Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1

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1 Vorlesung Geometrische Algorithmen Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste Wege Sven Schuierer

2 Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1

3 1 Kurzeste Wege Vorlesung Bewegungsplanung: Berechnung eines kollisionsfreien Weges Andere Anforderungen: Geringe Lange Wenige Knicke Mindestkurvenradius Kurzeste Wege 2

4 Kurzeste Wege fur Punktroboter Gegeben: Menge H von disjunkten polygonalen (oenen) Hindernissen mit insgesamt n Kanten Startposition p s, Zielposition p e, beide in C free Gesucht: Der kurzeste Weg von p s nach p e in C free p s p e p s p e Kurzeste Wege 3

5 Eigenschaften kurzester Wege Gummiband-Eigenschaft: p e p s Denition Sei W ein polygonaler Weg von p s nach p e. Dann heien die Ecken von W, die ungleich p s oder p e sind, innere Ecken von W. p s p e Kurzeste Wege 4

6 Eigenschaften kurzester Wege Lemma Jeder kurzeste Weg W von p s nach p e zwischen einer Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen ist ein polygonaler Weg, dessen innere Ecken Ecken von H sind. Beweis: : Polygonalitat: Angenommen, W ist nicht polygonal ) Es gibt ein p 2 W im Inneren von C free, so da kein Liniensegment in W p enthalt. ) Es gibt einen Kreis in C free, der p enthalt W Kurzeste Wege 5

7 Eigenschaften kurzester Wege Beweis: : (Fortsetzung) Ecke v von W : Angenommen, v ist keine Ecke von H ) v ist nicht im Inneren von C free ) v ist im inneren einer Kante ) Es gibt einen Halbkreis in C free, der p enthalt W Kurzeste Wege 6

8 Eigenschaften kurzester Wege Korollar Ein kurzester Weg von p s nach p e zwischen einer Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen besteht aus: 1. Liniensegmenten von p s bzw. p e zu Ecken von H und 2. Liniensegmenten von einer Ecke von H zu einer anderen. Denition Zwei Punkte v 1 und v 2 heien gegenseitig sichtbar, falls das Liniensegment v 1 v 2 nicht das Innere eines Hindernisses schneidet. Kurzeste Wege 7

9 2 Sichtbarkeitsgraphen Sichtbarkeitsgraph G vis (H) von H: Knoten V vis (H) von G vis (H): Ecken von H Kanten E vis (H) von G vis (H): (v 1 ;v 2 )2E vis (H), falls v 1 und v 2 gegenseitig sichtbar sind. Sichtbarkeitsgraphen 8

10 Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste Wege Korollar Ein kurzester Weg von p s nach p e zwischen einer Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen besteht aus Kanten des Sichtbarkeitsgraphen G vis (H ), wobei H = H [ fp s ;p e g. p e p s Sichtbarkeitsgraphen 9

11 Berechnung kurzester Wege Algorithmus kurzesterweg Input: Eine Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen und zwei Punkte p s und p e in C free Output: Der kurzeste kollisionsfreie Weg von p s nach p e 1 G vis Sichtbarkeitsgraph(H [ fp s ;p e g) 2 Gewichte jede Kante (u; v) in G vis mit der euklidischen Distanz von u nach v 3 Berechne einen kurzesten Weg W von p s nach p e in G vis mit dem Algorithmus von Dijkstra 4 Gebe W zuruck Analyse je vis j n + 2 = O(n 2 ) 2 Sichtbarkeitsgraphen 10

12 3 Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen Naives Verfahren: Algorithmus Sichtbarkeitsgraph1 Input: Eine Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen Output: Der Sichtbarkeitsgraph G vis (H) von H 1 G vis (V vis ; E vis ) mit 2 V vis die Menge der Eckpunkte von H 3 E vis ; 4 for all (u; v) 2 V vis V vis do 5 if uv schneidet kein Hindernis 6 then fuge (u; v) zu E vis hinzu 7 Gebe G vis = (V vis ; E vis ) zuruck Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 11

