder (-, +) 3. a = 0: aus (**) folgt, dass eine der Komponenten von x gleich 0 ist und damit folgende Fallunterscheidung zu machen ist: x = 0: aus (*) folgt a x x x x a x = 0: aus (*) folgt a x x x x a und damit auch wieder nur jeweils Lösungen. Zur Überprüfung, dass dies auch tatsächlich Lösungen sind, müssen sie in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden: 6

7 x x x (x,x ) (x,x ) (x x x x, x x x x ) (x x, x x ) a a a a a a, a a a a a a (#) a a a a a a, a a a a a a a a, a a a 4 a, (a a ) a a, a, a a (a, a ) da entsprechend der Vorzeichen der Lösungen x, x folgende Fallunterscheidung gilt :. x, x haben gleiches Vorzeichen (#) : a a a a a a a a a a a a 0 a a 0 und per Definition a x x 0 a 0. x, x haben verschiedene Vorzeichen (#) : a a a a a a a a a a a a 0 a a 0 und per Definition a x x 0 a 0 3. mindestens einer der beiden Faktoren x, x 0 a 0 Damit ist gezeigt, dass es in allen Fällen genau Lösungen für die Gleichung a = x gibt. 7

8 Wir können nun auch eine vereinfachte Darstellung der komplexen Zahlen einführen. Dazu definieren wir spezielle Schreibweisen für einige Zahlen: die komplexen Null 0 ( 0,0) : 0 die komplexen Eins (,0) : ergänzt um i : (0,) die imaginäre Einheit geschrieben als i Es ergibt sich damit: (a,a ) (a,0 ) (0,a ) a (,0 ) a (0,) a a a i i a a a Jede komplexe Zahl z kann somit geschrieben werden als z z i z mit z, z. Das Rechnen mit den komplexen Zahlen in der oben gegebenen Form geht dann genauso wie man es von den reellen Zahlen her gewohnt ist, wenn man berücksichtigt, dass i ( 3 ), i ( 3 4 ) i, i ( 4 ) usw. gilt, also zum Beispiel: z w (z i z ) (w i w ) z w z w i (z w z w ). Wenn man die komplexen Zahlen (z, 0) betrachtet, erkennt man, dass die reellen Zahlen in die Menge der komplexen Zahlen eingebettet sind. Betrachten wir dazu die Menge : {z I z 0} {(z, 0) I z } und dafür gilt, das und äquivalent sind. Dass die gewohnten Rechenregeln hinsichtlich Addition, Multiplikation und Klammersetzung für die so definierten reellen Zahlen tatsächlich gelten, kann nachgerechnet werden. Beispielhaft werden hier die Regeln für die Multiplikation gezeigt. Für die Addition wird analog vorgegangen: Äquivalent bedeutet, dass es eine bijektive Abbildung P: existiert. Das geforderte liefert z.b. die Funktion P((a,0)) a, für alle a 8

9 Die Multiplikation in ist kommutativ : a b (a,0) (b,0) (a b 0, 0 0) (b a 0, 0 0) (b,0) (a,0) ba Die Multiplikation in ist assoziativ : a (b c) (a,0) ((b,0) (c,0)) (a,0) (b c 0), b 0 0c ) (a,0) (b c, 0) (a (b c ), 0) ((a b ) c, 0) ((a,0) (b,0)) (c,0) (a b) c analog wie oben Das neutrale Element der Multiplikation (komplexe Eins) n x (, 0 ) ist Element von und das inverse Element von x (x,0) 0 ist die Zahl (, 0) und liegt in x x Dass die neutralen Elemente verschieden sind gilt natürlich auch und somit auch für hier n + n x, da es ja für ganz gilt. Zeigen wir noch das Distributivgesetz: a(b c) (a,0)((b,0) (c,0)) (a,0)(b c, 0) (a (b c ) 0, 0 0) (a b a c 0, 0) (a b a c, 0) (a b, 0) (a c, 0) (a,0)(b,0) (a,0)(c,0) ab ac Damit haben wir folgende Teilmengen-Beziehungen zwischen den Zahlenmengen: und auf ihnen sind, mit den entsprechenden Einschränkungen, die Operationen +, -, x, /, (), definiert, gelten aber uneingeschränkt, bis auf die Division durch 0, nur auf. 9

10 Abschließend wollen wir noch klären, ob eine zusätzliche Erweiterung des Zahlenbereiches erforderlich ist um Gleichungen höheren als zweiten Grades zu lösen. Es stellt sich heraus, dass die Gleichung a z a z a z... a z a z a 0 mit z, a, a 0, n n n n n n n 0 i n sich in der Menge der komplexen Zahlen lösen lässt. Dies ist ein Ergebnis des Fundamentalsatzes der Algebra der aussagt, dass jede Gleichung wie die oben gegebene genau n Lösungen (die nicht notwendigerweise alle verschieden sind) in der Menge der komplexen Zahlen hat.. Weitere Definitionen und Rechenregeln. Konjugiert komplexe Zahl, Betrag, Eulersche Relation Ist z z i z mit z, z gegeben, so definiert man: Re(z) = Re( z i z ) = z Im(z) = Im( z i z) = z Realteil von z Imaginärteil von z Die konjugiert komplexe Zahl zu z z i z ist definiert als z z i z Der Betrag von z z i z ist definiert als z z z Die Eulersche Relation wird definiert als e( ) : cos i sin mit. Die Relation ist umkehrbar auf jedem Intervall in der Länge, z.b... Während sich die Menge der reellen Zahlen durch Punkte auf der Zahlengeraden veranschaulichen lässt, wird die Menge der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene dargestellt. Dies wird bereits durch die Definition der Menge der komplexen Zahlen (siehe oben) nahe gelegt. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl z z i z besitzt dann die horizontale Koordinate z und die vertikale Koordinate z. Damit hat man ein kartesisches Koordinatensystem, in dem die Menge der komplexen Zahlen dargestellt wird. 0

11 Jede komplexe Zahl z kann dann aber auch in Polarkoordinaten geschrieben werden, d.h. durch Abstand vom Ursprung und Winkel bezogen auf die Re-Achse: z z (cos i sin ) z z e( ) mit z r folgt : z r e( ) Polarkoordinatendarstellung Für z 0 ist der Winkel bis auf Vielfache von bestimmt. Jeder dieser Winkel wird als Argument von z bezeichnet und geschrieben als: arg(z) Da arg(z) nicht eindeutig ist, ist es keine Funktion. Jedoch kann man die Eindeutigkeit erreichen, indem man den Wertebereich auf ein Intervall der Länge einschränkt, z. B. mit. Die Polarkoordinatendarstellung wird auch multiplikative Standarddarstellung mit Winkel φ und Länge z genannt. Die Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem ist dann:

