Übungen zur Vorlesung Algorithmische Geometrie

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1 Prof. Dr. E. Wanke Düsseldorf, 22. Juni 2016 S. Hoffmann, M.Sc. Übungen zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Hinweise Programmieraufgaben: Alle vorgeschlagenen Programmieraufgaben können Sie in einer Programmiersprache Ihrer Wahl lösen. Wenn Sie Java nutzen möchten, dann können Sie das angebotene Framework verwenden, das bereits grundlegende Funktionalität und einige Testfälle für Ihre Implementierungen enthält. Hinweis zum Java Framework: Beachten Sie, dass die arithmetischen Operationen add, sub, mul,... in der Klasse Vector2 den aktuellen Vektor verändern und einen Referenz auf sich selbst zurückgeben, um die Verkettung von Operationen zu ermöglichen: v.add(1,0).mul(3).sub(3,2) Es gibt eine Methode cpy(), die eine Kopie des Vektors erzeugt und zurückgibt. Sollten Sie im Framework Fehler finden, bitte eine kurze Nachricht per an: Für die meisten geometrischen Probleme gibt es Bibliotheken mit fertigen Implementierungen, diese sollen natürlich nicht verwendet werden.

2 Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d eines Punktes p R 2 zu einer Geraden (gegeben durch einen Punkt a R 2 auf der Gerade und einen Richtungsvektor v R 2 ), siehe Abbildung 1. Implementieren Sie Ihre Lösung. java framework: Implementieren Sie die Methode distance in der Klasse Line und führen Sie TestLine aus. p d a v Abbildung 1: Abstandsberechnung: Punkt zu Gerade Aufgabe 2: 1. Implementieren Sie eine Funktion, die entscheidet, ob sich zwei gegebene Kreise (gegeben durch Mittelpunkt und Radius) schneiden. java framework: Implementieren Sie die Methode intersects(circle c) in der Klasse Circle und führen Sie TestCircle (Tests 1 und 2) aus. 2. Implementieren Sie eine Funktion, die entscheidet, ob sich ein gegebener Punkt p R 2 im Inneren eines gegebenen Kreises befindet. java framework: Implementieren Sie die Methode contains in der Klasse Circle und führen Sie TestCircle (Tests 3 und 4) aus. 3. Implementieren Sie eine Funktion, die entscheidet, ob eine gegebene Gerade einen gegebenen Kreis schneidet. java framework: Implementieren Sie die Methode intersects(line l) in der Klasse Circle und führen Sie TestCircle (Tests 5 und 6) aus. Aufgabe 3: Gegeben seien zwei Vektoren u, v R 2. Die Notation u α bezeichne den Vektor u rotiert um α [0, 2π[ gegen den Uhrzeigersinn und u + α bezeichne den Vektor u rotiert um α [0, 2π[ im Uhrzeigersinn. Wir sagen, dass v links von u liegt, wenn ein α [0, π[ existiert, so dass der Winkel zwischen v und u α den Wert 0 hat. Analog sagen wir, dass v rechts von u liegt, wenn ein α [0, π[ existiert, so dass der Winkel zwischen v und u + α den Wert 0 hat. Implementieren Sie eine Funktion, die für zwei gegebene Vektoren u, v einen der Werte 1, 0 und 1 zurückgibt:

3 0, wenn der Winkel zwischen u und v entweder 0 oder 2π ist. 1, wenn v links von u liegt. 1, wenn v rechts von u liegt. java framework: Implementieren Sie die Methode orientation in der Klasse Vector2 und führen Sie TestVector aus. Aufgabe 4: Wie kann entschieden werden, ob ein gegebener Punkt p R 2 in einem Dreieck (gegeben durch die drei Eckpunkte A, B, C liegt)? Implementieren Sie Ihre Lösung. java framework: Implementieren Sie die Methode contains in der Klasse Triangle und führen Sie TestTriangle aus. Aufgabe 5: Implementieren Sie eine Funktion, die entscheidet, ob ein gegebenes Polygon (gegeben durch eine Liste der Eckpunkte) konvex ist. java framework: Implementieren Sie die Methode convex in der Klasse Polygon und führen Sie TestPolygon aus. B D H G C A B F E A E C D Abbildung 2: Polygone: gegeben durch eine Liste von Punkten Aufgabe 6: Zeigen Sie, dass der Graham-Scan Algorithmus terminiert. Aufgabe 7: Bei Chans Algorithmus wird ein Verfahren ähnlich der binären Suche verwendet, um in einem Array von Vektoren denjenigen mit kleinstem Winkel zu einem gegebenen Vektor in logarithmischer Zeit zu bestimmen. 1. Geben Sie die Arbeitsweise dieses Suchverfahrens an. 2. Zeigen Sie die Korrektheit dieses Verfahrens.

