Berechnung approximierter Voronoi-Zellen auf geometrischen Datenströmen

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Arnim Burgstaller
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1 Definition Berechnung approximierter Voronoi-Zellen auf geometrischen Datenströmen Seminar über Algorithmen WS 2005/2006 Vorgetragen von Oliver Rieger und Patrick-Thomas Chmielewski basierend auf der Arbeit von Mehdi Sharifzadeh und Cyrus Shahabi Sei p ein d-dimensionaler Punkt, N eine Menge von n Punkten im d-dimensionalen Raum und D (.,.) der im Raum definierte Abstand. Die Voronoi Zelle V(p) des Punktes p aus der Menge N ist ein eindeutiges konvexes Polygon, welches alle Punkte der Menge V n (p) enthält. Sie wird definiert als: V n p ={q R d n N, D q, p D q, n } Zur Vereinfachung beschränken wir und auf Punkte im 2-dimensionalen Raum. pq ist die Länge der Verbindungsgeraden zwischen den Punkten p und q B(p, q) ist die Mittelsenkrechte der Punkte p und q v(p) ist die Menge der Voronoi Nachbarn Abb : Problem Obwohl der optimale Algorithmus ( O(n log n) ) zum Berechnen der exakten Voronoi Zelle sehr effektiv ist, ist der Aufwand hauptsächlich von der Verteilung der Punkte aus N abhängig. Die Anzahl der Voronoi Nachbarpunkte von p hängt von der Position der Punkte im Datenstrom ab. Folglich ist der Platz, der benötigt wird, um die Zelle zu speichern, nicht endlich. Problem: Sensor-Netzwerke (oder ähnliches) haben nur eingeschränkte Ressourcen

2 Wir betrachten nun nur die aktuellsten Punkte (sliding window model). Vorteil: die Menge der gespeicherten Punkte ist konstant (Größe des Fensters) Der traditionelle Algorithmus kann einen neuen Punkt nicht einfach verwerfen, wenn seine zugehörige Mittelsenkrechte die Zelle gegenwärtig nicht schneidet. Beispiel: Punkt 6 ist in 2c,f Voronoi-Nachbar und Punkt 7 ist nie ein Voronoi-Nachbar. Abb 2: Die Voronoi Zelle des Punktes p über einem sliding window W der Größe 6 zu acht aufeinander folgenden Zeitpunkten. Die Beschriftung der Punkte gibt die Ankunft-Reihenfolge an. der Speicherplatzbedarf für den klassischen Algorithmus ist somit O( W ), mit W = Größe des Fensters Schlussfolgerung: Der klassische Algorithmus ist nicht auf Datenströme und Fenster anwendbar. Der approximierte Voronoi Zellen Algorithmus(AVC) Algorithmus: Der 2-d Raum wird mit k Vektoren ausgehend von p in k Sektoren S i aufgeteilt. der Winkel zwischen zwei benachbarten Vektoren ist immer θ = 2 π / k Für jeden Sektor S i speichern wir den zum Punkt p nächsten Positionspunkt m(s i ). Ablauf:. Berechnung der Approximation unter Verwendung des klassischen Algorithmus in O(k log k) 2. Aktualisierung der Approximation bei Ankunft eines neuen Punktes in Laufzeit O(k) 3. Aktualisierung der Menge von Minimalpunkten m(s i ) in Laufzeit O(k) kann unter Verwendung einer suchfähigen Datenstruktur auf O(log k) reduziert werden Somit ist der Aufwand des AVC Algorithmus für die Aktualisierung der Menge von Minimalpunkten und der Berechnung der Voronoi-Zelle O(k). der AVC Algorithmus benötigt κ = k Speicher und somit ist die Laufzeit und der 2