13 Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen Besserer Algorithmus: Algorithmus Sichtbarkeitsgraph2 Input: Eine Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen Output: Der Sichtbarkeitsgraph G vis (H) von H 1 G vis (V vis ; E vis ) mit 2 V vis die Menge der Eckpunkte von H 3 E vis ; 4 for all v 2 V vis do 5 W SichtbareEcken(v;H) 6 for all w 2 W do 7 fuge die Kante (v; w) zu E vis hinzu 8 Gebe G vis = (V vis ; E vis ) zuruck Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 12

14 Sichtbarkeitspolygon Denition Die Menge der Punkte, die von einem Punkte p der Ebene aus sichtbar sind, heit das Sichtbarkeitspolygon von p. Hier: von p aus sichtbare Ecken Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 13

15 Berechnung der sichtbaren Ecken Idee: Sortiere die Ecken zyklisch um p Betrachte die Ecken in dieser Reihenfolge mit Hilfe eines Scanstrahls % Verwalte die Kanten, die von % geschnitten werden, in einer Suchstruktur e 1 e 8 e 7 % p e 3 e 2 e 4 e 6 T e 5 e 7 e 6 e 3 e 2 e 4 e 8 Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 14

16 Rotationsweep Events e 2 sichtbar(v) p v delete(e 1 ) insert(e 2 ) e 1 p e 1 v e 2 v 0 e 3 sichtbar(v) sichtbar(v 0 ) insert(e 1 ) insert(e 3 ) p e 2 v e 1 sichtbar(v) delete(e 1 ) delete(e 2 ) Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 15

17 Sichtbare Ecken Algorithmus SichtbareEcken Input: Menge H von Polygonen und Punkt p nicht im Innern eines Polygons Output: Die von p aus sichtbaren Ecken in H 1 Sortiere die Ecken v nach winkel(p; v) (im Fall gleicher Winkel nach Abstand zu p) (v 1 ;:::;v n ) sortierte Reihenfolge 2 Sei % der horizontale Strahl beginnend bei p 3 Finde alle Kanten e die % schneiden und speichere sie in einem Suchbaum T 4 W ; 5 for i 1 to n do 6 if sichtbar(v i ) 7 then W W [ fv i g 8 fuge die zu v i inzidenten Kanten links von % in T ein 9 entferne die zu v i inzidenten Kanten rechts von % aus T 10 return W Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 16

18 Sichtbarkeit von Ecken Sichtbarkeit von v i Suchstruktur T Ecke v i 1 ist abhangig von: Verschiedene Falle: v i 1 ist sichtbar p v i 1 p v i 1 v i v i p v i 1 p v i 1 v i v i Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 17

19 Sichtbarkeit von Ecken Algorithmus sichtbar 1 if pv i schneidet das Polygon von v i lokal bei v i 2 then return false 3 if i = 1 or v i 1 62 pv i 4 then e linkeste Kante in T 5 if e existiert nicht or v i auf oder links von e 6 then return true 7 else return false = i 6= 1 and v i 1 2 pv i = 8 if v i 1 ist nicht sichtbar 9 then return false = v i 1 ist sichtbar = 10 Suche Kante e in T, die v i 1v i schneidet 11 if e existiert 12 then return false 13 else return true Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 18

20 Beispiel Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 19

21 Analyse von SichtbareEcken Sortieren: Aufbau von T : sichtbar(v i ): Update von T : Satz Der Sichtbarkeitsgraph einer Menge H von disjunkten polygonalen Hindernissen mit n Kanten kann in Zeit O(n 2 log n) berechnet werden. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 20

22 4 Kurzeste Wege fur polygonale Roboter Vorlesung Bewegungsplanung: Translatorisches Bewegungsplanungproblem fur polygonalen Roboter R zwischen Hindernissen fp 1 ;:::;P t g entspricht Bewegungsplanungsproblem fur Punktroboter zwischen Hindernissen f R P 1 ;:::; R P t g. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 21

23 Kurzeste Wege fur polygonale Roboter Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 22

24 Analyse Berechnung von C free : Komplexitat von C free : Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen von C free : Satz Sei R ein konvexer Roboter mit konstant vielen Kanten, der translatorische Bewegungen zwischen einer Menge H von disjunkten Hindernissen mit insgesamt n Kanten ausfuhrt. Dann kann ein kurzester kollisionsfreier Weg von einer Startposition zu einer Endposition in Zeit O(n 2 log n) berechnet werden. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 23