4 Aufgabe 8: Implementieren Sie eine Funktion, die den Flächeninhalt eines konvexen Polygons (gegeben durch eine Liste der Eckpunkte) berechnet und zurückgibt. Wenn das gegebene Polygon nicht konvex ist, soll 1 zurückgegeben werden. java framework: Implementieren Sie die Methode convexarea in der Klasse Polygon (Version 1 des Frameworks enthält keine Testfälle hierzu). Aufgabe 9: Wie kann entschieden werden, ob sich ein gegebener Punkt innerhalb eines gegebenen 1. konvexen 2. beliebigen Polygons befindet? Aufgabe 10: Konstruieren Sie ein worst-case Beispiel für den Quick Hull Algorithmus, d.h. geben Sie eine Menge mit n Punkten an, so dass die Laufzeit von Quick Hull aus Θ(n 2 ) ist. Erläutern Sie ebenfalls, warum der Algorithmus diese Laufzeit hat. Aufgabe 11: Geben Sie ein Scan-Line Verfahren an, um das Problem Intervallschnittszahl zu lösen und schätzen Sie die Laufzeit Ihrer Lösung ab. Intervallschnittzahl Gegeben: Gesucht: Eine Menge M = {I 1,..., I n } mit n Intervallen I i = [a i, b i ] mit a i, b i R für 1 i n. Die größte Zahl k N, so dass es eine Zahl x R gibt, die in k der gegebenen Intervalle enthalten ist. Aufgabe 12: Betrachten Sie das Scan-Line Verfahren zum Liniensegment-Schnittproblem, geben Sie für die Instanz in Abbildung 3 alle Haltepunkte an und führen Sie die x-oberhalb Ordnung in einem Suchbaum mit.

5 10 A E 5 B 0 C D F Abbildung 3: Liniensegmente Aufgabe 13: Lösen Sie das Schnittproblem für iso-orientierte Liniensegmente mittels geometrischem Divide and Conquer wie in der Vorlesung vorgestellt für die folgende Instanz (siehe auch Abbildung 4): S = {A, B, C, D, E, F, G,H, I} A = ((1, 6), (10, 6)) B = ((2, 5), (7, 5)) C = ((3, 4), (3, 8)) D = ((4, 4), (12, 4)) E = ((3, 2), (11, 2)) F = ((5, 3), (5, 8)) G = ((6, 1), (6, 7)) H = ((8, 3), (8, 5)) I = ((9, 1), (9, 3)) Aufgabe 14: Berechnen Sie den Schnittpunkt einer Halbgeraden (gegeben durch Startpunkt A und normalisierten Richtungsvektor V ) und eines Liniensegments (gegeben durch die beiden Endpunkte A und B). Implementieren Sie Ihre Lösung. java framework version 2: Implementieren Sie die Methode hits(linesegment l) in der Klasse Ray und führen Sie TestRay aus (Tests 1 bis 5). Aufgabe 15: Berechnen Sie den ersten Schnittpunkt einer Halbgeraden (gegeben durch Startpunkt A und normalisierten Richtungsvektor V ) und eines Kreises (gegeben durch Mittelpunkt und Radius). Implementieren Sie Ihre Lösung. java framework version 2: Implementieren Sie die Methode hits(circle c) in der Klasse Ray und führen Sie TestRay aus (Tests 6 bis 9).