12 . Umrechnung kartesischer Koordinaten- und Polarkoordinaten Darstellung Für alle z 0 gilt : z z i z und auch z r e( ) r (cos i sin ) r cos i r sin Polarkoordinaten kartesische Koordinaten r, gegeben : z z i z r cos i r sin z z r cos r sin kartesische Koordinaten Polarkoordinaten z, z gegeben r z z z z z 0 : arctan z z 0 : z 0 k, k z 0 k, k

13 .3 Rechenregeln Konjugiert komplexe Zahlen Für alle komplexen Zahlen z, w und a gelten folgende, (analog des Beweises der. Re gel nachzurechnende) Re geln : ) z z ) z w z w Beweis : z z iz, w w iw z w (z iz ) ( w iw ) (z w ) i ( z w ) (z w ) i (z w ) (z iz ) ( w iw ) (z iz ) ( w iw ) z w 3) z w z w z 4) z w falls w 0 w 5) z z Re(z) z z i Im(z) 6) z 0 z z z z z Realteil und Imaginärteil komplexer Zahlen Für alle komplexen Zahlen z, w und a gelten folgende, (analog des Beweises der. Re gel nachzurechnende) Re geln : ) Re(z w) Re(z) Re(w) Beweis : z z iz, w w iw z w (z iz ) (w iw ) (z w ) i (z w ) Re(z w) z w Re( z) Re(w) 3

14 ) Im(z w) Im(z) Im(w) 3) Re(a z) a Re(z) Im(a z) a Im(z) 4) wie für alle reellen Zahlen gilt auch hier : Re(z) Re(z) Im(z) Im(z) Betrag komplexer Zahlen Für alle komplexen Zahlen z, w nachzurechnende Re chenregeln : gelten folgende analog zur. Regel ) z z ) z w z w Beweis : z w (z i z ) (w i w ) (z w i z w ) (i z w z w ) (z w z w ) i (z w z w ) (z w z w ) (z w z w ) (z w ) z w z w (z w ) (z w ) z w z w (z w ) (z w ) (z w ) (z w ) (z w ) (z (w w ) z ( w w ) (z z ) (w w ) z z w w z w z z 3) für w 0 w w 4) Re( z ) z Im( z ) z 4

15 5) z w z w Dreiecksungleichung Beweis: Die Dreiecksungleichung kann mit Hilfe der oben angegebenen Rechenregeln wie folgt bewiesen werden; Dazu machen wir eine Fallunterscheidung: ) z w z w z w z w z w z w z w Re( ) da Re() z w z w z w Re( ) Re( ) z w z w z w Re( ) Re( ) z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w Multiplikation mit Nenner z w 0 liefert : z w z w ) z w es folgt : z w 0 und z w w 0 und somit : 0 z z z z z w z w und damit : z w z w 5

16 .4 Multiplikation / Division von komplexen Zahlen in Polarkoordinaten Mit Hilfe von Additionstheoremen aus der Trigonometrie können wir die Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch deuten: z z (cos i sin ) z e( ) w w (cos i sin ) w e( ) z w z (cos i sin ) w (cos i sin ) z w (cos i sin ) (cos i sin ) z w ((cos cos i sin cos ) (cos (i sin ) i sin (i sin )) z w (cos cos i sin cos i cos sin sin sin ) z w (cos cos sin sin i sin cos i cos sin ) z w ((cos cos sin sin ) i (sin cos cos sin )) z w z (cos i sin ) w (cos i sin) z w (cos( ) i sin( )) z w z e( ) w e( ) z w e( ) Damit ist gezeigt, dass eine Multiplikation komplexer Zahlen z und w als Drehstreckung von z interpretiert werden kann mit Drehung um ψ und Streckung um IwI Für die Division gilt: z z (cos i sin ) z e( ) w w (cos i sin ) w e( ) 0 w w (cos i sin ) w (cos i sin ) ) w ww w w w (cos i sin ) cos i sin cos( ) i sin( ) w w w (cos( ) i sin( )) e( ) w w w ) w : e( ) e( ) e( ) e( ) 6

17 z 3) z z (cosisin ) (cos( ) i sin( )) w w w nach der Re gel für die Multiplikation (s. o.) folgt : z z (cos i sin ) z w w (cos i sin ) w z z e( ) z w w e( ) w (cos( ) i sin( )) e( ).5 Die erweiterte komplexe Ebene Bei der Untersuchung rationaler Funktionen auf erweist es sich als zweckmäßig, die Lücken des Definitionsbereiches, die sich aus den Nullstellen des Nenners ergeben, dadurch zu schließen, dass man der Funktion dort den Wert zuordnet. Anders als in der reellen Zahlen, wo die beiden Symbole und auftreten, betrachtet man in den komplexen Zahlen nur eine Form von Unendlich. Man erweitert um das Symbol und nennt die erweiterte komplexe Zahlenebene. Das Symbol bezeichnet man auch als unendlich fernen Punkt. Für das Rechnen in erweitert man die in gültigen Rechenregeln: Für a gelte :. a a. 3. a a für a 0 4. a 5. 0 a 6. für a 0 0 Die folgenden Ausdrücke sind nicht definiert : 0 0,,, 0 Rationale Funktionen sind Quotienten aus Polynomen 7

18 3. Geraden und Kreise in der komplexen Ebene Kreise und Geraden lassen sich in der komplexen Ebene sehr elegant darstellen. Ein Kreis in der Gaußschen Zahlenebene ist definiert als die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt a den Abstand r haben. Damit ergibt sich die Gleichung für die Punkte auf dem Kreis: z a r oder in äquivalenter quadratischer Form : z a r und mit a a i a, z x iy gilt : (x a ) i(y a ) r (x a ) (y a ) r Damit erhält man : (x a ) (y a ) r (x a x a ) (y a y a ) r x y a x a y a a r x y x a y a a a r z z Re(z) i i Im(z) z z i (z z) nach.. Rechenregeln als Darstellung mit komplexen Zahlen a undz z z (z z) a i (z z) a a a r 0 z z z a z a i z a i z a a a r 0 z z z ( a i a ) z ( a i a ) a a r 0 z z z c z c c c r 0 mit c a i a (a i a ) z z c z c z k 0 mit k c c r und c aus c (a i a ) mit a Mittelpunkt (s.o.) folgt : Mittelpunkt : m c und aus k c c r folgt : Radius : r c c k Betrachtet man nur den linearen Teil c z c z k 0 mit k und c, c 0 so erhält man die Gleichung einer Geraden: 8

