Geometrie I. Polygone. Dominik Huber Hallo Welt! für Fortgeschrittene. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Geometrie I. Polygone. Dominik Huber Hallo Welt! für Fortgeschrittene. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen"

Eike Wolfgang Bach
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Geometrie I Polygone Dominik Huber Hallo Welt! für Fortgeschrittene Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

2 Gliederung Wiederholung Analytische Geometrie Abstand Punkt Segment Counterclockwise-Test (CCW) Schnitt zweier Strecken Punkt in konvexem/allgemeinem Polygon Pick s Theorem Ermittlung der konvexen Hülle 2

3 Wdh. Geraden im R n Gerade ist gegeben durch Punkt und Vektor: 3 Geradengleichung: x = A + uv u R

4 Wdh. Geraden im R n Gerade ist gegeben durch 2 Punkte: 4 Vektor von A nach B bilden: v = B A Geradengleichung: x = A + uv

5 Parallele durch Punkt P finden Gegeben: Gerade und Punkt P Gesucht: Parallele durch Punkt P 5 Alte Geradengleichung: x = A + uv Neue Geradengleichung: x = P + uv

6 R 2 : Lotgerade auf Punkt P finden Gegeben: Gerade mit darauf liegendem Punkt P Gesucht: Lotgerade auf P 6 Richtungsvektor drehen: v = x y v = y x Geradengleichung: x = P + uv

7 Abstand Punkt Gerade Gegeben: Gerade und Punkt P Gesucht: Abstand Gerade P 7 1. AP = P A 2. Fläche des Parallelogramms berechnen: AP v 3. Fläche durch v dividieren

8 Abstand Punkt Segment (Strecke) Gegeben: Strecke AB und Punkt P Gesucht: Kürzester Abstand von AB zu P 8 Fall 1: P liegt zwischen den Streckenenden Bekanntes Abstand Punkt Gerade -Problem Fall 2: P liegt Außerhalb Min( AP, BP )

9 CCW-Test (Counterclockwise) Gibt die kürzeste Drehrichtung einer Strecke AB zu einem Punkt C an Einfacher: ob C links oder rechts der Strecke AB liegt 9

10 CCW-Test (Counterclockwise) Berechnung: Kreuzprodukt AB AC 10 negativ: positiv: 0:

11 Schnitt von Strecke mit Gerade Gegeben: Gerade durch A und B, Strecke CD Frage: Gibt es einen Schnittpunkt? 11 intersect(a,b,c,d){ return (CCW(AB,C) * CCW(AB, D) <= 0) }

12 Schnitt zweier Strecken Gegeben: 2 Strecken AB und CD 12 Frage: Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt?

13 Schnitt zweier Strecken Algorithmus: intersect(a,b,c,d){ return (CCW(AB,C) * CCW(AB,D) <= 0) && (CCW(CD,A) * CCW(CD,B) <= 0) } 13 Immer genau 2 Strecken konstante Laufzeit O(1)

14 Schnitt zweier Strecken Fall 1: Kein CCW-Test == 0 14 O O P + / L. + / L. - / R. + / L. - / R. + / L. - / R. - / R. - / R. + / L. + / L. + / L. CCW1 * CCW2 0 > 0 0 CCW3 * CCW4 > 0 > 0 0

15 Schnitt zweier Strecken Fall 2: Ein CCW-Test == 0 15 P - / R. O 0 + / L. + / L. + / L. 0 + / L. + / L. CCW1 * CCW2 = 0 = 0 CCW3 * CCW4 0 > 0

16 Schnitt zweier Strecken Spezialfall Fall 3: alle CCW-Tests == 0 Seltener Fall, oft nicht benötigt 16 P P O Überprüfen ob niedrigster und zweitniedrigster Punkt zu verschiedenen Strecken gehören

17 Punkt in konvexem Polygon Gegeben: n Eckpunkte, die ein konvexes Polygon bilden, und ein Punkt P Frage: liegt der Punkt P in dem Polygon? 17

18 Punkt in konvexem Polygon Idee: Falls P im Polygon Dreieck P 0 P i 1 P i, das P enthält Im Dreieck mit CCW-Tests herausfinden, ob P darin liegt 18

19 Punkt in konvexem Polygon Dreieck Finden: 19 Finde die erste Kante P 0 P i, die links von P liegt (P 0 P 5 ) (also CCW > 0) Konvexes Polygon: Punkte sind (nach Polarwinkel) sortiert Suche der Kante per Binary Search in O(log(n)) möglich

20 Punkt in konvexem Polygon 20

21 Punkt in allgemeinem Polygon Gegeben: n Eckpunkte, die ein allgemeines Polygon bilden, und ein Punkt P Frage: liegt der Punkt P in dem Polygon? 21

22 Punkt in allgemeinem Polygon Idee: 1. Punkt Q suchen, der sicher außerhalb liegt 2. Strecke PQ aufspannen 3. Anzahl der Schnitte durch das Polygon zählen 4. Gerade Anzahl nicht darin Ungerade Anzahl darin 22