6 C F G A B H D I E Abbildung 4: iso-orientierte Liniensegmente

7 Aufgabe 16: Berechnen Sie die Reflexion eines Vektors von einer Oberfläche. Für derartige Problemstellungen werden Objekte üblicherweise mit Oberflächennormalen beschrieben. Dies sind normalisierte Vektoren (d.h. mit Länge 1) für jeden Punkt auf der Oberfläche, deren Richtung angibt wo außen ist. Genauer gesagt sind es Vektoren, die senkrecht auf dem Tangentialraum des Objekt in dem jeweiligen Punkt stehen (siehe Abbildung 5). 1. Implementieren Sie eine Funktion, die die Reflexion eines Vektors v an einem Punkt mit Normalenvektor n berechnet. java framework version 2: Implementieren Sie die Methode reflect in der Klasse Vector2 und führen Sie TestReflection aus. 2. Die hier durchgeführte Berechnung tritt nicht nur in der algorithmischen Geometrie auf, sondern ist ein essentieller Bestandteil der modernen Computergrafik - wieso? 3. Lassen Sie nun Strahlen mehrfach hintereinander von verschiedenen Objekten wie Dreiecken und Kreisen reflektieren. java framework version 2: Implementieren Sie die Methode reflection(ray r) des Interfaces Surface2D in den Klassen Triangle und Circle (Version 2 des Frameworks enthält keine Testfälle hierzu). Abbildung 5: Darstellung von Objekten mittels Normalenvektoren, die senkrecht auf dem Tangentialraum (gestrichelte Linien) stehen

8 Aufgabe 17: Wir möchten möglichst schnell testen, ob in einer gegebenen Folge von Punkten alle Elemente paarweise verschieden sind. Geben Sie je einen möglichst effizienten Algorithmus für die folgenden Problemstellungen an schätzen Sie die Laufzeit Ihrer Lösung ab. 1. Gegeben sei eine natürliche Zahl d > 1 und eine Folge p 1,..., p n von d-dimensionalen Punkten mit reellen Koordinaten, d.h. p i R d. 2. Gegeben seien zwei natürliche Zahlen d > 1 und m > 0 und eine Folge p 1,..., p n von d-dimensionalen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten zwischen m und m, d.h. p i { m, 1 m,..., 1, 0, 1,..., m 1, m} d. 3. Gegeben sei eine Folge p 1,..., p n von 2-dimensionalen Punkten mit natürlichen Koordinaten, d.h. p i N 2. Zudem seien x min und x max die kleinste bzw. größte x- Koordinate der Punkte p i und es gelte n x max x min. Aufgabe 18: Gegeben sei eine endliche Punktmenge P R 2. Die Menge der Gabrielkanten GG(P ) ist wie folgt definiert: Für zwei Punkte x, y P, x y ist {x, y} GG(P ) genau dann, wenn kein Punkt z P \ {x, y} existiert, der in der kleinsten Kreisscheibe (inkl. Rand) enthalten ist, die x und y enthält (siehe auch Abbildung 6, links). Die Menge der relativen Nachbarschaftskanten RN G(P ) ist so ähnlich definiert: Für zwei Punkte x, y P, x y ist {x, y} RNG(P ) genau dann, wenn kein Punkt z P \ {x, y} existiert, der in der Schnittmenge (ohne Rand) der Kreisscheiben B x und B y enthalten ist, wobei B x die Kreisscheibe mit Mittelpunkt x und Radius x y 2 ist und B y die Kreisscheibe mit Mittelpunkt y und Radius x y 2 (siehe auch Abbildung 6, rechts). Zeigen Sie: RN G(P ) GG(P ) x y x y Abbildung 6: Verbotene Flächen für Gabrielkanten (links) und relative Nachbarschaftskanten (rechts)