19 Mit c c i c und z x iy gilt : c z c z k 0 (c i c ) (x iy) (c i c ) (x iy) k 0 (c i c ) (x iy) (c i c ) (x iy) k 0 c x c y k 0 c k y x für c, c 0 c c c 0,c 0 : senkrechte Gerade c 0, c 0 : waagerechte Gerade Um zu vermeiden, dass in Kreise und Geraden durch Gleichungen dargestellt werden, kann man die Gleichung mzzc zc zk 0 mit m, k betrachten. Für m = 0 ergibt sich eine Gerade. In der Einleitung haben wir von der Menge der komplexen Zahlen gesprochen als eine Zahlenmenge, die abstrakt ist und scheinbar wenig Realitätsbezug besitzt. Tatsächlich werden wir nun nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass sie durchaus zur Lösung von handfesten Fragestellungen genutzt wird, s Eine spezielle Möbius Transformation. 9

20 4. Lineare komplexe Funktionen 4. Definition linearer komplexer Funktionen Seien a, b gegeben und es gelte a 0, dann wird durch f: f(z) a z b die lineare komplexe Funktion definiert. Durch die Bedingung a 0 vermeidet man, dass f(z) eine konstante Funktion darstellt. 4. Struktur der Menge der linearen komplexen Funktionen Wir wollen nun zeigen, dass die linearen komplexen Funktionen eine Gruppe hinsichtlich der Hintereinanderschaltung bilden. Die Gruppe ist eine mathematische Struktur einer Menge M auf der eine Verknüpfung definiert ist und die folgende Bedingungen erfüllt: Abgeschlossenheit: Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge M a b liefert wiederum ein Element der Menge M, Assoziativität: Die Klammersetzung ist unerheblich a (b c) = (a b) c für alle a, b, c aus M, Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element e in der Menge M, das nichts bewirkt (neutrales Element): a e = e a = a für alle a. Existenz eines inversen Elements: Zu jedem Element a gibt es ein Spiegelbild (inverses Element) a - mit der Eigenschaft, beim Verknüpfen mit a das neutrale Element zu ergeben: a a - = a - a = e. Gilt zusätzlich Kommutativität: Die Operanden können vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert, also stets a b = b a, dann nennt man die Gruppe eine abelsche / kommutative Gruppe. Rechnen wir nun nach, dass die linearen komplexen Funktionen eine Gruppe bilden, die nicht abelsch ist: 0

21 . Abgeschlossenheit Die Hintereinanderausführung von zwei linearen Funktionen f, f ist wieder eine lineare Funktion: f (z) w az b mit a 0 f (w ) w k w l mit k 0 (f f )(z) f (f (z)) k(az b) l k az kb l (k a)z (kb l) mit k a 0 weil a 0 und k 0. Assoziativität f (z) w az b mit a 0 f (w ) w k w l mit k 0 f (w ) w p w q mit p zu zeigen ist: f (f f ) (f f ) f 3 3 f (f f ): 3 (f f )(z) w k w l k(a z b) l k a z (kb l) mit k a 0 (f (f f ))(z) p w q 3 p (k a z (kb l)) q pk a z (pkb pl q) (f f ) f : 3 (f f )(w ) w p w q p(k w l) q p k w (p l q) mit p k 0 (f f ) f )(z) p k(a z b) (p l q) p k a z pkb (p l) q pk a z (pkb pl q) Koeffizientenvergleich liefert: f 3 (f f ) (f3 f ) f

22 3. Existenz eines neutralen Elements e f (z) z n. f ist eine lineareabbildung, wegen n n f (z) w z 0 z mit * 0 0 n. Sei f(z) a z b eine beliebige lineare Funktion (f f)(z) f (f(z)) f a z b a z b n n n (f f )(z) f(f (z)) f(z) a z b n n n und damit f f f f für alle z n 4. Existenz eines inversen Elements Jede lineare Funktion hat eine Umkehrfunktion, die wiederum eine lineare Funktion ist. f(z) w a z b für z, a 0 w ( b) z a b w ( ) a a mit a 0 Damit haben wir auch gezeigt, dass die linearen Funktionen die gesamte komplexe Ebene auf sich selbst abbildet. 5. Kommutativität Die Gruppe der linearen Transformationen ist nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt: f (z) 3 z 5 f (z) 7 z f (f (z)) f (7 z ) 3(7 z ) 5 z 38 f (f (z)) f (3 z 5) 7(3 z 5) z 46 damit folgt: f (f (z)) f (f (z)) für alle z und somit : f f f f

23 4.3 Abbildungseigenschaften der linearen komplexen Funktionen 4.3. Komposition aus einfachen Funktionen Jede lineare Funktion lässt sich als Hintereinanderausführung von besonders einfachen Abbildungen schreiben. Diese sind Drehung, Streckung und Translation. f(z) a z b a e( ) z b a mit v e( ) z das ist eine Drehung um den Winkel a a v a v das ist eine Streckung um den Faktor a v v b das ist eine Translation / Verschiebung um b 3 v und v werden zusammengefasst zur Drehstreckung und man erhält : w (e( ) a ) z das ist eine Drehstreckung um den Winkel und den Faktor a a a D(z) a z w w b das ist eine Translation / Verschiebung um b T(w ) w b Also gilt, dass eine lineare Abbildung eine Drehstreckung (hintereinander ausführen von Drehung und Streckung, siehe auch:.4 ) und Verschiebung ist. 3

24 4.3. Kreisverwandtschaft Lineare Abbildungen sind Kreisverwandtschaften, d.h. Kreise / Geraden in durch eine lineare Funktion wieder in Kreise / Geraden in über. gehen Nach dem obigen Satz reicht es nachzuweisen, dass der Satz jeweils für die Drehstreckung (w = D(z) = d z, d, d 0) und die Translation (w = T(z) = z + d, d ) gilt. I. Kreise werden auf Kreise abgebildet Das wird durch einsetzen von: ) z w mit d 0 d bzw. ) z w d mit d in die Kreisgleichung z z c z c z k 0 mit k nachgerechnet. ) Mit z w und d 0 folgt : d w ( w) c w c ( w) k 0 d d d d ( ) w w c w c ( ) w k 0 multiplizieren mit dd liefert d d d d w w c d w c d w d d k 0 und mit c d c ' w w c ' w c ' w d k 0 mit d k also wieder eine allgemeine Kreisgleichung. 4

25 ) Mit z w d folgt : (w d) (w d) c (w d) c (w d) k 0 (w d) (w d) c (w d) c (w d) k 0 w w w d d w d d c w c d c w c d k 0 w w w ( d c ) ( d c) w d d c d c d k 0 w w ( d c) w ( d c) w d d (c d c d) k 0 mit : d d d, c d c d c d c d Re(c d) und a d c l d d (c d c d) k folgt w w a w a w l 0 II. Geraden werden auf Geraden abgebildet Dies wird wie oben durch einsetzen von ) z w mit d 0 bzw. ) z w d mit d d in die Geradengleichung c z c z k 0 mit k nachgerechnet. 5