23 Punkt in allgemeinem Polygon Umsetzung: Max. x-/y- Koordinate finden, Q wählen Für jede Strecke vom Knoten i zu i+1 { überprüfen, ob sie von PQ geschnitten wird Anzahl merken } Wenn Anzahl gerade: return false Sonst return true 23 O(n) O(n) Insgesamt O(n)

24 Punkt in allgemeinem Polygon Sonderfälle PQ schneidet einen Eckpunkt Für jede Ecke prüfen, ob PQ darauf liegt (mittels CCW) (O(n)) 24 PQ liegt auf einer Kante Für jede Kante prüfen, ob PQ darauf liegt Einfacher: Doubles statt Integer, aber nicht z.b. Q( )

25 Pick s Theorem Für die Fläche einfacher Polygone mit ganzzahligen Koordinaten gilt: 25 A = I + R 2 1 I: Innere Gitterpunkte im Polygon R: Randpunkte auf Kanten

Pick s Theorem Ermittlung der Fläche A: Gaußsche Trapezformel: 1 2 26 i=1 n (x i + x (i+1) % n )(y (i+1) % n y i ) Ermittlung der Randpunkte R: int count = 0; for(int i = 0; i <

26 Pick s Theorem Ermittlung der Fläche A: Gaußsche Trapezformel: i=1 n (x i + x (i+1) % n )(y (i+1) % n y i ) Ermittlung der Randpunkte R: int count = 0; for(int i = 0; i < n; i++){ //über Eckpunkte iterieren int xdiff = abs(polygon[i].x - polygon[(i+1) %n].x) int ydiff = abs(polygon[i].y - polygon[(i+1) %n].y) count += ggt(xdiff, ydiff) } return count;

Pick s Theorem Beispiel Gesucht: Zahl der verfügbaren Sitzplätze für den ICPC ( ganzzahligen Punkten im Inneren des Polygons) Gegeben: Koordinaten der Eckpunkte des

27 Pick s Theorem Beispiel Gesucht: Zahl der verfügbaren Sitzplätze für den ICPC ( ganzzahligen Punkten im Inneren des Polygons) Gegeben: Koordinaten der Eckpunkte des Raumes: (2 0), (6 6), (4 6), (4 8), (0 6) A = I + R Fläche A berechnen (Trapezformel): Randpunkte ermitteln: Einsetzen: I = A R = = 18 27

28 Konvexe Hülle = Kleinstes konvexes Polygon, das alle Punkte einer Menge M umschließt Beispiel: ein Gummiband, das um auf ein Brett geschlagene Nägel gespannt wird (Geobrett) 28

29 Konvexe Hülle: Jarvis March 1. Suche den untersten Punkt P 0, (bei Gleichstand den am weitesten links) 2. Setze aktp = P 0 3. Berechne die Polarwinkel von aktp zu allen anderen Punkten 4. Der Punkt mit dem kleinsten Winkel wird der nächste aktp 5. Solange aktp!= P 0 1. berechne die Polarwinkel von aktp zu allen anderen Punkten 2. Der Punkt mit dem kleinsten Winkel, der aber größer als der Vorgängerwinkel ist, wird der nächste aktp 29

30 Konvexe Hülle: Jarvis March 30 Von Maonus - Eigenes Werk, CC BY-SA 4.0,

31 Konvexe Hülle: Jarvis March Laufzeit: O(n * Eckpunkte) Gut für große Mengen mit wenigen Eckpunkten 31

32 Konvexe Hülle: Graham Scan Suche den untersten Punkt P 0, (bei Gleichstand den am weitesten links) Sortiere die restlichen Punkte nach aufsteigendem Winkel. Falls 2 Punkte den gleichen Winkel haben, verwerfe den näheren Verschiebe P n 1 und P 0 auf einen Stack S i = 1 Solange i < n: Speichere das zweitoberste Element vom Stack (prev) Falls CCW(prev, S.top(), P i ) > 0 Lege P i auf den Stack i++ Sonst S.pop() 32

33 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 33

34 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 34

35 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 35

36 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 36 Stack P 0 P 9

37 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 37 Stack P 1 P 0 P 9

38 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 38 Stack P 2 P 1 P 0 P 9

39 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 39 Stack P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

40 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 40 Stack P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

41 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 41 Stack P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

42 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 42 Stack P 5 P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

43 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 43 Stack P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

44 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 44 Stack P 7 P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

45 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 45 Stack P 8 P 7 P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

46 Konvexe Hülle: Graham Scan Beispiel 46 Stack P 9 P 8 P 7 P 3 P 2 P 1 P 0 P 9

47 Konvexe Hülle: Graham Scan Laufzeit: O(n * log(n)) Guter Allround-Algorithmus für die meisten Fälle 47

48 (GEOMETRISCHER) RAUM FÜR FRAGEN Titel of talk M. Philippsen University of Erlangen-Nuremberg, Germany 48

49 Quellen Robert Sedgewick, Algorithmen in C Competitive Programming 3 Folien der Vorgängerreferenten om/dennler.pdf Animation: Von Maonus - Eigenes Werk, CC BY-SA 4.0,

Ähnliche Dokumente

Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen Geometrie I Sebastian Redinger 01.07.2015 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 2 Gliederung