3 Speicherplatzbedarf besser als beim klassischen Algorithmus, für k < v(p) Abb 3 a) k = 6 von p ausgehende Vektoren teilen den Raum in k gleich große Sektoren, b) die Voronoi Zelle des Punktes p, und c) die approximierte Voronoi Zelle von p Eigenschaften des AVC AVC( θ ) ist der Algorithmus mit dem Parameter θ, mit k = 2 π / θ V'( p) ist die approximierte Voronoi-Zelle des Punktes p, berechnet durch AVC. Lemma : Für jeden Punkt p, enthält die durch AVC( θ ) berechnete Voronoi Zelle V'(p) für ein beliebiges N keine Punkte aus N genau dann, wenn θ < π / 3 ist. Lemma 2: Sei q ein Punkt innerhalb oder auf der durch AVC( θ ) ermittelten V'(p) und r sein nächster Positionspunkt aus N. Wenn θ < π / 3, dann ist das Maximum von f(q) = qp / qr für alle Punkte q ein Punkt auf einer Kante von V'(p). Approximations-Fehler Theorem : Sei q ein Punkt auf der Kante von V'(p) und r sein nächster Punkt aus N, dann kann ein ε hinsichtlich θ bestimmt werden. f q = qp qr Theorem 2: Für eine gegebene Fehlerschranke ε, kann das größte θ für AVC(θ) mit einen maximalen Fehler von ε mit der Gleichung g(θ) = + ε berechnet werden. g = cos /4 3

4 Der AVC-SW Algorithmus Sei w die Fenstergröße und zu jedem Zeitpunkt t komme nur ein Punkt an. Wir verwenden die gleichen Vektoren wie beim AVC, um den Raum in die Sektoren einzuteilen. Für jeden Sektor S i speichern wir den Minimum-Punkt m(s i ) und eine Menge von Punkten M(S i ), die Minimum-Punkte im zukünftigen Fenster werden können. m(s i ) und M(S i ) eines jeden Sektors werden mit null initialisiert, bevor der Datenstrom startet. Der Algorithmus: Erstens finden und löschen wir für jeden neuen Punkt x, den verfallenen Punkt aus den Mengen M(S i ). zzweitens müssen wir den Sektor S finden, der x enthält und x der Menge M(S) des Sektors zuordnen Drittens löschen wir jeden Punkt y in M(S), für den gilt: py > px, da diese Punkte nie Minimum-Punkt ihres Sektors werden können Zu guter Letzt setzen wir für m(s) den nächsten Punkt zu p aus M(S) Ähnlich dem AVC Algorithmus leiten wir die Voronoi-Zelle von p aus den k minimalen Punkten ( m(s i ) ) der zugehörigen k Sektoren ab und erhalten eine Approximation der Voronoi-Zelle. die Eigenschaften von V'(p) und die Approximations-Fehler-Analyse gilt auch für die aus AVC-SW resultierende approximierte Voronoi-Zelle. Die Sample Size von AVC-SW kann berechnet werden als = M S i, wenn M(S i ) die Kardinalität der Menge M(S i ) ist. Analyse der Speicheranforderung Wir untersuchen die Punktemenge, die beim AVC-SW durchschnittlich gespeichert wird. w sei die Fenstergröße k sei die Anzahl der Sektoren für eine Gleichverteilung der Punkte enthalte jeder Sektor w/k Punkte sei n = w/n eine ganze Zahl Es sei ferner angenommen, dass AVC-SW in Schnitt A(i) der i im Sektor vorhandenen Punkte speichert. Mit anderen Worten ist A(i) die durchschnittliche Größe der Menge M(S j ) des Sektors S j. Wir berechnen A(n) als die durchschnittliche Anzahl der Punkte in einem Fenster, die in jedem Sektor durch den AVC-SW gespeichert werden. Die Anzahl aller gespeicherten Punkte κ = k A(n) Sei P ein i-tupel der i im Sektor gespeicherten Punkte und R ein i-tupel der Ränge der Punkte. Sei T i die Menge aller Permutationen der positiven ganzen Zahlen kleiner gleich i. Sei S(i) die Summe aller Werte von N(R) = M(S) für alle Permutationen aus R T i k i= 4

5 S i = N R R T i A i = S i i! Es ist klar das gilt: A() = S() = A i = A i i Weil A() = : i A i = j= j =: H i ln i, mit =Euler Mascheroni Konstante Die Sample Size des AVC-SW bei einer Fenstergröße w ist κ = (k m) H n + m H n + durch H n + = H n + / (n+) erhalten wir =k H n m n Ausgehend von der obigen Betrachtung können wir festhalten: die Sample Size κ ist kleiner als 20k, wenn w 2,5 x 0 8 x k Schlussfolgerung AVC Resultate sind ε Approximationen der Voronoi Zellen. Unter Verwendung des Theorem 2 kann der Parameter k ( oder θ ) basierend auf der Fehler- Toleranz berechnet werden. Durch das Sliding Windows Modell, kann der AVC Algorithmus eindeutig den Platzbedarf gegenüber dem klassischen Algorithmus verbessern, vorausgesetzt die Fenstergröße ist größer als k. 5

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