26 4.3.3 Streckenverhältnis / Streckenteilungsverhältnis Das Streckenverhältnis [z, z, z ] von 3 verschiedenen Zahlen z, z, z wird definiert durch: z z [ z, z, z ] z z Anschaulich: Das Streckenverhältnis von drei verschiedenen, auf einer Geraden gelegenen Punkten z, z, z ist eine (in diesem Fall reelle) Zahl, die das Verhältnis der Längen der Strecken z, z und z, zdarstellt. Dabei haben die Strecken z, z und z, zden Punkt z gemeinsam. Die obige Definition ist eine Verallgemeinerung des reellen Streckenteilungsverhältnisses, das definiert ist als das Verhältnis der Länge der Teilstrecke z, z zur Länge der Gesamtstrecke z, z, wobei z zwischen z und z liegt. Die Verallgemeinerung liegt zum einen darin, dass der Punkt z auch außerhalb der Strecke z, z liegen darf, zum zweiten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen müssen und damit das Verhältnis eine komplexe Zahl ist. Für lineare Abbildungen gelten nun der folgende Sätze:. Für verschiedene Zahlen z z und w w wird durch die Gleichung [z, z, z,] = [w, w, w ] genau eine lineare Abbildung w = f(z) definiert, die die z i auf w i abbildet.. Umgekehrt gilt auch, dass durch jede lineare Abbildung w = f(z) das Streckenverhältnis für verschiedene Zahlen z, z, z invariant ist, d.h. es gilt; [z, z, z,] = [w, w, w ]. 3. Das Streckenverhältnis [z, z, z 3 ] ist genau dann reell, wenn z, z, z 3 auf einer Geraden liegen. 6

27 Beweis zu. w w z z w,w,w z,z,z (z z ) (w w ) (z z ) (w w ) w w z z z (w w ) z (w w ) z (w w ) z (w w ) z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z(w w ) z w z w w (z z ) w w z w w z z z z 7 z w z weil z z Beweis zu. Der Beweis erfolgt analog 4..4 Kreisverwandtschaft durch nachrechnen, getrennt für Drehstreckung und Translation: a) Drehstreckung: w = D(z) = d z, d 0 w w D(z) D(z ) dzdz d(z z ) z z w,w,w z,z,z w w D(z) D(z ) dzdz d(z z ) z z b) Translation: w = T(z) = z + d w w T(z) T(z ) (z d) (z d) w,w,w w w T(z) T(z ) (z d) (z d) z d z d z z z d z d z z Beweis zu 3. z,z,z : z z r e( ), z z s e( ) z,z,z ), (k ), k : z z r e( ) r z,z,z e( ) z z s e( ) s r e( ) r e( ) und k, k s e( ) s r e( ) r e( ) und sin sin, cos cos s e( ) s r e( ) r e( ) und tan tan,, (k ), k s e( ) s r e( ) r e( ) und Steigung der durch z,z und z,z definierten s e( ) s z,z,z Geraden ist gleich und z ist gemeinsamer Punkt liegen alle auf einer Geraden ), (k ), k : z,z,z liegen alle auf einer Parallelen zur imaginären Achse

28 5. Möbius - Transformation 5. Definition der Möbius - Transformation Seien a, b, c, d gegeben und es gelte a d b c 0, dann wird durch a z b w f(z) c z d d a mit \ { } \ { } c c die Möbius - Transformation, auch gebrochen lineare Funktion genannt, definiert. Durch die Bedingung a d b c 0 vermeidet man, dass. Nenner und Zähler ein Vielfaches voneinander sind, d.h. man vermeidet, dass f(z) eine Konstante darstellt. Nenner und Zähler gleichzeitig Null sind, d.h. f(z) ist eine ordentlich definierte Funktion. -d/c muss aus dem Definitionsbereich von f herausgenommen werden, da der Nenner nicht Null werden darf, a/c muss aus dem Bildbereich von f herausgenommen werden, da der Wert nicht erreicht wird ( Bild von ). Die Schwierigkeit mit den Ausnahmepunkten a/c und -d/c lässt sich beheben, indem man die Möbius - Transformation zu einer Abbildung fortsetzt 3 : c 0 az b d für z \ { } c z d c w f(z) d für z c a c für z c 0 (d. i. eine lineare Abbildung) w f(z) az b d für z für z 3 Die Bedingung a, b, c, d bleibt unverändert, die Erweiterung betrifft nur z, w 8

29 5. Struktur der Menge der Möbius - Transformationen Wir wollen nun zeigen, dass die Möbius-Transformationen eine Gruppe hinsichtlich der Hintereinanderschaltung bilden. Außerdem werden wir zeigen, dass die Möbius- Transformationen eine Gruppe bilden, die nicht abelsch ist:. Abgeschlossenheit Die Hintereinanderausführung von zwei Möbius-Transformationen f, f ist wieder eine Möbius-Transformation: az b f (z) w mit ad bc 0 c z d k w l f (w ) w mit kn lm 0 m w n. Für c = 0 und m = 0 gilt dies, da hintereinander ausführen linearer Funktionen wieder eine lineare Funktion ergibt (siehe 4..).. Für entweder c = 0 oder m = 0 ist das durch entsprechendes einsetzen nachzurechnen.. Fall : c 0 und m 0 : k w l w m it k n lm 0 m w n a z b k l d m it a d 0 a z b m n d k (a z b) l d m (a z b) n d k a z k b l d m a z m b n d (k a) z (k b l d) (m a) z (m b n d) k a (m b n d) (k b l d) m a k a m b k a n d k b m a l d m a k a n d l d m a (k n lm ) a d 0 nach Voraussetzung (s. o.). Fall : c 0 und m 0 : wird völlig analog bewiesen 9

30 3. Fall: Für c 0 und m 0 wird das nun ebenfalls durch einsetzen gezeigt: w k w l m w n a z b k l c z d k (a z b) l (c z d) a z b m (a z b) n (c z d) m n c z d k a z lc z kb ld ma z nc z mb nd (k a lc)z (kb ld) (ma nc) z (mb nd) (k a lc) (mb nd) (kb ld) (ma nc) k amb lc mb k and lc nd k bma ldma k bnc ldnc lc mb k and ldma k bnc lc mb ldma k and k bnc lm (c b da) k n (a d bc) lm (cb da) kn (cb ad) (lm kn) (cb da) ( ) (kn lm) ( ) (ad bc) (kn lm) (ad bc) 0. Assoziativität a z b f (z) w mit ad bc 0 c z d k w l f (w ) w mit kn lm 0 m w n p w q f 3(w ) w3 mit ps qr 0 r w s zu zeigen ist: f (f f ) (f f ) f 3 3 Betrachten wir nur den Fall: c, m, r 0. Alle anderen Fälle sind entsprechend zu lösen: 30