9 Aufgabe 19: Für das Problem Dichtestes Punktpaar wurde in der Vorlesung ein Divide and Conquer Verfahren angegeben. Wiederholen Sie die einzelnen Schritte und erläutern Sie dabei die angegebene Laufzeit von O(nlog(n)). Aufgabe 20: Sei G = (V, E) ein planarer Graph und p R, 0 p < 100. Zeigen Sie: Mindestens p Prozent der Knoten in G haben einen Knotengrad kleiner als p. Aufgabe 21: Ein ungerichteter, eingebetteter Graph G = (V, E, p) mit Einbettung p : V R 2 heißt selbstdual, wenn G isomorph zu seinem Dualgraphen ist. 1. Geben Sie für ein beliebiges n N einen selbstdualen Graphen mit n Knoten an. 2. Zeigen Sie: Für jeden selbstdualen Graphen (V, E) gilt E = 2 V 2. Aufgabe 22: Geben Sie jeweils eine Menge mit n Punkten P R 2 und das entstehende Voronoi- Diagramm V D(P ) an, so dass für die zugehörige Delaunay-Triangulierung G = (P, E) gilt: 1. G hat möglichst wenige Kanten. 2. G hat genauso viele Kanten wie Knoten. 3. G hat möglichst viele Kanten.

10 Aufgabe 23: Verschmelzen Sie die beiden Voronoidiagramme V D({a, b, c, d}) und V D({e, f, g}) aus Abbildung 7 zu V D({a, b, c, d, e, f, g}) wie in der Vorlesung besprochen. d a c b e g f Abbildung 7: Zwei Voronoidiagramme, getrennt durch eine vertikale Gerade Aufgabe 24: Sei P ein einfaches Polygon. Analog zur Definition von y-monoton definieren wir die Eigenschaft x-monoton wie folgt: P ist x-monoton, wenn jede vertikale Gerade das Polygon P höchstens zwei mal schneidet. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: 1. P ist konvex P ist x-monoton und y-monoton 2. P ist x-monoton und y-monoton P ist konvex Aufgabe 25: Sei P ein einfaches Polygon mit innerer Fläche A(P ) und C A(P ) eine endliche Menge von Kameras, die im Inneren des Polygons positioniert sind. Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:

11 Wenn die Kameras den gesamten Rand des Polygons abdecken (d.h. für jeden Punkt p auf dem Rand des Polygons gibt es eine Kamera c C, so dass die Strecke cp komplett in A(P ) enthalten ist), dann decken sie auch das gesamte Innere A(P ) des Polygons ab. Aufgabe 26: Betrachten Sie das Polygon P in Abbildung Geben Sie alle Startknoten, Endknoten, merge-knoten, split-knoten und reguläre Knoten an. 2. Bestimmen Sie für jeden Knoten u die Kante left(u). 3. Zerlegen Sie P in y-monotone Polygone. a b c n m k l d f h i g e Abbildung 8: Polygon P Aufgabe 27: Im Beweis des Ham-Sandwich-Theorems wird eine Gerade g sukzessive gegen den Uhrzeigersinn um verschiedene Punkte rotiert, um das initiale Teilungsverhältnis der endlichen

12 Punktmenge P beizubehalten. Führen Sie diese Rotationen an dem Beispiel in Abbildung 9 durch, beginnend mit der Horizontalen durch den Punkt p. Die Punktmenge P ist durch die schwarzen Kreuze gekennzeichnet, die Punktmenge Q durch die roten Kreuzen. Geben Sie an um welche Punkte von P die Gerade rotiert wird und bei welcher dieser Rotationen ein Gerade entsteht, die die Punktemenge Q gleichmäßig aufteilt. e a c i 5 p f g b d l h Abbildung 9: Beispiel zum Ham-Sandwich-Theorem Aufgabe 28: Das Ham-Sandwich-Theorem wurde in der Vorlesung für den R 2 formuliert. Recherchieren Sie die allgemeinere Aussage für den R n und formulieren Sie diese. Aufgabe 29: Abbildung 10 enthält eine Menge von 16 Punkten und zwei achsenparallele Rechtecke (rot bzw. grün gestrichelt), für die wir Rechteckabfragen durchführen wollen. 1. Kontruieren Sie den Bereichsbaum für die angegebene Punktmenge.

13 2. Erläutern Sie die Laufzeit von O(nlog 2 (n)) für den Aufbau. 3. Erläutern Sie den Platzbedarf von O(nlog(n)) für diese Datenstruktur. 4. Führen Sie schrittweise je eine Rechteckabfrage für die beiden Rechtecke durch. b m k a g q 5 d l n f i p h e c o Abbildung 10: Rechteckabfrage: Welche Punkte liegen in den gestrichelten Rechtecken?