31 Analog zu. gilt: f (f f ): 3 (f f )(z) w k w m w l n (k a lc)z (kb ld) (ma nc) z (mb nd) p w q w3 mit ps qr 0 r w s (k a lc)z (kb ld) p q (ma nc) z (mb nd) (k a lc)z (kb ld) r s (ma nc) z (mb nd) p ((k a lc)z (kb ld)) q ((ma nc)z (mb nd)) r ((k a lc)z (kb ld)) s ((ma nc)z (mb nd)) (p (k a lc) q (ma nc))z (p (kb ld) q (mb nd)) (r (k a lc) s (ma nc))z (r (kb ld) s (mb nd)) (pk a plc qma qnc) z (pk b pld qmb qnd) (r k a r lc sma snc)z (r kb r ld smb snd)) (f f ) f : 3 k w l p q m w n p(k w l) q (m w n) (f3 f )(w ) k w l r (k w l) s (m w n) r s m w n w 3 (p k q m)w (p l q n) (r k s m)w (r l s n) (p k q m)w (p l q n) (r k s m)w (r l s n) a z b (p k q m) (p l q n) c z d a z b (r k s m) (r l s n) c z d (p k q m) (a z b) (p l q n) (c z d) (r k s m) (a z b) (r l s n) (c z d) (apk a qm plc qnc) z (pk b qmb pld qnd) (r k a sma r lc snc) z (r k b s mb r ld snd) Koeffizienten Vergleich liefert: f 3 (f f ) (f3 f ) f 3

32 3. Existenz eines neutralen Elements e f (z) z n n. f ist eine Möbiustransformation, wegen z 0 f n(z) wn z mit * 0* z a z b. Sei f(z) eine beliebige Möbiustransformation c z d a z b a z b (fn f)(z) f n(f(z)) fn c z d c z d az b (f f n)(z) f(f n(z)) f(z) c z d und damit f f f f für alle z n n 4. Existenz eines inversen Elements Jede Möbius - Transformation hat eine eindeutige Umkehrfunktion, die wiederum eine Möbius - Transformation ist:. c 0 a z b f(z) w mit ad bc 0, c 0 c z d d. z \ { } c w (c z d) a z b w c z w d a z b w c z a z w d b z (w c a) w d b 3

33 ..: w c a 0 a w c z ( d) w b c w ( a) mit ( d)( a) bc a d bc 0.. : w c a 0 a w c z. : w d z c. c = 0 Der Fall ist einfach zu beweisen, da es eine lineare Abbildung ist mit a z b w für z, ad 0 d dw ( b) z d 0, a 0 a und z für w Zusätzlich haben wir damit auch gezeigt, dass die Möbius - Transformationen die gesamte erweiterte komplexe Ebene auf die gesamte erweiterte komplexe Ebene abbilden. 5. Nicht Kommutativität Die Gruppe der Möbius Transformationen ist nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt: f (z) z f (z) z f (f (z)) f ( ) z z z f (f (z)) f ( z) z damit folgt: f (f (z)) f (f (z)) für alle z \ 0, und damit : f f f f 33

34 5.3 Abbildungseigenschaften der Möbius - Transformation 5.3. Komposition aus einfachen Funktionen Jede Möbius - Transformation lässt sich als Hintereinanderausführung von besonders einfachen Abbildungen schreiben. Diese sind Drehstreckung, Translation, Inversion. Wir untersuchen nur den Fall c 0, da der Fall c = 0 schon oben (s. 4..3) untersucht wurde. a z b f(z) m it a d b c 0, c 0 c z d (a z b) c c (c z d) a z c b c c (c z d) a z c b c a d a d c (c z d) a (c z d) (a d b c ) c (c z d) a (c z d) a d b c c (c z d) c c z d a a d b c c c c z d f(z) a ad bc c c c z d w D (z) c z Drehstreckung w T (w ) w d Translation / Verschiebung w3 S(w ) Inversion / Spiegelung w ad bc w 4 D (w 3 ) w3 c Drehstreckung a w5 T (w 4 ) w 4 c Translation / Verschiebung 34

35 5.3. Kreisverwandtschaft Möbius - Transformationen sind Kreisverwandtschaften, d.h. Kreise und Geraden in gehen durch eine Möbius - Transformation wieder in Kreise und Geraden in über. Dies wird bewiesen, indem das Ergebnis aus dem vorherigen Abschnitt genutzt wird. Weil sich jede Möbius - Transformation als Komposition von den oben genannten Abbildungen Drehstreckung (w = D(z)), Translation (w = T(z)) und Inversion (w = S(z)) darstellen lässt, genügt es zu zeigen, dass jede der Abbildungen eine Kreisverwandtschaft ist. Für Drehstreckung und Translation wird das durch einsetzen von z w mit d 0 bzw. z w d in die Kreisgleichung bzw. Geradengleichung nachgerechnet werden, genau wie in 4..4, nur muss zusätzlich der Fall d z = betrachtet werden ( gemäß der Definition in.5). Bleibt noch zu zeigen, dass das auch für die Inversion nehmen wir einen Kreis z z c z c z k 0 mit k ) 4 und mit z folgt: w w S(z) gilt. Dazu z ( ) c c ( ) k 0 multiplizieren mit w w liefert w w w w c w c w k w w 0 k 0 liefert eine Geradengleichung c w c w 0 c w c w 0 d w d w 0 mit d c d w d w 0 k 0 liefert eine Kreisgleichung c c c w w w w 0 und mit d, l folgt : k k k k k ww d w d w l 0 mit l Zur Klarstellung: Kreise werden also auf Kreise oder Geraden, Geraden auf Geraden oder Kreise abgebildet. Dies ist anders bei den linearen Abbildungen, da dort Kreise auf Kreise und Geraden auf Geraden abgebildet werden. 4 Nachrechnen für Geraden erfolgt völlig analog und liefert für k = 0 Geraden durch den Ursprung und für k 0 Kreise durch den Ursprung. 35

36 5.3.3 Doppelverhältnis Das Doppelverhältnis (z, z, z, z 3 ) von 4 verschiedenen Zahlen z, z, z, z3 wird definiert durch folgende Fallunterscheidung: ( z, z, z, z 3 ) z z z z : falls z, z, z, z z z z z z z 3 z z z z z z z z z 3 z falls z falls z falls z 3 3 Das Doppelverhältnis von vier verschiedenen auf einer Geraden gelegenen Punkten z, z, z 3, z 4 eine - in diesem Fall - reelle Zahl (s. unten 4.), die die gegenseitige, relative Lage der Punkte auf der Geraden kennzeichnet. Ausführlicher heißt das, das Doppelverhältnis liefert das Verhältnis der Streckenteilungen der Strecken z, z 4 durch z und z 3, z 4 durch z Die Definition des Doppelverhältnisses setzt allerdings nicht voraus, dass alle 4 Punkte, oder auch nur je 3 der 4 Punkte auf einer Geraden oder alle 4 Punkte auf einem Kreis liegen müssen. Hier werden nun einige Sätze formuliert die einen Zusammenhang zwischen Doppelverhältnis und Möbius Transformation herstellen 5.. Jede Möbius-Transformation f(z), die verschieden ist von der Identität f(z) = z (und nicht konstant ist 6 ), hat oder Fixpunkte 5 Das Streckenverhältnis (4.3.3) ist nicht ausreichend für die angegebenen Sätze per Definition (siehe 5. Definition der Möbius-Transformation) ist die konstante Funktion f(z) = k keine Möbiustransformation, da die Bedingung für die Koeffizienten ad bc 0 nicht erfüllt ist 36

37 Beweis: a) f(z) a z b Fixpunkte : z a z b b a : z und z a f(z) z b z a z b a z b b) f(z) : z c z d c z d z (c z d) a z b c z (d a) z b 0 quadratische Gleichung mit höchstens Lösungen. Für verschiedene Zahlen z, z, z 3 und w, w, w 3 wird durch die Gleichung (z, z, z, z 3 ) = (w, w, w, w 3 ) genau eine Möbius Transformation w = f(z) definiert wird, die die z i auf w i abbildet. Beweis: Nehmen wir nun 3 verschiedene Punkte z, z, z 3 und zwei Möbius- Transformationen f, f für die gilt f (z i ) = f (z i ) i =,, 3. Nach 5..4 hat f eine eindeutige Umkehrfunktion f und damit folgt: f (f (z i )) = f (f (z i )) = z i und f (f ) ist eine Möbius-Transformation nach 5.. f (f ) hat aber 3 Fixpunkte und ist nicht konstant, da die z i verschieden sind. Also muss f (f ) somit gleich der Identität sein: f (f ) = id f ( f (f )) = f (id) = f und f ( f (f )) = (f ( f ))(f ) = id(f ) = f und damit f = f 3. Umgekehrt gilt auch, dass durch jede Möbius Transformation w = f(z) das Doppelverhältnis für verschiedene Zahlen z, z, z, z 3 invariant ist, d.h. es gilt; (z, z, z, z 3 ) = (w, w, w, w 3 ) Beweis: analog 5.3.,.nachrechnen getrennt für Drehstreckung, Translation, Inversion 37

38 4. Das Doppelverhältnis (z, z, z 3, z 4 ) ist genau dann reell, wenn z, z, z 3, z 4 auf einem allgemeinen Kreis in liegen. Beweis: Durch 3 verschiedene Punkte (z, z, z 3 ) wird ein allgemeiner Kreis definiert (elementare Geometrie). Es gibt nun eine Möbius-Transformation f(z) = w definiert durch (z, z, z, z 3 ) = (w, 0,, ) Die Punkte (0,, ) bestimmen die Gerade = reelle Achse Nun werden aber nach 5.3. durch Möbius-Transformationen Kreise und Geraden in Kreise und Geraden transformiert. Danach muss aber w auf der reellen Achse liegen, wenn z den Kreis durchläuft. In diesem Fall ist aber das Doppelverhältnis (w, 0,, ) reell, da alle Summanden reell sind. Das Doppelverhältnis ist aber gegenüber Möbius-Transformationen invariant und somit ist das Doppelverhältnis reell, falls z den durch (z, z, z 3 ) definierten Kreis durchläuft. Umgekehrt gilt aber auch, dass das Doppelverhältnis nicht reell ist, wenn z nicht auf dem durch (z, z, z 3 ) definierten Kreis liegt Spiegelung / Inversion am Kreis Gegeben sei ein Kreis K in mit Mittelpunkt z0 und Radius r. Zwei Punkte z, z' liegen symmetrisch zum Kreis K, falls gilt (z z ) (z' z ) r

39 Die Abbildung z z nennt man die Inversion am Kreis K oder auch Spiegelung am Kreis K. Insbesondere gilt: aus z = z 0 folgt z =, d. h. der Kreismittelpunkt z 0 liegt symmetrisch zu. Zwei Punkte z, z nennt man symmetrisch zu einer Geraden G in durch Spiegelung an der Geraden G entsteht., wenn z aus z z z0 z' z0 Es gilt folgender Satz: Möbius Transformationen erhalten die Symmetrie zu verallgemeinerten Kreisen, das heißt ausführlich: Ist K ein verallgemeinerter Kreis in und liegen z und z symmetrisch zu K, so liegen die Bilder von z und z unter einer Möbius-Transformation symmetrisch zum Bild von K. Beweis: Für den Beweis eine vorbereitenden Bemerkung zur äquivalenten Darstellungen der Symmetrie zum Kreis mit Mittelpunkt m (a m) (b m) r a m b m r und arg(a m) arg( b m) 0 a m b m r und arg(a m) arg(b m) 0 a m b m r und arg(a m) arg(b m) z a HS: Die Menge K { z I k mit a, b } z b ist ein allgemeiner Kreis, an dem a, b Spiegelpunkte sind. z a Beweis: a) k : z a z b z b K ist Symmetrielinie zu a und b (s. oben) 39

40 b) k : Die Menge K { z I z a z b k mit a, b } ist ein allgemeiner Kreis z a z a k, k 0 k z a k z b z b z b (z a) (z a) k (z b) (z b) (z a) (z a) k (z b) (z b) z z a z a z aa k z z k z b k b z k b b z z k z z a z k z b a z k b z aa k b b 0 ( k ) z z ( a k b) z ( a k b) z a k b 0 ( k ) z z (k b a) z (k b a) z a k b 0 k b a k b a a k b z z z z 0 k k k k b a k b a a k b z z z z 0 k k k K ist ein Kreis mit k b a a k b Mittelpunkt : m k k Radius : r k b a k b a (k b a) (k b a) (k b a) (k b a) a k b k k k ( a k b ) ( k ) ( k ) ( k ) ( a k b ) ( k ) ( k ) ( k ) 4 4 (k b a k ba k ab) a k b k a k b ) k ( k ) ( k ) k k b a k a b k b k a a a b a a b b b ( k ) ( k ) (a b) a (a b) b (a b) (a b) k ( k ) ( k ) (a b) (a b) a b k k k a b ( k ) ( k ) ( k ) k r a b k 40

41 b) a und b sind Spiegelpunkte an dem Kreis mit Mittelpunkt m und Radius r wie in b) ermittelt a k b a ( k ) (a k b) a m a k k a k k b k (b a) k k a k b b ( k ) (a k b) b m b k k b b k a k b k k (b a) k. a m b m (b a) (b a) k k k ( k ) r k a m k b m k. k und k 0 (b a) (b a) a m (b m) k b a arg(a m) arg(b m) 0 arg(a m) arg(b m) Aus. a m b m r und. arg(a m) arg(b m) folgt nun mit der vorbereitenden Bemerkung oben : (a m) (b m) r 4

42 Satz: Jede Möbius Transformation f(z) führt Spiegelpunkte bezüglich eines Kreises K in Spiegelpunkte bezgl. des Kreises f(k) über. z p Beweis: Sei K { z I k mit p, q } ist ein allgemeiner Kreis, z q an dem p, q Spiegelpunkte sind und a z b f(z) w eine Möbius Transformation c z d d w b Umkehrfunktion : z c w a d w b p z p c w a k z q d w b q c w a k d w b p ( c w a) (d p c) w (p a b) k d w b q ( c w a) (d q c) w (q a b) p a b a p b w w d p c (d q c) c p d q c d k k q a b (d p c) a q b p c d w w d q c c q d w f(p) q c d w f(p) k k w f(q) p c d w f(q) neu k z p f(k) f({ z I k mit p, q }) z q {w I d w b c w a d w b cw a p k mit p, q } q w f(p) {w I kneu mit p, q } w f(q) Nach dem vorherigen Satz ist das ein allgemeiner Kreis mit den Spiegelpunkten f(p) und f(q) 4

43 6. Beispiele von Möbius Transformationen. Gesucht ist eine Möbius Transformation, die den Zwischenraum zweier ineinander liegenden Kreise K, K (Fläche von K, incl. K, ohne die Innenfläche von K ) mit: i K : x (y ) 4 K : x (y i) auf den Parallelstreifen P wp IwP wp i w P mit w P und w P abbildet. Die Lösung basiert auf dem Satz: Für verschiedene Zahlen z, z, z 3 und w, w, w 3 wird durch die Gleichung (z, z, z, z 3 ) = (w, w, w, w 3 ) genau eine Möbius Transformation w = f(z) definiert wird, die die z i auf w i abbildet. Dazu wählen wir jeweils 3 Punkte auf dem Rand der aufeinander abzubildenden Gebiete. Um die Rechnung einfach zu halten ist darauf zu achten, dass man - die Koordinaten der Punkte möglichst einfach wählt, - Orientierung bei durchlaufen der Punkte auf dem Rand entsprechen wählt. Hier wählen wir: z Ebene: Punkte auf der i-achse: z = 0, z = i, z 3 = i w Ebene: Punkte auf der i-achse: w =, w = i, w 3 = i 43

44 Der Punkt z = 0 ist der Schnittpunkt der beiden begrenzenden Kreise und muss nach w = abgebildet, da die begrenzenden Geraden in der w-ebene Parallelen sind. Der innere Kreis K muss auf die Gerade parallel zur reellen Achse durch i, der äußere Kreis K auf die Gerade parallel zur reellen Achse durch i abgebildet werden. z 0 i i z ( z, z, z, z 3 ) ( z, 0, i, i) z i i 0 z i i i w i ( w, w, w, w 3 ) ( w,, i, i ) w i i w i i w i z i z i w i z i i i w z i w i z i z z i z z i z i w i i i ( ) i z z z 3 z 4 i w i z Bemerkung: Auch die Abbildung von beliebig liegenden Halbebenen auf den Einheitskreis können mit der gleichen Methodik bestimmt werden, z. B.: Doppelverhältnis : ( z, z, z, z 3 ) ( w, w, w, w 3 ) 44

45 . Gesucht ist eine Möbius Transformation, die Im z 0 in IwI abbildet und einen vorgegebenen Punkt z mit Im(z ) > 0 in w = 0 transformiert Die Lösung basiert auf dem Satz: Jede Möbius Transformation f(z) führt Spiegelpunkte bezüglich eines Kreises K in Spiegelpunkte bezgl. des Kreises f(k) über. Das heißt in dieser Aufgabe: Spiegelpunkt zu z bezgl. der rellen Achse ist z z, Spiegelpunkt des Ursprungs w 0 bezgl. des Einheitskreises (Radius r = ) ist der Punkt w. Weiter wählen wir einen beliebigen Punkt auf der rellen Achse der z-ebene, hier z 0, und einen beliebigen Bildpunkt auf dem Rand des Einheitskreises der 3 w-ebene, hier w3 da die Rechnung mit den Werten 0 bzw. einfach sind. z z z 0 z z z ( z, z, z, z 3 ) ( z, z, z, 0 ) z 0 z z z z z w w ( w, w, w, w 3 ) ( w, 0,, ) w w w z z z w w z z z z z z w w w z z z z z z z (z z ) (z z ) z z z z z (z z ) z (z z ) w z z z z z z z z z (z z ) w w z (z z ) z z z z z z z w z z z 45

46 z z z w z z z z z e( ) e( ) Nun gilt, das ist eine Drehung um um den Ursprung z z e( ) e( ) z der w Ebene und weiter. z Damit liefert jede Multiplikation mit c e( ) eine Lösung (Drehung des Kreises um ). Somit erhalten wir alle Lösungen, die ) Im(z) 0 in w und ) einen vorgegeben Punkt z mit Im(z ) 0 in w 0 abbilden. z z z z w e( ), 46

47 3. Eine spezielle Möbius Transformation Für die reellen Zahlen b > a > 0 betrachten wir folgende Möbius Transformation: z f(z) w z ab ab Die Abbildung hat folgende Eigenschaften: ) z a b w, 0,, a b ) z3,4 a, b w 3,4 : b a b a 3) z5,6 a, b w 5,6 : a b 4) z 0 w 7 7 5) z w 8 8 6) Die reelle Achse der z-ebene (Urbild) wird auf die reelle Achse der w-ebene (Bild) abgebildet. 7) Symmetrisch zur x Achse liegende Punkte werden damit auf symmetrisch zur u Achse liegende Punkte abgebildet. 8) Die angegebenen Kreise durch a, b bzw. a, b werden auf die Kreise um 0 (Ursprung) mit Radius ρ bzw. / ρ abgebildet. 9) Bestimme die Umkehrfunktion und zerlege sie in einfache Funktionen. 0) Stelle die Urbilder von Geraden durch den Ursprung der w-ebene dar. 47

48 Beweise der Eigenschaften; z f(z) w z ab ab a b ab ) z, a b w a b ab w a b ab ( a b ) ab 0 a ab, 3) z3 a w3 a ab w w 3 3 a a a b a a a b a b a b a b w3 b a für z erhält man w genauso wie w aus z 4,5,6 4,5, , 5) Durch einf aches einsetzen zeigt man sofort: z 0 w 7 7 z w 8 8 6) Die reelle Achse der z-ebene (Urbild) wird auf die reelle Achse der w-ebene (Bild) abgebildet w(z) ist definiert durch reelle Koeffizienten, also für z aus w(z) reell. 7) Symmetrisch zur x Achse liegende Punkte werden damit auf symmetrisch zur u Achse liegende Punkte abgebildet, Folgt aus dem Satz: Ist K ein verallgemeinerter Kreis in und liegen z und z symmetrisch zu K, so liegen die Bilder von z und z unter einer Möbius- Transformation symmetrisch zum Bild von K und mit 6) 48

49 8) Die angegebenen Kreise durch a, b bzw. a, b werden auf die Kreise um 0 (Ursprung) mit Radius ρ bzw. / ρ abgebildet. Die Abbildung von a, b, sowie -a. -b liegen symmetrisch zum Ursprung nach ), 3) Punkte des Kreises mit Im(z) 0 wird nicht auf die reelle Achse abgebildet. Daraus folgt, dass die Bilder der Kreise wieder Kreise sind und nach dem vorherigen Punkt sind es Kreise um den Ursprung. 9) Umkehrfunktion: z w z a b a b w ( z a b ) z a b w z w a b z a b w a b a b z w z a b (w ) z ( w ) z w a b w Zerlegen in elementare Funktionen liefert gemäß dem Kapitel Komposition aus einfachen Funktionen : ) z w ) z z ( ) 3) z z z 4) z4 z3 z3 3 5) z z ab z 5 4 Damit werden Geraden durch den Ursprung der w-ebene auf Kreise durch die Punkte M = - ½ (a +b) und M = ½ (a +b) der z-ebene abgebildet: 0) Die Urbilder von Geraden durch den Ursprung der w-ebene werden entsprechend der unter 9) gegebenen Schritte ) 5) dargestellt, wobei 4) und 5) in einem Schritt zusammengefasst sind. In der w-ebene werden Geraden durch den Ursprung dargestellt, in der z -Ebene die Bilder der Geraden der w-ebene, usw. 49

50 Ergänzung: Anwendung in der Elektrotechnik Die Abbildung kann man als Transformation eines elektrischen Feldes zwischen zwei kreisförmigen, parallelen, sehr langen Leitern zu einem Feld in einen kreisförmigen, sehr langen Hohlleiter (auch Zylinderkondensator) interpretieren. Feldlinien zwischen den parallelen Leitern mit gleichem Durchmesser sind Kreise, deren Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten zwischen den beiden Kreisen liegen und die die Kreise schneiden. Diese werden zu radiale Strahlen transformiert. Die zweite Konfiguration ist einfacher zu untersuchen. Die Ergebnisse können dann wieder auf die komplexere Konfiguration rücktransformiert werden

51 7. Ausblick In dem vorherigen Abschnitt wurde eine Funktion bestimmt, die eine Halbebene auf das Innere des Einheitskreises abbildet. Dies wurde erreicht indem eine Möbius- Transformationen konstruiert wurde, die das geforderte leistet. Das Vorgehen kann sogar auf eine umfangreichere Klasse von Mengen ausgeweitet werden, wobei allerdings auch weitere Funktionen verwendet werden. Die zugrunde liegenden Mengen werden als einfach zusammenhängende Gebiete bezeichnet. Ein einfach zusammenhängendes Gebiet kann man sich vorstellen als eine zusammenhängende Fläche ohne ihre Randpunkte, die keine Löcher besitzt. Die Lösung des allgemeinen Problems ist Gegenstand des Riemannschen Abbildungssatzes, der nach Bernhard Riemann (86-866) benannt wurde. Riemann entdeckte und bewies den Satz 85. Riemannschen Abbildungssatz [8] G sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet in und der Rand enthalte mindestens zwei Punkte. Dann existiert eine bijektive Funktion f, die das Gebiete auf das Innere des Einheitskreises D winkel- und orientierungstreu abbildet: f: G D, wobei D {z I z } Die oben angegebenen Beispiele sind also eine kleinste Auswahl aus einer viel größeren Klasse von Funktionen. Allerdings liefert der Riemannsche Satz keine allgemeine Funktion, die das oben behauptete leistet. Trotzdem erweist sich der Riemannsche Abbildungssatz in der Praxis der Elektrotechnik, Flugzeugbau, Akustik etc. als ein sehr nützliches Werkzeug. Mit seiner Hilfe ist folgendes Vorgehen möglich: sehr komplizierte Konfigurationen werden in erheblich einfachere überführt, das Problem wird in der einfachen Konfiguration gelöst, die Lösung wird in die ursprüngliche Konfiguration zurück transformiert, die transformierte Lösung ist die Lösung des ursprünglichen Problems. z ab Ein einfaches Beispiel dafür ist die Funktion f(z) w mit der oben z ab eine schwierig zu untersuchende Konfiguration in eine deutlich einfache transformiert wurde. Weiter hat auch die Gruppeneigenschaft der Menge der Möbius Transformationen weitreichende Konsequenzen in der Physik, besonders in der speziellen Relativitätstheorie. Dort wird die Gruppeneigenschaft genutzt um jeder Lorentz Transformation eindeutig eine Möbius Transformation zuzuordnen und umgekehrt, siehe z.b. [9]. Dies bedeutet, dass jede Eigenschaft der Möbius Transformationen, ebenfalls zu einer entsprechenden Aussage in Einsteins Relativitätstheorie führt

52 8. Literaturverzeichnis. C. Carathéodory, Funktionentheorie, Band. Bronstein Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik 3. Wikipedia Möbiustransformationen: 4. Die Möbius-Transformation 5. Komplexe Funktionen, 3. Möbius-Transformationen H.J. Oberle, SoSe pdf 6. Komplexe Funktionen, Kreistreue der Möbiustransformationen Reiner Lauterbach, Universität Hamburg, SS Vorlesungsmitschrift Funktionentheorie I, SS 98, Dr. W. Sander, Technische Universität Braunschweig 8. Tim Hoffmann, Heiko Kröner, Konforme Abbildungen und Nichteuklidische Geometrie - Riemannscher Abbildungssatz 9. Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie, 4. November 0 Dokument erstellt mit MS Word, MS Excel, MS Powerpoint und MathType (